Reynolds-Gleichungen

Die Reynolds-Gleichungen oder Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen (nach Osborne Reynolds) sind eine Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen, die in der numerischen Strömungsmechanik zur Approximation turbulenter Strömungen verwendet werden. Wegen des englischen Begriffs Reynolds-Averaged-Navier-Stokes equations werden sie auch als RANS-Gleichungen bezeichnet.

Grundprinzip

Da für turbulente Strömungen mit technisch relevanten Reynolds-Zahlen die Navier-Stokes-Gleichungen nicht mit vertretbarem Aufwand numerisch gelöst werden können (siehe Direkte Numerische Simulation), werden die Größen in einen Mittelwert und einen Schwankungswert aufgeteilt. Hierbei wird der Mittelwert so gewählt, dass die Schwankung den Mittelwert Null hat.

Eine Möglichkeit ist die Reynolds-Mittelung, bei der über einen kleinen Zeitraum gemittelt wird, oder die Ensemble-Mittelung für instationäre Strömungen. Dadurch tauchen in den Gleichungen zusätzliche Terme auf, die mittels eines Turbulenzmodells beschrieben werden müssen.

Inkompressible Probleme

In den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen werden

• die Momentanwerte der Geschwindigkeitskomponenten und des Druckes durch die jeweilige Addition von Mittelwert und statistischer Schwankung ersetzt:
  $ u_{i}={\bar {u_{i}}}+u_{i}' $ und
  $ p={\bar {p}}+p' $
• Dichte- und Viskositäts­schwankungen vernachlässigt:
  $ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\Leftrightarrow \rho =konst. $ und $ {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=0\Leftrightarrow \eta =konst. $

Konkret ergibt sich für die Impulsgleichung der Navier-Stokes-Gleichungen in Einsteinscher Summenkonvention

$ \rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+\rho \left({\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}\right)=f_{i}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\eta {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right) $

bei Ersetzung der angesprochenen Größen:

$ \Rightarrow \rho {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+\rho \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}\right)={\bar {f}}_{i}-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\eta \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-\rho \underbrace {\overline {u_{i}'u_{j}'}} _{RST}\right) $

Der aus der Mittelung resultierende Term folgt aus der nicht zu vernachlässigenden Geschwindigkeitkorrelation: $ {\overline {u_{i}'u_{j}'}} $. Dieser Tensor wird Reynolds-Spannungstensor (RST) genannt.

Kompressible Probleme

Bei den kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen wird zusätzlich die so genannte Favre-Mittelung verwendet, um Produkte von Mittelwerten zu vermeiden. Hier ergibt sich neben dem Reynolds-Spannungstensor die turbulente kinetische Energie als weiterer unbekannter Term.

Literatur

• Joel H. Ferziger, Milovan Perić: Numerische Strömungsmechanik. 1. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-67586-0. 

• Hermann Schlichting, Klaus Gersten: Grenzschicht-Theorie. 10. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-23004-5.