Strömungswiderstandskoeffizient

Der Strömungswiderstandskoeffizient, Widerstandsbeiwert oder c_w-Wert (nach dem üblichen Formelzeichen $ c_{\mathrm {w} } $) ist ein dimensionsloses Maß (Koeffizient) für den Strömungswiderstand eines von einem Fluid umströmten Körpers.

Umgangssprachlich ausgedrückt ist der $ c_{\mathrm {w} } $-Wert ein Maß für die „Windschlüpfrigkeit“ eines Körpers. Es lässt sich aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten bei zusätzlicher Kenntnis von Geschwindigkeit, Stirnfläche, Flügelfläche etc. und Dichte des Fluids (z. B. der Luft) die Kraft des Strömungswiderstands berechnen.

Definition

Der Strömungswiderstandskoeffizient ist durch:

$ c_{\mathrm {w} }\,=\,{\frac {F_{\mathrm {w} }}{q\,A}}\,=\,{\frac {2F_{\mathrm {w} }}{\rho \,v^{\,2}A}} $

definiert. Hierbei wird die Widerstandskraft $ F_{\mathrm {w} } $ auf den Staudruck $ q $ der Anströmung und eine Referenzfläche $ A $ normiert. Ferner bilden $ \rho $ die Dichte und $ v $ die Geschwindigkeit der ungestörten Anströmung. Die Referenzfläche ist definitionsabhängig. Bei Fahrzeugen ist die Widerstandsfläche^[1][2] gleich der Stirnfläche. In der Flugzeugaerodynamik wird jedoch die Auftriebsfläche, also die Flügelfläche als Referenz herangezogen.

Andere Bezeichnungen für den Strömungswiderstandskoeffizient lauten (Luft-)Widerstandsbeiwert, -koeffizient oder Stirnwiderstand. Das Formelzeichen $ c_{\mathrm {w} } $ (mit w für Widerstand) ist nur im deutschen Sprachraum üblich; im Englischen wird der Drag-Coefficient als $ c_{\mathrm {d} } $ oder $ c_{\mathrm {x} } $ notiert.

Abhängigkeit des Strömungswiderstandskoeffizienten

Allgemein gilt, dass bei inkompressibler Strömung^{[A 1]} der Strömungswiderstandskoeffizient c_W von der Reynolds-Zahl $ {\mathit {Re}} $ abhängt:

$ c_{\mathrm {w} }=f({\mathit {Re}})\!\, $ mit $ {\mathit {Re}}={\frac {vL\rho }{\eta }} $

Diese Aussage ergibt sich, wenn man davon ausgeht, dass die Strömungswiderstandskraft $ F_{\mathrm {w} } $ eines Körpers in einer bestimmten Lage abhängig von der Anströmgeschwindigkeit $ v $, der Dichte $ \rho $ und der Viskosität (Zähigkeit) $ \eta $ des Fluids sowie einer charakteristischen Länge $ L $ des Körpers ist. Die charakteristische Länge $ L $ ist eine bestimmte geometrische Abmessung, deren Quadrat $ L^{2} $ in einem festen Verhältnis zur Bezugsfläche $ A $ steht.

$ F_{\mathrm {w} }=f(v,\,\rho ,\,\eta ,\,L) $

Mittels einer Dimensionsanalyse nach dem Buckinghamschen Π-Theorem lässt sich ableiten, dass die zwei Ähnlichkeitskennzahlen Strömungswiderstandskoeffizient $ c_{\mathrm {w} } $ und Reynoldszahl $ {\mathit {Re}} $ ausreichen, um den Strömungswiderstand eines bestimmten Körpers zu beschreiben,^[3] was eine unkompliziertere allgemeingültige Darstellung des Widerstandes einer bestimmten Körperform ermöglicht.

Stumpfe, kantige Körper haben über einen großen Bereich der Reynolds-Zahl einen weitgehend konstanten Widerstandsbeiwert. Das ist z. B. beim Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen bei den relevanten Geschwindigkeiten der Fall.

c_w in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit

Bei kompressiblen Strömungen, also bei Strömungen mit veränderlicher Dichte, besteht auch eine Abhängigkeit des Strömungswiderstandskoeffizienten von der Mach-Zahl. Im transsonischen Bereich und im Überschallbereich ändert sich der Strömungswiderstandskoeffizient stark. In der Nähe der Schallgeschwindigkeit steigt er auf ein Mehrfaches an und sinkt bei sehr hohen Machzahlen auf etwa den doppelten Unterschall-c_w-Wert. Die Grafik veranschaulicht den Zusammenhang schematisch. Oberhalb der kritischen Machzahl überschreiten Teilumströmungen die Schallgeschwindigkeit. Oberhalb der Widerstandsdivergenzmachzahl^[4] steigt der Strömungswiderstand stark an. Das Verhalten im Überschallbereich wird bestimmt durch die Geometrie des Körpers. In der Zeichnung steht die grüne Kurve für einen stromlinienförmigen Körper.

