Beschleunigtes Bezugssystem

Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die sich gegenüber einem Inertialsystem in beschleunigter Bewegung befinden. Dabei kann es sich um eine beschleunigte Translationsbewegung und/oder um eine beschleunigte oder unbeschleunigte Rotationsbewegung handeln. Ein beschleunigtes Bezugssystem ist kein Inertialsystem.

Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen Trägheitskräfte berücksichtigt werden), können diese Bezugssysteme in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen.

Das ist meist dann der Fall, wenn das Bezugssystem so gewählt wird, dass die Bewegungen relativ dazu einfach werden:

• Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.
• Das Foucaultsche Pendel wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt. Ebenso die Berechnungen für die Vorgänge in Atmosphäre und Ozeanen, auf denen die Vorhersage des Wetters und der Klimaentwicklung aufbauen.
• Relativbewegungen in einem Fahrzeug, z. B. die der Räder, werden in einem fahrzeugfesten System beschrieben.
• In einem Bezugssystem, das in einem homogenen Schwerkraftfeld im freien Fall ist, wird die Schwerkraft durch die Trägheitskraft exakt ausgeglichen.

In der Klassischen Mechanik sind Zeitintervalle und räumliche Abstände in allen Bezugssystemen gleich. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird daher durch die Euklidische Transformation bewerkstelligt.

Kinematik

Zeitliche Ableitungen in einem ruhenden und einem bewegten Koordinatensystem

Sei P ein Punkt im physikalischen Raum. In einem Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ ist er durch einen Ortsvektor $ {\vec {r}} $ definiert, der mit drei Basisvektoren $ {\vec {e}}_{i} $ ( $ i=1,2,3 $ für die x-, y- und z-Richtung) und drei Koordinaten $ x_{i} $ so darzustellen ist:

$ {\vec {r}}\,=\,\sum _{i}x_{i}\,{\vec {e}}_{i} $

Ist der Punkt beweglich, hängen die Koordinaten $ x_{i}(t) $ von der Zeit ab.

Die zeitliche Ableitung des Vektors ist

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i} $

Sie gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich der Punkt P relativ zum Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ bewegt.

Sei $ {\boldsymbol {K}}' $ ein anderes Bezugssystem, das sich relativ zu $ {\boldsymbol {K}} $ bewegt. Sein Koordinatenursprung liegt bei $ {\vec {R}}(t) $, seine Basisvektoren sind $ {\vec {e}}'_{i}(t) $. Der Ortsvektor desselben Punktes P in K' sei $ {\vec {r}}\,' $. Damit die Vektoren $ {\vec {r}} $ und $ {\vec {r}}\,' $ denselben physikalischen Ort im Raum definieren, muss gelten:

$ {\vec {r}}\,=\,{\vec {R}}+{\vec {r}}\,' $.

Im Fall $ {\vec {R}}={\vec {0}} $ sind also die Vektoren gleich ($ {\vec {r}}={\vec {r}}\,' $), aber ihre Komponenten bezüglich $ {\boldsymbol {K}} $ bzw. $ {\boldsymbol {K}}' $ im Allgemeinen nicht.

Die Komponentendarstellung von $ {\vec {r}}\,' $ in Bezug auf $ {\boldsymbol {K}}' $ ist:

$ {\vec {r}}'\,=\,\sum _{i}x_{i}'\,{\vec {e}}_{i}' $.

Die zeitliche Ableitung des Vektors $ {\vec {r}}\,' $ relativ zum bewegten System $ {\boldsymbol {K}}' $ ist

$ {\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}'}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}' $

Dabei bedeutet der Strich im Symbol $ \mathrm {d} ' $ für die Differentiation eines Vektors $ {\vec {r}}'(t) $, dass die Koordinaten $ x_{i}'(t) $ abgeleitet werden sollen, die er im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}}' $ hat, damit die Ableitung eine Größe bezeichnet, wie sie dort beobachtet werden kann.

