Millersche Indizes

Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel

Millersche Indizes dienen in der Kristallographie der eindeutigen Bezeichnung von Kristallflächen bzw. Ebenen im Kristallgitter. Die Schreibweise (hkl) wurde im Jahr 1839 von William Hallowes Miller (1801–1880) vorgeschlagen.^[1] In der gleichen Arbeit führte Miller auch die heute gebräuchlichen Schreibweisen [uvw] für Richtungen (Richtungsindizes) und {hkl} für Kristallformen, d. h. die Menge aller symmetrisch äquivalenten Flächen, ein.

Die millerschen Indizes werden wie folgt gebildet: Man bestimmt die Schnittpunkte der Kristallebene mit den drei Koordinatenachsen, kürzt gemeinsame Faktoren, bildet die Kehrwerte und multipliziert mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, so dass sich drei ganze, teilerfremde Zahlen ergeben.

Anwendungen

In der Mineralogie werden die millerschen Indizes verwendet, um Kristallflächen eindeutig zu beschreiben. Auch zur Angabe der Spaltbarkeit oder von Verzwillingungen werden sie benötigt.

Bei Beugungsmethoden wie der Röntgenbeugung oder der Elektronenbeugung bezeichnen sie eine Netzebenen-Schar. Hier werden auch höhere Indizes – beispielsweise 222 – eingesetzt, um die Beugung höherer Ordnung anzugeben. Diese Indizes werden als Laue-Indizes oder Laue-Symbol bezeichnet. Sie werden zur Unterscheidung von den nach Definition teilerfremden millerschen Indizes üblicherweise ohne Klammern geschrieben. Laue-Indizes werden z. B. bei der Angabe von systematischen Auslöschungen verwendet und gehen in die Formel des Strukturfaktors ein. Die Laue-Indizes sind die mit der Ordnung n der Interferenz (siehe Bragg-Gleichung) multiplizierten Miller-Indizes, z. B. wird die Reflexion 2. Ordnung an der Gitterebene mit den Miller-Indizes (100) mit Laue-Indizes 200 bezeichnet.^[2]

In der Materialwissenschaft werden sowohl Gitterebenen als auch Gittervektoren benötigt, um Gitterfehler wie Versetzungen zu charakterisieren. Auch Gleitsysteme, Texturen oder die Kristallorientierung von Einkristallen können mit millerschen Indizes beschrieben werden.

Notation

Abhängig von seinem Kristallsystem wird jedem Kristall ein Koordinatensystem zugeordnet. Die drei Vektoren $ {\vec {a_{1}}} $, $ {\vec {a_{2}}} $ und $ {\vec {a_{3}}} $ mögen die Basis dieses Gitterkoordinatensystems bilden (nicht zu verwechseln mit den primitiven Translationen des Gitters). Die Basis des zugehörigen reziproken Gitters sei durch die Vektoren $ {\vec {g_{1}}} $, $ {\vec {g_{2}}} $ und $ {\vec {g_{3}}} $ gegeben (sie werden über die Basisvektoren $ {\vec {a_{i}}} $ des Gitters definiert).

Gitterebene (millersche Indizes)

Die millerschen Indizes sind drei ganzzahlige, teilerfremde Indizes $ h\!\, $, $ k\!\, $ und $ l\!\, $, die das Zahlentriplett $ (hkl)\!\, $ bilden. Negative Indizes werden mit einem über die Zahl geschriebenen Balken gekennzeichnet, also beispielsweise $ ({\bar {1}}0{\bar {2}})\!\, $. Jedes solche Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene.

Sind anstatt einer spezifischen Netzebene alle symmetrisch äquivalenten Ebenen gemeint, so wird die Notation $ \{hkl\}\!\, $ verwendet. Beispielsweise bezeichnet man mit $ \{100\}\!\, $ im kubischen Kristallsystem die aufgrund der kubischen Symmetrie äquivalenten Ebenen $ (100)\!\, $, $ ({\bar {1}}00)\!\, $, $ (010)\!\, $, $ (0{\bar {1}}0)\!\, $, $ (001)\!\, $ und $ (00{\bar {1}})\!\, $, was den sechs Oberflächen eines Würfels entspricht.

Jeder Netzebenen-Schar $ (hkl)\!\, $ im direkten Gitter entspricht ein Punkt bzw. Ortsvektor im reziproken Gitter des Kristalls. Dieser Vektor hat im reziproken Raum die Koordinaten $ h,k,l\!\, $; er steht immer senkrecht auf der gleichnamigen Netzebene und hat als Länge den Kehrwert des Netzebenenabstandes.

