Washburn-Gleichung

In der Physik wird die Washburn-Gleichung zur Beschreibung der kapillaren Strömung in porösen Materialien benutzt.

Diese ist folgendermaßen definiert:

$ L^{2}={\frac {\gamma Dt}{4\eta }}. $

$ t $ ist die Zeit, welche eine Flüssigkeit mit der Viskosität $ \eta $ und der Oberflächenspannung $ \gamma $ zum Eindringen in ein vollständig benetzbares, poröses Material mit einem durchschnittlichen Porendurchmesser $ D $ über eine bestimmte Eindringtiefe $ L $ braucht.

Die Gleichung ist abgeleitet aus der Gleichung für die Kapillarströmung in einem zylindrischen Rohr ohne Einwirkung eines äußeren Gravitationsfeldes. Popularität erlangte die Washburn-Gleichung in England durch den Physiker Len Fisher der Universität Bristol. Er demonstrierte die Anwendung der Washburn-Gleichung anhand eines Kekstauchexperiments, um die Wissenschaft der Physik durch die Beschreibung alltäglicher Probleme zugänglicher zu machen.

Die Gleichung geht auf einen Artikel von Edward W. Washburn von 1921 zurück. Dort wendet Washburn das Gesetz von Hagen-Poiseuille auf die Bewegung einer Flüssigkeit in einem kreisförmigen Rohr an. Nach Einsetzen des Ausdrucks für ein differentielles Volumen $ dV=\pi r^{2}dl $, welches über die differentielle Länge $ l $ einer Flüssigkeit in einem Rohr definiert wird, erhält man folgende Gleichung:

$ {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum P}{8r^{2}\eta l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3}). $

$ \sum P $ ist die Summe aller wirkenden Drücke, darunter aus atmosphärischem Druck $ P_{A} $, aus hydrostatischem Druck $ P_{h} $ und aus dem Druckäquivalent $ P_{c} $ aufgrund von Kapillarkräften. $ \eta $ ist die Viskosität der Flüssigkeit und $ \epsilon $ der Gleitreibungskoeffizient, welcher für benetzbare Materialien 0 wird. $ r $ ist der Radius der Kapillare. Der Druck kann zudem folgendermaßen ausgedrückt werden:

$ P_{h}=hg\rho -lg\rho \sin \psi , $

$ P_{c}={\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi . $

$ \rho $ ist die Dichte der Flüssigkeit und $ \gamma $ dessen Oberflächenspannung. $ \psi $ ist der Ausrichtungswinkel des Rohres bezogen auf eine horizontale Achse. $ \phi $ bezeichnet den Benetzungswinkel der Flüssigkeit bei Kontakt mit dem Rohrmaterial.

Das Einsetzen dieser Gleichungen in obige führt zu einer Differentialgleichung erster Ordnung, die die Eindringtiefe $ l $ der Flüssigkeit in das Rohr beschreibt:

$ {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[P_{A}+g\rho (h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8r^{2}\eta l}}. $

Literatur

• Edward W. Washburn: The Dynamics of Capillary Flow. In: Physical Review. Band 17, Nr. 3, 1921, S. 273–283 (doi:10.1103/PhysRev.17.273).

Weblinks

• Herleitung, Entwicklung und Anwendung der Washburn-Gleichung