Der Widerstandsbeiwert bestimmt für Satelliten ihre Lebensdauer im Orbit. Bei einer Flughöhe oberhalb von ca. 150 km ist die Atmosphäre so dünn, dass die Strömung nicht mehr als laminare Kontinuumsströmung, sondern als freie molekulare Strömung approximiert wird. In diesem Bereich liegt der c_w-Wert typischerweise zwischen 2 und 4, oft wird mit einem Wert von 2,2 gerechnet. Mit steigender Höhe verringert sich der Einfluss der Atmosphäre und ist oberhalb von ca. 1000 km vernachlässigbar.

Ermittlung

Der Strömungswiderstandskoeffizient wird üblicherweise im Windkanal ermittelt. Der Körper steht dabei auf einer Platte, die mit Kraftsensoren ausgestattet ist. Die Kraft in Richtung der Anströmung wird gemessen. Aus dieser Widerstandskraft $ F_{\mathrm {w} } $ und den bekannten Größen wie Luftdichte und Stirnfläche wird der Strömungswiderstandskoeffizient bei gegebener Anströmgeschwindigkeit errechnet. Neben der experimentellen Ermittlung kann der Widerstand je nach Komplexität der Modellform und verfügbarer Rechnerkapazität auch numerisch über die Integration der Verteilung von Reibungs- und Druckbeiwert über die Modelloberfläche berechnet werden.

Anwendung

Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten wird die Widerstandskraft $ F_{\mathrm {w} } $ wie folgt berechnet:

$ F_{\mathrm {w} }={\frac {\rho \,c_{\mathrm {w} }\,A\,v^{\,2}}{2}} $

Der Strömungswiderstand hängt somit ab von

• der Dichte des strömenden Fluids $ \rho $ (vergleiche Luftdichte!),
• der Referenzfläche $ A $,
• der Strömungsgeschwindigkeit $ v $ und
• dem Strömungswiderstandskoeffizienten $ c_{\mathrm {w} } $.

Der Luftwiderstand ist somit jeweils proportional zum Strömungswiderstandskoeffizient, zur projizierten Frontfläche und zum Quadrat der Geschwindigkeit. Die erforderliche Antriebsleistung ist wegen $ P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}} $ sogar proportional zur dritten Potenz der Geschwindigkeit. Daher hat die Wahl der Geschwindigkeit bei Kraftfahrzeugen neben den anderen beiden Faktoren besondere Auswirkung auf den Treibstoffverbrauch.

Der Luftwiderstand ist ausschlaggebend für die Abweichung der tatsächlichen ballistischen Kurve von der idealisierten Wurfparabel.

Beispiele

c_w-Werte von typischen Körperformen

$ \mathrm {Re} $ bezeichnet hierbei die Reynolds-Zahl

Luftwiderstandsbeiwerte von Kraftfahrzeugen

Veröffentlichte c_w-Werte sind äußerst kritisch zu hinterfragen, oftmals noch heute an kleinen Modellen unter Missachtung der Modellprinzipien ermittelt, früher beispielsweise durch die Deutsche Versuchsanstalt für Luftfahrt mit c_w=0,244 für den Tatra 87, der viel später als Original mit c_w=0,36 gemessen wurde.^[7]

Der c_w-Wert quantifiziert die aerodynamische Güte eines Körpers. Durch Multiplikation mit der Bezugsfläche $ A $ (bei Fahrzeugen üblicherweise die Stirnfläche) erhält man die Widerstandsfläche eines Fahrzeugs: Widerstandsfläche $ f_{\mathrm {w} }=c_{\mathrm {w} }A $. Der Luftwiderstand, der den Verbrauch eines Kraftfahrzeugs bei hohen Fahrgeschwindigkeiten bestimmt, ist proportional zur Widerstandsfläche. Von Herstellern wird die Stirnfläche selten angegeben.

Literatur

• Sighard F. Hoerner: Fluid-Dynamic Drag. Eigenverlag, 1965.
• Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch der Physik. 4. Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
• Hans-Hermann Braess, Ulrich Seiffert: Vieweg-Handbuch Kraftfahrzeugtechnik. 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2001, ISBN 3-528-13114-4.
• Karl-Heinz Dietsche, Thomas Jäger, Robert Bosch GmbH: Kraftfahrtechnisches Taschenbuch. 25. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-23876-3.
• Wolfgang Demtröder: Mechanik und Wärme. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-26034-X (Experimentalphysik. Band 1).

Weblinks

• $ c_{\mathrm {w} } $-Werte von 1362 Fahrzeugen, abgerufen 12. August 2017.
• Facharbeit zum Thema $ c_{\mathrm {w} } $-Werte von KFZ, Formel 1 und allgemeine Heranführung an das Thema (PDF-Datei; 835 kB)
• Sonderausstellung in Hamburg: „100 Jahre gegen den Wind“ in Auto, Motor und Sport
• In der Geheimkammer der Luftikusse, FAZ/FAS 8. September 2014, abgerufen 14. August 2017.

Einzelnachweise

Anmerkungen