Es ergeben sich zwei äquivalente Möglichkeiten, eine Gitterebene zu beschreiben:

Gitterebene im Ortsraum

Betrachtet man eine Gitterebene mit den Spurpunkten $ s_{1}{\vec {e_{1}}} $, $ s_{2}{\vec {e_{2}}} $ und $ s_{3}{\vec {e_{3}}} $, ($ {\vec {e_{i}}} $ sind die Einheitsvektoren eines rechtwinkligen Koordinatensystems des Raums) so ist die Achsenabschnittsform gegeben durch:

$ {\frac {1}{s_{1}}}x_{1}+{\frac {1}{s_{2}}}x_{2}+{\frac {1}{s_{3}}}x_{3}=1 $

Hierbei ist

$ {\vec {n}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{s_{1}}}\\{\frac {1}{s_{2}}}\\{\frac {1}{s_{3}}}\end{pmatrix}} $

ein Normalenvektor der Ebene. Man bilde nun ein Vielfaches dieses Normalenvektors, sodass alle Einträge dieses Vielfachen des Normalenvektors ganze teilerfremde Zahlen sind. Sei dies z. B. im Folgenden durch die ganze Zahl $ j $ gewährleistet (möglich, da die $ s_{i}\in \mathbb {Z} $, da die Schnittpunkte auf dem Kristallgitter liegen sollen), dann gilt

$ {\vec {n_{2}}}={\begin{pmatrix}{\frac {j}{s_{1}}}\\{\frac {j}{s_{2}}}\\{\frac {j}{s_{3}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h\\k\\l\end{pmatrix}} $

Die Komponenten des Tupels $ (hkl)\!\, $ heißen die millerschen Indizes.^[3] Negative Zahlen werden dabei durch einen Strich über dem zugehörigen Index anstelle des Minuszeichens gekennzeichnet. Ein Index von Null bezeichnet dabei einen Schnittpunkt im Unendlichen (wie man aus der Achsenabschnittsform sieht), d. h., der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.

Gitterebene im reziproken Gitter

Die andere Möglichkeit ist, mit $ (hkl)\!\, $ den reziproken Gittervektor

$ h{\vec {g_{1}}}+k{\vec {g_{2}}}+l{\vec {g_{3}}} $

zu bezeichnen. Dieser Vektor steht senkrecht auf den entsprechenden Gitterebenen.

Dabei werden diejenigen ganzen Zahlen $ h\!\, $, $ k\!\, $ und $ l\!\, $ verwendet, die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dies entspricht dem kürzesten reziproken Gittervektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Gittervektoren (Richtungsindizes)

Auch Vektoren innerhalb des Gitters können durch Indizes bezeichnet werden. Dabei wird die Notation $ [uvw]\!\, $ verwendet, um einen spezifischen Vektor zu bezeichnen. Die Notation $ \langle uvw\rangle \!\, $ bezeichnet alle zum Vektor $ [uvw]\!\, $ symmetrisch äquivalenten Richtungen.

Beispiele: Bei einem kubischen Kristall (also einem Würfel) ist $ \langle 100\rangle \!\, $ eine Richtung parallel zu einer der Würfelkanten, $ \langle 110\rangle \!\, $ die Richtung einer der Flächendiagonalen und $ \langle 111\rangle \!\, $ die Richtung einer Raumdiagonalen.

Die Notation $ [uvw]\!\, $ beschreibt einen Vektor im realen Gitter (Gittervektor)

$ u{\vec {a_{1}}}+v{\vec {a_{2}}}+w{\vec {a_{3}}}. $

Dieser Vektor steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der Ebene $ (uvw)\!\, $. Dies ist nur im kubischen Gitter der Fall.

Vierer-Schreibweise

Millersche Indizes im hexagonalen Kristallsystem

Im trigonalen Kristallsystem und im hexagonalen Kristallsystem wird häufig die Schreibweise mit vier Indizes $ (HKIL)\!\, $ verwendet. Diese abgewandelten millerschen Indizes werden als bravaissche Indizes (auch Bravais-Miller-Indizes oder Miller-Bravais-Indizes) bezeichnet. Ein Vorteil dieser Indizes im hexagonalen Kristallsystem ist, dass symmetrieäquivalente Flächen leicht zu identifizieren sind, da sie durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden. So sind die Flächen $ (10{\bar {1}}0)\!\, $, $ (01{\bar {1}}0)\!\, $ und $ (1{\bar {1}}00)\!\, $ beispielsweise Flächen des hexagonalen Prismas. Die Indizes $ H\!\, $, $ K\!\, $ und $ L\!\, $ stimmen mit den üblichen millerschen Indizes überein, $ I\!\, $ ergibt sich immer als $ -(H+K)\!\, $.

