Die Zitterbewegung ist eine theoretische, schnelle Bewegung von Elementarteilchen, speziell von Elektronen, die der (relativistischen) Dirac-Gleichung gehorchen.
Die Existenz einer solchen Bewegung wurde 1928 von Gregory Breit und 1930 von Erwin Schrödinger postuliert, als Ergebnis seiner Analyse von Wellenpaket-Lösungen der Dirac-Gleichung für relativistische Elektronen im Vakuum. In diesem produziert eine Interferenz zwischen dem positiven und dem negativen Energiezustand eine Fluktuation der Position des Elektrons um den Mittelwert mit einer Kreisfrequenz von
mit
Die Zitterbewegung eines freien relativistischen Teilchens wurde nie beobachtet, aber das Verhalten eines solchen Teilchens wurde mit einem eingesperrten Ion simuliert, indem man es in eine Umgebung platzierte, so dass die nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung für das Ion dieselbe mathematische Form wie die Dirac-Gleichung hat (obwohl die physikalische Situation anders ist).
Aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung
wobei $ H $ der Dirac-Hamiltonoperator für ein Elektron im Vakuum ist
und $ \psi (\mathbf {x} ,t) $ die Wellenfunktion,
folgt im Heisenberg-Bild, dass jeder Operator Q der folgenden Gleichung gehorcht:
Speziell ist der zeitabhängige Ortsoperator gegeben durch
mit $ \alpha _{k}\equiv \gamma _{0}\gamma _{k} $.
Die obige Gleichung zeigt, dass der Operator $ \alpha _{k} $ als k-te Komponente des „Geschwindigkeitsoperators“ interpretiert werden kann.
Die Zeitabhängigkeit des Geschwindigkeitsoperators ist gegeben durch
wobei $ \sigma _{kl}\equiv {\tfrac {i}{2}}[\gamma _{k},\gamma _{l}] $ ist und $ p $ der Impuls.
Weil sowohl $ p_{k} $ als auch $ H $ zeitunabhängig sind, kann die obige Gleichung zweimal integriert werden, um die explizite Zeitabhängigkeit $ x_{k}(t) $ des Ortsoperators zu erhalten. Zuerst:
Dann:
Der resultierende Ausdruck besteht aus
Interessanterweise verschwindet der Zitterbewegungsterm, wenn man die Erwartungswerte für Wellenpakete nimmt, die vollständig aus Wellen mit positiver Energie (oder vollständig aus Wellen mit negativer Energie) bestehen. Dies kann durch die Foldy-Wouthuysen-Transformation erreicht werden.