Um die Geschwindigkeiten des Punktes P, wie sie in $ {\boldsymbol {K}} $ bzw. in $ {\boldsymbol {K}}' $ beobachtet werden, zueinander in Beziehung zu setzen, muss die Bewegung von $ {\boldsymbol {K}}' $ in Bezug auf $ {\boldsymbol {K}} $ beschrieben werden. Diese Bewegung ist wie bei einem starren Körper in jedem Moment die Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung ist durch die Geschwindigkeit gegeben, mit der der Ursprung $ {\vec {R}}(t) $ sich in $ {\boldsymbol {K}} $ bewegt:

$ {\vec {v}}_{\mathrm {trans} }(t)\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}}{\mathrm {d} t}} $.

Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte mit konstantem Ortsvektor $ {\vec {r}}\,' $ in $ {\boldsymbol {K}} $ parallel, also bleiben auch die Basisvektoren $ {\vec {e}}'_{i} $ zeitlich konstant. Aufgrund der Rotationsbewegung ändern diese sich aber. Die momentane Rotationsbewegung von $ {\boldsymbol {K}}' $ hat eine Drehachse durch den Ursprung am Ort $ {\vec {R}}(t) $ und eine Winkelgeschwindigkeit $ \omega (t) $, die mit dem Drehsinn zur vektoriellen Winkelgeschwindigkeit $ {\vec {\omega }}(t) $ zusammengefasst sind. Damit ändern sich die Basisvektoren von $ {\boldsymbol {K}}' $ in $ {\boldsymbol {K}} $ mit der Geschwindigkeit (siehe Bahngeschwindigkeit):

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i} $

Damit kann die Zeitableitung des Vektors $ {\vec {r}}'(t) $, wie sie im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ erscheint, berechnet werden. Nach der Produktregel ist

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x'_{i}}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}'_{i}+\sum _{i}x'_{i}{\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}} $.

Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\,+\,\sum _{i}x'_{i}\,({\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i})\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,' $.

Diese Formel wird oft zu einer Operatorgleichung abgekürzt wiedergegeben als

$ {\frac {\mathrm {d} \bullet }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} '\bullet }{\mathrm {d} t}}+{\vec {\omega }}\times \bullet $.

Angewendet auf einen beliebigen Vektor (einzusetzen bei $ \bullet $), liefert sie den Zusammenhang zwischen seinen Änderungsgeschwindigkeiten, wie sie in $ {\boldsymbol {K}} $ (linke Seite der Gleichung) bzw. in $ {\boldsymbol {K}}' $ (erster Term der rechten Seite) erscheint.^[1]

Transformation der Geschwindigkeit

Im Folgenden werden, in Anlehnung an die Technische Mechanik, die im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ beobachteten Größen als Absolutgeschwindigkeit bzw. Absolutbeschleunigung bezeichnet, und die auf $ {\boldsymbol {K}}' $ bezogenen Größen als Relativgeschwindigkeit bzw. Relativbeschleunigung.^[2]

Die Absolutgeschwindigkeit $ {\vec {v}} $ des Punktes ist:

$ {\vec {v}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}\left(\,=\,\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\vec {e}}_{i}\right) $

Die Relativgeschwindigkeit $ {\vec {v}}' $ des Punktes ist analog:

$ {\vec {v}}'\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}'}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}' $

Wegen $ {\vec {r}}\,=\,{\vec {R}}+{\vec {r}}\,' $ folgt für die Absolutgeschwindigkeit $ {\vec {v}} $:

$ {\vec {v}}\,\,=\,\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {R}}+{\vec {r}}')\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}}{\mathrm {d} t}}\,+\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,=\,{\vec {v}}_{\mathrm {trans} }\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,+\,{\vec {v}}\,' $.

