Harte Kugeln sind ein häufig verwendetes Teilchenmodell für Fluide und Festkörper in der statistischen Mechanik. Sie sind definiert als nicht-durchdringbare Kugeln im Raum, die sich nicht überlappen können, und modellieren die starke Abstoßung, die Atome und kugelförmige Moleküle auf sehr kleinen Distanzen zueinander erfahren. Untersucht werden harte Kugeln mittels analytischer Methoden, durch Simulation molekularer Dynamik sowie die experimentelle Untersuchung von bestimmten Kolloid-Modellsystemen.
Harte Kugeln mit Durchmesser $ \sigma $ sind Teilchen mit dem folgenden paarweisen Wechselwirkungspotential:
wobei $ \mathbf {r} _{1} $ und $ \mathbf {r} _{2} $ die Positionen der beiden Teilchen beschreiben.
Die ersten drei Virialkoeffizienten für harte Kugeln können analytisch ermittelt werden:
| $ {\frac {B_{2}}{v_{0}}} $ | = | $ 4{\frac {}{}} $ |
| $ {\frac {B_{3}}{{v_{0}}^{2}}} $ | = | $ 10{\frac {}{}} $ |
| $ {\frac {B_{4}}{{v_{0}}^{3}}} $ | = | $ -{\frac {712}{35}}+{\frac {219{\sqrt {2}}}{35\pi }}+{\frac {4131}{35\pi }}\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 18{,}365 $ |
Koeffizienten höherer Ordnung können durch Monte-Carlo-Integration numerisch gefunden werden. Beispielhaft seien die folgenden aufgelistet:
| $ {\frac {B_{5}}{{v_{0}}^{4}}} $ | = | $ 28{,}24\pm 0{,}08 $ |
| $ {\frac {B_{6}}{{v_{0}}^{5}}} $ | = | $ 39{,}5\pm 0{,}4 $ |
| $ {\frac {B_{7}}{{v_{0}}^{6}}} $ | = | $ 56{,}5\pm 1{,}6 $ |
Eine Tabelle von Virialkoeffizienten für bis zu acht Dimensionen können im SklogWiki[1] gefunden werden.
Das Harte-Kugeln-System bildet einen Flüssig-Fest-Phasenübergang zwischen den Packungsdichten für Gefrieren $ \eta _{\mathrm {f} }\approx 0{,}494 $ und Schmelzen $ \eta _{\mathrm {m} }\approx 0{,}545 $. Der Druck divergiert zufällig bei dichtesten Packungen $ \eta _{\mathrm {rcp} }\approx 0{,}644 $ für den metastabilen Flüssigkeitszweig und bei dichtesten Packungen $ \eta _{\mathrm {cp} }={\sqrt {2}}\pi /6\approx 0{,}74048 $ für den stabilen festen Zweig.
Der Strukturfaktor für eine Flüssigkeit aus harten Kugeln kann über die Percus-Yevick-Näherung berechnet werden.
Nicht nur Kugeln können mit einem harten Wechselwirkungspotential ausgestattet werden, sondern auch Körper beliebiger Geometrie.