DGLAP-Gleichungen

Die DGLAP-Gleichungen beschreiben in der Teilchenphysik, wie die Partondichten von der betrachteten Energieskala abhängen.^[1] Sie wurden unabhängig von den Physikern Yuri Dokshitzer,^[2] Wladimir Naumowitsch Gribow und Lew Nikolajewitsch Lipatow,^[3] sowie Guido Altarelli und Giorgio Parisi^[4] entwickelt, nach deren Anfangsbuchstaben die Gleichungen benannt sind. Nach den letzten beiden wurden die Gleichungen früher auch als Altarelli-Parisi-Gleichungen bezeichnet.

Hintergrund

Partondichten sind Verteilungsfunktionen von Bestandteilen stark gebundenener Systeme der starken Wechselwirkung wie zum Beispiel Protonen und hängen vom Impulsbruchteil des Partons $x$ sowie der betrachteten Energieskala $Q^{2}$ ab. Dabei ist der Impulsbruchteil zwischen $0 \leq x \leq 1$ beschränkt, die Energieskala ist hingegen zu hohen Energien beliebig weit offen. Da die Kopplungskonstante der starken Wechselwirkung in gebundenen Systemen groß wird, sind diese Systeme perturbativ nicht beschreibbar; die Partondichten müssen daher experimentell bestimmt werden. Die DGLAP-Gleichungen ermöglichen es, diese experimentellen Messungen, statt für alle möglichen $x$ und $Q^{2}$ , bei einer festen Energiesakala durchzuführen und aus diesen Daten das Verhalten der Partondichten auf beliebigen Energieskalen (bei festem Impulsbruchteil) zu erschließen.

Führende Ordnung

Die DGLAP-Gleichungen in der führenden Ordnung der Störungsreihe in der Kopplungskonstanten der starken Wechselwirkung lauten:

Q^{2} \frac{\partial}{\partial Q^{2}} (\begin{matrix} q_{i} (x, Q^{2}) \\ {\bar{q}}_{i} (x, Q^{2}) \\ g (x, Q^{2}) \end{matrix}) = \frac{α_{s} (Q^{2})}{2 π} \sum_{j} \int_{x}^{1} \frac{d ξ}{ξ} (\begin{matrix} P_{q_{i} q_{j}} (x / ξ) & 0 & P_{q_{i} g} (x / ξ) \\ 0 & P_{{\bar{q}}_{i} {\bar{q}}_{j}} (x / ξ) & P_{{\bar{q}}_{i} g} (x / ξ) \\ P_{g q_{j}} (x / ξ) & P_{g {\bar{q}}_{j}} (x / ξ) & P_{g g} (x / ξ) \end{matrix}) (\begin{matrix} q_{j} (ξ, Q^{2}) \\ {\bar{q}}_{j} (ξ, Q^{2}) \\ g (ξ, Q^{2}) \end{matrix})

wobei $P$ die Splitting-Funktionen bezeichnet. Hierbei ist $Q^{2}$ die Energieskala des betrachteten Prozesses, $x$ der Impulsbruchteil des betrachteten Teilchens im Vergleich zum Mutterteilchen und $q_{i} (x, Q^{2})$ die Partondichtefunktion für Quarks beziehungsweise ${\bar{q}}_{i} (x, Q^{2})$ die für Antiquarks mit Flavour $i$ und $g (x, Q^{2})$ die der Gluonen.

Splitting-Funktionen

Die Splitting-Funktionen nehmen für die möglichen Fälle vier verschiedene Formen an: $P_{q q}$ — Ein Quark strahlt ein Quark ab, $P_{g q}$ — Ein Quark strahlt ein Gluon ab, $P_{q g}$ — Ein Gluon strahlt ein Quark ab und $P_{g g}$ — Ein Gluon strahlt ein Gluon ab. Für die Splitting-Funktionen ist unerheblich, ob es sich um Quarks oder Antiquarks handelt Darüber hinaus ist für die Gluon-Quark-Splittingfunktionen ebenfalls das Flavour der Quarks unerheblich, während für die Quark-Quark-Splittingfunktion nur Quarks identischen Flavours ineinander übergehen. Die Splitting-Funktionen haben daher die Form:

\begin{aligned} P_{q_{i} q_{j}} = P_{{\bar{q}}_{i} {\bar{q}}_{j}} \equiv δ_{i j} P_{q q} & = δ_{i j} C_{F} (\frac{1 + x^{2}}{(1 - x)_{+}} + \frac{3}{2} δ (1 - x)) \\ P_{g q_{i}} = P_{g {\bar{q}}_{i}} \equiv P_{g q} & = C_{F} (\frac{1 + (1 - x)^{2}}{x}) \\ P_{q_{i} g} = P_{{\bar{q}}_{i} g} \equiv P_{q g} & = T_{F} (x^{2} + (1 - x)^{2}) \\ P_{g g} & = 2 C_{A} (\frac{x}{(1 - x)_{+}} + (1 - x) (x + \frac{1}{x})) + \frac{11 C_{A} - 4 n_{f} T_{F}}{6} δ (1 - x) \end{aligned}