Der Anteil ($ {\vec {v}}_{\mathrm {trans} }+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}' $) der Absolutgeschwindigkeit wird als Führungsgeschwindigkeit bezeichnet. Alle Punkte, die im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}}' $ ruhen, bewegen sich im Bezugssystem $ {\boldsymbol {K}} $ mit der Führungsgeschwindigkeit. Falls sie in $ {\boldsymbol {K}}' $ nicht ruhen, ist ihre Relativgeschwindigkeit $ {\vec {v}}\,' $ zur Führungsgeschwindigkeit zu addieren.

Transformation der Beschleunigung

Die zeitliche Ableitung der Formel für die Geschwindigkeit des Punktes P in $ {\boldsymbol {K}} $ ergibt die Absolutbeschleunigung, ausgedrückt durch die in $ {\boldsymbol {K}}' $ beobachtbaren Größen $ {\vec {r}}' $ und $ {\vec {v}}' $ und $ {\vec {a}}' $:

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {v}}_{\mathrm {trans} }\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,+\,{\vec {v}}'\right)\,=\,\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{\mathrm {trans} }}{\mathrm {d} t}} _{{\vec {a}}_{\mathrm {trans} }}\,+\,\underbrace {\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)} _{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'\,+\,{\vec {\omega }}\times \underbrace {\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\right)} _{{\vec {v}}\,'+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,'}\,+\,\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}'}{\mathrm {d} t}} _{{\vec {a}}\,'+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'} $

Dabei muss die obige Operatorgleichung je einmal auf $ {\vec {r}}' $ und $ {\vec {v}}' $ angewendet werden. Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt und etwas umgeordnet:

$ {\vec {a}}\,=\,{\vec {a}}_{\mathrm {trans} }\,+\,{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'\,+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,')\,+\,{\vec {a}}'\,+2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,' $

Die Beschleunigungen $ {\vec {a}} $ und $ {\vec {a}}' $, in $ {\boldsymbol {K}} $ bzw. $ {\boldsymbol {K}}' $ unterscheiden sich also nicht nur um die translatorische Beschleunigung $ {\vec {a}}_{\mathrm {trans} } $ des Systems $ {\boldsymbol {K}}' $ im System $ {\boldsymbol {K}}' $. Verglichen mit $ {\vec {a}} $, enthält $ {\vec {a}}' $ insgesamt vier zusätzliche Summanden:

(Anmerkung: $ {\vec {a}}_{\mathrm {Coriolis} } $ wird in der Technischen Mechanik meist mit dem umgekehrten Vorzeichen definiert.)

Die Beschleunigung im Inertialsystem ist in dieser Definition die Summe aus Führungsbeschleunigung $ {\vec {a}}_{F} $, Relativbeschleunigung $ {\vec {a}}' $ und Coriolisbeschleunigung $ {\vec {a}}_{\mathrm {Coriolis} } $, wobei die Führungsbeschleunigung diejenige Beschleunigung ist, die ein Körper hat, wenn er fest mit dem Koordinatensystem verbunden ist:

$ {\vec {a}}={\vec {a}}_{F}+{\vec {a}}'+{\vec {a}}_{\mathrm {Coriolis} } $

Am Ergebnis ist zu sehen: Wenn ein Punkt in einem Bezugssystem beispielsweise ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt, hat er im Allgemeinen in einem bewegten anderen Bezugssystem nicht nur eine andere Geschwindigkeit, sondern auch eine andere Beschleunigung. Die Unterschiede der beobachteten Beschleunigungen werden als Wirkung von Trägheitskräften aufgefasst. Weiteres siehe dort.

Siehe auch

• Orthogonaler Tensor #Starrkörperbewegungen

Literatur

• F. Scheck: Theoretische Physik. 1. Mechanik. Springer Verlag, ISBN 978-3-540-71377-7
• Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. 6. Auflage. Springer, 2011, Kap. 27.2 ff.
• Martin Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik – Kinetik – Schwingungen, Festigkeitslehre. 6. überarbeitete Auflage. Hanser, 2008, ISBN 978-3-446-41690-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 

Einzelnachweise und Anmerkungen