Gitterparameter
Ein Gitterparameter oder eine Gitterkonstante, manchmal auch Zellparameter genannt, ist entweder eine Längenangabe oder ein Winkel, der zur Beschreibung eines Gitters, insbesondere der kleinsten Einheit des Gitters, der Elementarzelle, benötigt wird. Der Gitterparameter ist entweder eine Seitenlänge der Elementarzelle oder ein Winkel zwischen den Kanten der Zelle. Gitterparameter sind bedeutend in der Kristallographie und der Optik.
Definition
Das Gitter wird durch periodisches Verschieben einer Elementarzelle um jeweils denselben Abstand in eine bestimmte Raumrichtung erzeugt (Gittervektor):
- Für ein eindimensionales optisches Gitter genügt ein einziger Gitterparameter, nämlich die Angabe des Abstandes benachbarter (paralleler) Gitterelemente.
- In zwei Dimensionen gibt es zwei verschiedene Gittervektoren und drei notwendige Gitterparameter – zwei Längen und den Winkel zwischen den Gittervektoren.
- Für die Beschreibung eines dreidimensionalen Gitters werden maximal sechs Parameter benötigt, drei Längen und drei Winkel. Diese sechs Parameter, die die Elementarzelle definieren, werden oft mit a, b, c und α, β, γ bezeichnet. Drei davon, a, b und c, sind die Längen der Gittervektoren, die die Elementarzelle aufspannen. Die anderen drei, α, β und γ, sind die Winkel zwischen diesen Vektoren, und zwar
- α der Winkel zwischen b und c,
- β der Winkel zwischen a und c,
- γ der Winkel zwischen a und b.
Die Beschreibung eines Gitters durch Gitterparameter ist nicht eindeutig, verschiedene Sätze von Gitterparametern können dasselbe Gitter beschreiben. Daher wird in der Regel als Elementarzelle die konventionelle Zelle verwendet. Bei dieser Wahl der Einheitszelle können in den einzelnen Kristallsystemen bereits einzelne Gitterparameter festliegen, so dass die Anzahl der unabhängigen Gitterparameter verringert ist. Daher benötigt man
- zur Beschreibung eines kubischen Gitters nur einen Gitterparameter,
- zur Beschreibung eines tetragonalen, hexagonalen und trigonalen Gitters jeweils zwei Gitterparameter,
- für ein orthogonales Gitter drei Gitterparameter,
- für ein monoklines Gitter vier Gitterparameter,
- für ein triklines Gitter sechs Gitterparameter.
Bestimmung
Gitterparameter können im einfachsten Fall direkt oder mit dem Mikroskop gemessen werden. Beispielsweise besitzt ein Gitter mit 250 Linien pro Zentimeter eine Gitterkonstante von $ g={\tfrac {1\ \mathrm {cm} }{250}}=0{,}004\ \mathrm {cm} $.
Zum direkten Vermessen der Parameter von kristallinen Stoffen können das Transmissionselektronenmikroskop oder das Rastertunnelmikroskop verwendet werden. Zumeist erfolgt die Ermittlung der Gitterparameter aber mittels Beugungsmethoden, beispielsweise mit der Röntgenbeugung. Bei der Röntgenstrukturanalyse ist die Bestimmung der Gitterparameter der erste Schritt zur Bestimmung der vollständigen Kristallstruktur.
Die Zellparameter von Oberflächenstrukturen können mit Hilfe der Beugung langsamer Elektronen (Low Energy Electron Diffraction, LEED) bestimmt werden.
Beispiele
Der Gitterparameter von Silicium, das eine Diamantstruktur ausbildet, wurde mit sehr großer Genauigkeit gemessen und beträgt 543,102 0504 (89) pm.[1][2] Die genaue Vermessung wurde im Hinblick auf eine mögliche neue Festlegung des Kilogramms und des Mols durchgeführt.
Die Massendichte eines kristallinen Stoffs lässt sich aus den Gitterparametern bestimmen. Im einfachen Fall kubischer Gitter ist die Dichte:
- $ \rho =n\cdot {\frac {A_{r}\cdot u}{a^{3}}} $
mit
- der Zahl n der Atome je Elementarzelle:
- 8 für die Diamantstruktur
- 4 für das kubisch flächenzentrische Gitter
- 2 für das kubisch raumzentrische Gitter
- 1 für das kubische primitive Gitter
- der relativen Atommasse Ar
- der atomaren Masseneinheit u
- dem Gitterparameter a.
Die Bindungslänge in der Diamantstruktur ist $ l=a\cdot {\tfrac {\sqrt {3}}{4}} $, im kubisch flächenzentrischen Gitter $ l=a\cdot {\tfrac {\sqrt {2}}{2}} $, im kubisch raumzentrischen Gitter $ l=a\cdot {\tfrac {\sqrt {3}}{2}} $ und im kubischen primitiven Gitter $ l=a $.
Der Gitterparameter von Eisen mit einem kubisch raumzentrischen Gitter ist 286,65 pm. Für den Gitterparameter kubisch flächenzentrierter Strukturen seien die Beispiele Nickel 352,4 pm, Kupfer 361,48 pm, Silber 408,53 pm, und Gold 407,82 pm genannt.
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 26. Juli 2015. Gitterparameter von Silicium. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
- ↑ Die Messung der Gitterkonstante erfolgte mit Silicium natürlich vorkommender Isotopenzusammensetzung bei einer Temperatur von 22,5 °C im Vakuum, vgl. S. 33 (PDF-Datei; 855 kB) und S. 676 (PDF-Datei; 2,02 MB).