Dabei sind $C_{F} = 4 / 3$ der quadratische Casimir-Operator der fundamentalen Darstellung der Lie-Gruppe der Theorie, im Standardmodell der $S U (3)$ , $C_{A} = 3$ der Casimir-Operator der adjungierten Darstellung, $T_{F} = 1 / 2$ der Index der fundamentalen Darstellung und $n_{f} = 3$ die Anzahl an Quark-Flavours.^[5] Außerdem wurde die Plus-Distribution verwendet, die über die Gleichung^[1]

\int_{0}^{1} \frac{f (x)}{(1 - x)_{+}} d x = \int_{0}^{1} \frac{f (x) - f (1)}{1 - x} d x

definiert ist.

Alternative Basis

Statt der physikalischen $(q_{i}, {\bar{q}}_{i}, g)$ -Basis kann zur Vereinfachung der Gleichungen die $(q_{i}^{NS}, q_{i}^{S}, g)$ -Basis verwendet werden. Dabei gilt

(\begin{matrix} q_{i}^{NS} \\ q_{i}^{S} \\ g \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} q_{i} \\ {\bar{q}}_{i} \\ g \end{matrix})

Der Superskript $NS$ beziffert die Non-Singulett-Dichtefunktion, während der Superskript $S$ die Singulett-Dichtefunktion bezeichnet. Der Begriff des Singuletts bezieht sich in diesem Fall nicht auf die Multiplizität, sondern auf die Baryonenzahl, die sich im Fall des NS-Zustandes zu $b = 2 / 3$ und im Fall des S-Zustandes zu $b = 0$ ergibt.

Durch die Basistransformation entkoppeln die DGLAP-Gleichungen insofern, als dass zur Lösung der NS-Verteilungsfunktionen die Gluon-Verteilungsfunktion nicht benötigt wird:

Q^{2} \frac{\partial}{\partial Q^{2}} (\begin{matrix} q_{i}^{NS} (x, Q^{2}) \\ q_{i}^{S} (x, Q^{2}) \\ g (x, Q^{2}) \end{matrix}) = \frac{α_{s} (Q^{2})}{2 π} \sum_{j} \int_{x}^{1} \frac{d ξ}{ξ} (\begin{matrix} δ_{i j} P_{q q} (x / ξ) & 0 & 0 \\ 0 & δ_{i j} P_{q q} (x / ξ) & 2 P_{q g} (x / ξ) \\ 0 & P_{g q} (x / ξ) & P_{g g} (x / ξ) \end{matrix}) (\begin{matrix} q_{j}^{NS} (ξ, Q^{2}) \\ q_{j}^{S} (ξ, Q^{2}) \\ g (ξ, Q^{2}) \end{matrix})

DGLAP-Gleichungen im Mellin-Raum

Die DGLAP-Gleichungen können nach einer Mellin-Transformation vereinfacht dargestellt werden, da sich im Mellin-Raum das Integral in ein Produkt wandelt. Sie lauten dann:

Q^{2} \frac{\partial}{\partial Q^{2}} (\begin{matrix} q_{i} (N, Q^{2}) \\ {\bar{q}}_{i} (N, Q^{2}) \\ g (N, Q^{2}) \end{matrix}) = \frac{α_{s} (Q^{2})}{2 π} \sum_{j} (\begin{matrix} δ_{i j} γ_{q q} (N) & 0 & γ_{q g} (N) \\ 0 & δ_{i j} γ_{q q} (N) & γ_{q g} (N) \\ γ_{g q} (N) & γ_{g q} (N) & γ_{g g} (N) \end{matrix}) (\begin{matrix} q_{j} (N, Q^{2}) \\ {\bar{q}}_{j} (N, Q^{2}) \\ g (N, Q^{2}) \end{matrix})

Dabei ist die Mellin-Transformierte $f (N)$ gegeben durch:

f (N) = \int_{0}^{\infty} d x x^{N - 1} f (x)

Die auftretenden Funktionen $γ$ nennt man anomale Dimension und sind die Mellin-Transformierten der Splitting-Funktionen.

