Streuamplitude

Die Streuamplitude $ f $ ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude $ f(p\to p') $ ist über den S-Operator $ S $ definiert:

$ \langle p'|S|p\rangle =\delta ^{(3)}({\vec {p}}'-{\vec {p}})+{\tfrac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\delta (E'-E)f(p\to p') $

Dabei sind

• $ |p\rangle $ der Anfangszustand und $ |p'\rangle $ der Endzustand mit definiertem Impuls, also Eigenzustände des Impulsoperators,
• $ {\vec {p}},{\vec {p}}' $ die Impulse der Zustände,
• $ E,E' $ die Energie der Zustände,
• $ m $ die Masse (Physik) der Zustände und
• $ \delta $ die Dirac-Distribution.

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels $ \theta $ zwischen $ {\vec {p}} $ und $ {\vec {p}}' $ geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

$ {\begin{aligned}\psi _{\mathrm {out} }({\vec {p}}')&=\langle p'|\psi _{\mathrm {out} }\rangle =\langle p'|S|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \langle p|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \,\psi _{\mathrm {in} }(p)\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)f(p\to p')\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}f(E',\theta )\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)\;\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\end{aligned}} $

Wenn für die eingehende Welle $ \psi _{\mathrm {in} } $ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

$ \psi _{\mathrm {out} }(p')=e^{\mathrm {i} p'z}+f(E',\theta )\;{\frac {e^{\mathrm {i} p'r}}{r}} $

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

$ {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\vartheta )|^{2}\;. $

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

$ \sigma _{\mathrm {tot} }=\int _{4\pi }{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\cdot d\Omega ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0) $

mit der Wellenzahl $ k $ und dem Imaginärteil $ \mathrm {Im} \,f(0) $ der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

$ f(\vartheta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)\;f_{\ell }(k)\;P_{\ell }(\cos \vartheta ) $

wobei

• $ f_{\ell }(k) $ die partielle Streuamplitude
• $ P_{\ell }(\cos \vartheta ) $ das Legendre-Polynom
• $ \ell $ der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element $ S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }} $ und die Streuphase $ \delta _{\ell } $ ausgedrückt werden:

$ f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;. $

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude $ f_{\ell } $, das S-matrix Element $ S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }} $ und die Streuphase $ \delta _{\ell } $ implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses $ k $ sind (hier in Form des Wellenvektors k, wobei gilt $ {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}} $).

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

$ \sigma _{\text{total}}={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}\;. $

Die Streulänge $ a_{\ell } $ kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

$ f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }\cdot p^{2\ell } $

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge $ a_{0} $ der s-Wellen $ (\ell =0) $ als Streulänge bezeichnet.

Literatur

• John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.