Spannungszustand

Spannungszustand mit Zugspannungen und Druckspannungen

Der Spannungszustand ist die Gesamtheit aller denkbaren Spannungsvektoren in einem materiellen Punkt in einem belasteten Körper,^[1] siehe Bild. Bei einer gegebenen Schnittebene mit einem Normaleneinheitsvektor definiert der Spannungszustand einen Spannungsvektor, der auf dieser Fläche wirkt. Im Bild ist der Spannungsvektor am Ende des Normalenvektors aufgetragen.

Der Körper kann starr, fest, flüssig oder gasförmig sein. Der Spannungszustand ist abhängig von der Belastung (Druck, Scherung und bei Festkörpern zusätzlich Zug, Biegung, Torsion), den Materialeigenschaften und der Geometrie des Körpers. Die Spannungen werden in Normalspannungen (radial im Bild) und Schubspannungen (tangential im Bild) unterschieden. Der Spannungstensor fasst einen Spannungszustand zu einem mathematischen Objekt zusammen.

Definition

Vier flächenverteilte Kräfte (Pfeile) am infinitesimal kleinen Tetraeder (grau) müssen sich jederzeit und überall gegenseitig aufheben.

Drei Spannungsvektoren in einem Punkt auf drei verschiedenen Ebenen, deren Flächennormalen linear unabhängig sind, definieren den Spannungszustand in dem Punkt vollständig.^[2]

Denn wenn auf einer vierten Ebene durch den Punkt, im Folgenden P genannt, der Spannungsvektor gesucht wird, dann ergibt sich dieser wie folgt in eindeutiger Weise aus den drei bekannten. Die vierte Ebene werde dazu ein infinitesimales Stück vom Punkt P weg parallelverschoben, wodurch die vier Ebenen einen Tetraeder aus dem Körper ausschneiden, siehe Bild. Der Tetraeder sei so klein, dass in seinem Raumbereich der Spannungszustand gleichförmig ist. Dann bilden die mit ihrer Tetraederfläche multiplizierten Spannungsvektoren Kräfte, die mit der Kraft auf der vierten Fläche im Gleichgewicht sein müssen, denn Volumeneffekte (Erdbeschleunigung, Magnetismus,...) streben beim infinitesimal kleinen Tetraeder als volumenproportionale Größen gegenüber den flächenproportionalen spannungsinduzierten Kräften gegen Null. Damit ist also die Kraft eindeutig bestimmt, genauso ist aber auch aus drei Tetraederflächen die vierte eindeutig bestimmt und mit ihr der Spannungsvektor auf ihr. Weil im Raumbereich des Tetraeders der Spannungszustand gleichförmig ist, wirkt dieser Spannungsvektor auch auf der vierten Ebene durch P.

Eine genaue Analyse zeigt, dass deshalb der Zusammenhang zwischen den Flächennormalen und den Spannungsvektoren ein linearer sein muss, was die Aussage des Cauchy’schen Fundamentaltheorems ist, mit dem Augustin-Louis Cauchy den Spannungstensor als linearen Operator zwischen den Normalenvektoren und den Spannungsvektoren einführte.

Grad des Spannungszustands

Der Grad des Spannungszustands wird von der Anzahl der nicht verschwindenden Hauptspannungen bestimmt.

Unter einaxialem oder uniaxialem Zug bzw. Druck herrscht ein einachsiger Spannungszustand (Hauptspannung in Belastungsrichtung, die beiden anderen Hauptspannungen sind null), sofern es keine Querdehnungsbehinderung gibt und der Spannungszustand vollkommen homogen ist, was im Allgemeinen auch ein homogenes Material und homogenen Querschnitt voraussetzt. Dieser findet sich beispielsweise in auf Zug belasteten langen Stäben, abseits von der Lasteinleitungszone.

Bei biaxialem Zug herrscht ein zweiachsiger oder ebener Spannungszustand (zwei Hauptspannungen in den Belastungsrichtungen, die dritte Hauptspannung senkrecht zur Ebene ist null). An unbelasteten Teilen der Oberfläche eines Körpers herrschen ebene Spannungszustände. Mehr dazu findet sich unten.

In unregelmäßig geformten Bauteilen/Proben (Bsp.: ISO-V-Probe aus Kerbschlagbiegeversuch), in Krafteinleitungsstellen oder bei ungleichförmiger Belastung treten meist dreiachsige, räumliche Spannungszustände mit drei nicht verschwindenden Hauptspannungen auf.

Spezialfälle

Hydrostatischer Spannungszustand

Der hydrostatische Spannungszustand ist ein räumlicher Spannungszustand, bei dem alle drei Hauptspannungen gleich sind. Die Spannungsvektoren sind in jeder Schnittebene parallel zu ihrer Normale und es treten in keiner Ebene Schubspannungen auf. Dieser Spannungszustand ist bei Windstille auf der Erde allgegenwärtig, weil der hydrostatische Druck der Erdatmosphäre diesen Spannungszustand in allen ansonsten unbelasteten Körpern erzeugt. Hydrostatischem Druck kann von Materialien in hohem Maß ohne bleibende Verformungen standgehalten werden.

Ebener Spannungszustand

Ebene Spannungszustände kommen, wie schon gesagt, bei biaxialem Zug oder an unbelasteten Teilen der Oberfläche von Körpern vor. Genauso kann auch in dünnen Schalen, Flugmembranen oder Flächentragwerken fernab von Krafteinleitungsstellen oder anderen Störstellen von einem ebenen Spannungszustand ausgegangen werden. Diese können anschaulich durch den Mohr’schen Spannungskreis dargestellt werden.