Singulett/Non-Singulett-Basis im Mellin-Raum

Die DGLAP-Gleichungen in der Singulett/Non-Singulett-Basis lauten im Mellin-Raum entsprechend

Q^{2} \frac{\partial}{\partial Q^{2}} (\begin{matrix} q_{i}^{NS} (N, Q^{2}) \\ q_{i}^{S} (N, Q^{2}) \\ g (N, Q^{2}) \end{matrix}) = \frac{α_{s} (Q^{2})}{2 π} \sum_{j} (\begin{matrix} δ_{i j} γ_{q q} (N) & 0 & 0 \\ 0 & δ_{i j} γ_{q q} (N) & 2 γ_{q g} (N) \\ 0 & γ_{g q} (N) & γ_{g g} (N) \end{matrix}) (\begin{matrix} q_{j}^{NS} (N, Q^{2}) \\ q_{j}^{S} (N, Q^{2}) \\ g (N, Q^{2}) \end{matrix})

Lösung

Durch diese Darstellung kann eine kompakte Lösung für die DGLAP-Gleichungen für die Non-Singulett-Verteilungsfunktionen angegeben werden, da die Energieskalenabhängigkeit der Kopplungskonstanten durch die Callan-Symanzik-Gleichung bestimmt ist. In führender Ordnung gilt

α_{s} (Q^{2}) = \frac{α_{s} (μ^{2})}{1 + b_{0} α_{s} (μ^{2}) \ln \frac{Q^{2}}{μ^{2}}}

mit einer Referenzskala $μ^{2}$ und einer theorieabhängigen Konstanten $b_{0} = \frac{33 - 2 n_{f}}{12 π}$

Dann ist die Lösung für die Non-Singulett-Verteilungsfunktion

q_{i}^{NS} (N, Q^{2}) = q_{i}^{NS} (N, μ^{2}) {(1 + α_{s} b_{0} \ln \frac{Q^{2}}{μ^{2}})}^{\frac{γ_{q q}}{2 π b_{0}}}

Weiterführendes

M. E. Peskin, D. V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press, Boulder 1995, ISBN 0-201-50397-2, S. 590 ff.

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Guido Altarelli: QCD evolution equations for parton densities. In: Scholarpedia. Band 4, Nr. 1, 2009, S. 7124, doi:10.4249/scholarpedia.7124.
↑ Yuri L. Dokshitzer: Calculation of the Structure Functions for Deep Inelastic Scattering and e⁺ e⁻ Annihilation by Perturbation Theory in Quantum Chromodynamics. In: Sov. Phys. JETP. Band 46, Nr. 4, 1977, S. 641–653 (jetp.ac.ru [PDF; abgerufen am 9. März 2014]).
↑ V. Gribov, L. Lipatov: Deep inelastic e p scattering in perturbation theory. In: Sov. J. Nucl. Phys. Band 15, 1972, S. 438–450.
↑ G. Altarelli, G. Parisi: Asymptotic freedom in parton language. In: Nuclear Physics B. Band 126, Nr. 2, 1977, S. 298–318, doi:10.1016/0550-3213(77)90384-4.
↑ CTEQ Handbook.

[Altarelli:scholarpedia.7124-1] 1,0 ^1,1 Guido Altarelli: QCD evolution equations for parton densities. In: Scholarpedia. Band 4, Nr. 1, 2009, S. 7124, doi:10.4249/scholarpedia.7124.

[2] Yuri L. Dokshitzer: Calculation of the Structure Functions for Deep Inelastic Scattering and e⁺ e⁻ Annihilation by Perturbation Theory in Quantum Chromodynamics. In: Sov. Phys. JETP. Band 46, Nr. 4, 1977, S. 641–653 (jetp.ac.ru [PDF; abgerufen am 9. März 2014]).

[3] V. Gribov, L. Lipatov: Deep inelastic e p scattering in perturbation theory. In: Sov. J. Nucl. Phys. Band 15, 1972, S. 438–450.

[4] G. Altarelli, G. Parisi: Asymptotic freedom in parton language. In: Nuclear Physics B. Band 126, Nr. 2, 1977, S. 298–318, doi:10.1016/0550-3213(77)90384-4.

[5] CTEQ Handbook.

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