Auch für die Richtungsindizes gibt es eine Vierer-Schreibweise. In der Kristallographie und Mineralogie werden meist die normalen Richtungsindizes $ [uv.w] $ oder $ [uv^{*}w] $ verwendet, wobei durch einen Platzhalter für $ t $ angedeutet wird, dass das trigonale bzw. hexagonale Kristallsystem gemeint ist. t ist dabei immer null. Allerdings wird diese Schreibweise teilweise auch für die im Folgenden beschriebenen Weber-Indizes verwendet, weswegen es zu Verwechslungen kommen kann.

In der Werkstoffwissenschaft wird eine die abweichende Schreibweise $ [UVTW] $ bevorzugt, die sogenannten Weber-Indizes (engl. {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value)).^[4] Die Umrechnung aus der Dreier-Schreibweise $ [uvw]\!\, $ ist hier unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen-Indizes:^[5]

$ U=(2u-v)/3 $

$ V=(2v-u)/3 $

$ T=-(u+v)/3 $

$ W=w. $

Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass die Richtung $ [UVTW]\!\, $, ähnlich wie in kubischen Kristallsystemen, senkrecht zur Ebene $ (UVTW)\!\, $ ist. In der Dreier-Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinen nicht der Fall. Zudem können wie bei den Miller-Bravais-Indizes in kubischen Kristallsystemen aus Symmetriegründen äquivalente Richtungen durch Permutation der ersten drei Indizes erhalten werden und eine $ 0 $ bedeutet, dass die Richtung senkrecht zum entsprechenden Basisvektor ist. Da die Umrechnung von Richtungen in die Vierer-Schreibweise verglichen mit Ebenen komplizierter ist, werden in der Literatur Richtungen mit Weber-Indizes häufig falsch angegeben.

Herleitung

Die Richtung $ [uvw] $ soll äquivalent zu $ [UVTW]\!\, $ sein, d. h. beide Indizes sollen in die gleiche Richtung zeigen. Also ist

$ u\cdot {\vec {a}}+v\cdot {\vec {b}}+w\cdot {\vec {c}}\propto U\cdot {\vec {a}}+V\cdot {\vec {b}}+T\cdot {\vec {d}}+W\cdot {\vec {c}}. $

Nun ist

$ {\vec {d}}=-({\vec {a}}+{\vec {b}}), $

weshalb sich dies als

$ u\cdot {\vec {a}}+v\cdot {\vec {b}}+w\cdot {\vec {c}}\propto (U-T)\cdot {\vec {a}}+(V-T)\cdot {\vec {b}}+W\cdot {\vec {c}} $

schreiben lässt. Da

$ T=-(U+V) $

gilt, folgt

$ u\cdot {\vec {a}}+v\cdot {\vec {b}}+w\cdot {\vec {c}}\propto (2U+V)\cdot {\vec {a}}+(2V+U)\cdot {\vec {b}}+W\cdot {\vec {c}} $.

Daher ist die Umrechnung von Webersymbolen in Richtungsindizes der Dreier-Schreibweise

$ u=2U+V $

$ v=U+2V $

$ w=W, $

wobei am Ende noch gekürzt werden muss. Aus Letzteren Gleichungen lassen sich durch Auflösen nach $ U $, $ V $ und $ W $ die Gleichungen zur Bestimmung der Weberindizes aus der Dreier-Schreibweise erhalten.

Literatur

• Charles Kittel: Introduction to solid state physics. 7. Aufl. Wiley, New York 1996. ISBN 0-471-11181-3.
• Werner Schatt, H. Worch: Werkstoffwissenschaft. 8. Aufl. Dt. Verl. für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996. ISBN 3-342-00675-7.
• Hans-Joachim Bautsch, Will Kleber, Joachim Bohm: Einführung in die Kristallographie. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 1998 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
• Christopher Hammond: The basics of crystallography and diffraction. Oxford University Press, Oxford 2001, ISBN 978-0-19-850552-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 

Weblinks

Commons: Miller Index – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• IUCr Online Dictionary of Crystallography: Miller indices
• IUCr Online Dictionary of Crystallography: Bravais-Miller indices
• Richtungen und Ebenen im Gitter bei der Universität Kiel
• Videovorlesung der Universität Tübingen

Einzelnachweise