An unbelasteten Teilen der Körperoberfläche sind die Bedingungen des ebenen Spannungszustands exakt erfüllt, denn die Schnittreaktion entfällt dort in der Tangentialebene an die Oberfläche nach Voraussetzung. Im Körperinneren kann ein ortsabhängiger Spannungszustand im Allgemeinen nur näherungsweise ein ebener sein, denn auf Grund der dann ebenfalls ortsabhängigen Querkontraktion des Körpers, bei ν≠0, entstehen in ihm Schubverzerrungen, die senkrecht zur Ebene wirken. Diese Schubverzerrungen bewirken im Allgemeinen aber entsprechende, senkrecht zur Ebene wirkende Schubspannungen. Nur wenn diese vernachlässigbar klein sind, kann noch von einem ebenen Spannungszustand gesprochen werden.

Homogener Spannungszustand

Ein homogener Spannungszustand ist ein ortsunabhängiger Spannungszustand, der fernab von Störstellen, wie Krafteinleitungsstellen oder Kerben, entsteht. In einem homogenen Spannungszustand wird das Tragverhalten eines Materials optimal ausgenutzt.

In einem ebenso homogenen Material stellt sich bei homogener Belastung und homogenen Querschnitt ein ebenso homogener Verzerrungszustand ein. Die Dehnung kann dann mit Dehnungsmessstreifen, Messkameras oder Messarmen bestimmt werden, die makroskopische Messapparaturen sind. Nur wenn im betrachteten Raumbereich ein homogener Zustand vorliegt, liefert die gemessene Dehnung einen direkt interpretierbaren Wert für die Dehnung der Probe. Bei inhomogenen Dehnungen, z. B. bei Eigenspannungsbestimmung durch freibohren nimmt man i.d.R. Mathematische Methoden diese Dehnungen zu interpretieren und auszuwerten. Bei bekannter eingebrachter homogener Nenn-Spannung kann dann von den gemessenen Dehnungen auf das Spannungs-Dehnungs-Verhalten an einem materiellen Punkt geschlossen werden. Entsprechend ist der homogene Spannungszustand in der Materialtheorie und der Messtechnik von hervorragender Bedeutung.

In diesem Zusammenhang ist die universale Deformation wichtig, die bei beliebigem Material durch ausschließlich oberflächlich eingeleitete Spannungen hervorgerufen werden kann^[3]. Eine universale Deformation mit homogenen Spannungszustand wird bei ein- oder mehraxialem Zug, insbesondere hydrostatischem Druck, bei Scherung oder Torsion geschaffen.

Spannungszustände in Flächenträgern

Membran- und Biegespannungszustand in einer durch eine Einzelkraft belasteten Kuppelschale

Das Bild zeigt eine Kuppelschale, die in ihrer Mitte mit einer Einzelkraft belastet wird. Fernab der Krafteinleitung liegt der Membranspannungszustand vor (blau im Bild). In der Umgebung der Krafteinleitung, die eine Störstelle ist, liegt ein Biegespannungszustand vor (grün).

Unter bestimmten Voraussetzungen werden in einer Schale die Belastungen vorrangig durch über die Wandstärke konstant verteilte und zur Schalenmittelfläche parallele Spannungen zu den Stützen hin abgeleitet. In solchen Fällen wird von einem Dehnspannungs- oder Membranspannungszustand gesprochen, der auch im Scheibenspannungszustand ebener Flächentragwerke vorliegt, siehe Scheibentheorie. Im Membranspannungszustand wird das Tragverhalten des Materials optimal ausgenutzt. Der Membranspannungszustand bildet sich fernab von Krafteinleitungsstellen und anderer Störstellen aus.

In der Nähe von Störstellen kommt es bei Schalen zum ungünstigeren Biegespannungszustand. In der Umgebung der Störstelle entstehen über die Schalendicke variierende Biegespannungen und Schubspannungen senkrecht zur Schalenmittelfläche. Nach dem Prinzip von St. Venant klingen die Störungen aber mit dem Abstand zur Störstelle rasch ab. Der Biegespannungszustand kann mit dem Plattenspannungszustand ebener Flächentragwerke verglichen werden, siehe Plattentheorie.

Anwendung in der Festigkeitslehre

Der Spannungszustand kann zur Charakterisierung von Verformungen in Bauteilen herangezogen werden, wobei Dehnungen dann auch noch eine Rolle spielen. Der Spannungszustand eignet sich insbesondere für Festigkeitsbetrachtungen in isotropen elastischen Festkörpern, wobei oft die Kenntnis einer oder mehrerer Spannungen im Querschnitt eines Bauteils an einer bestimmten Stelle oder an mehreren bestimmten Stellen für Rückschlüsse an anderer Stelle im gleichen Bauteil heranzuziehen versucht wird. Solche Festigkeitsbetrachtungen sind Gegenstand der Elastizitäts- und der Plastizitätstheorie. Die Verformungen verursachen Spannungen und können durch Festigkeitsberechnungen oftmals systematisch ermittelt werden. Eine häufig verwendete Vorgehensweise ist dabei die, dass man die räumlichen Spannungszustände an einem aussagekräftigen Punkt in einem belasteten Bauteil ermittelt, indem man Dehnungen am Bauteil mit Dehnungsmessstreifen-Messtechnik misst, diese über bestimmte Rechnungen in einen Spannungstensor einbringt und anschließend durch Hauptachsentransformation extremale Spannungen ermittelt.

Literatur

• Hans Göldner, Franz Holzweißig: Leitfaden der Technischen Mechanik: Statik, Festigkeitslehre, Kinematik, Dynamik. 11. verb. Auflage. Fachbuchverlag, Leipzig 1989, ISBN 3-343-00497-9
• Eduard Pestel, Jens Wittenburg: Technische Mechanik. Band 2: Festigkeitslehre. 2. überarb. und erw. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1992, ISBN 3-411-14822-5

Einzelnachweise