Einsteinkoeffizienten

Einsteinkoeffizienten

Dargestellt sind die beiden Energieniveaus $ E_{1} $ und $ E_{2} $, die spontane Emission (A) sowie die Absorption (B12) und die induzierte Emission (B21)

In Einsteins Ratenbild werden die Einsteinkoeffizienten B12, B21 und A21 zur Berechnung der spontanen und stimulierten (induzierten) Emission und der Absorption verwendet. Sie werden neben der statistischen Physik u. a. in der Spektroskopie und in der Laserphysik angewendet und wurden 1916 von Albert Einstein eingeführt. B12 und B21 haben die Einheiten m/kg und A21 hat die Einheit 1/s.

Einstein unterscheidet im Strahlungsgleichgewicht drei Prozesse:

Im Folgenden bezeichnen wir den Grundzustand als Zustand 1 und den angeregten Zustand als Zustand 2. Die Wahrscheinlichkeit der drei Prozesse hängt offensichtlich von der Anzahl $ N_{i} $ der Atome im ausgehenden Zustand ab. Daneben hängen die stimulierten Prozesse von der Besetzung der Moden des elektromagnetischen Feldes ab (spektrale Energiedichte nach Frequenz $ u $). Einstein führte die Koeffizienten B12, B21 und A21 als zunächst unbestimmte Proportionalitätskonstanten ein, sodass

  • die Wahrscheinlichkeit der Absorption durch $ B_{12}\cdot N_{1}\cdot u $
  • die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission durch $ B_{21}\cdot N_{2}\cdot u $ und
  • die Wahrscheinlichkeit der spontanen Emission durch $ A_{21}\cdot N_{2} $

gegeben ist.

Die Zunahme der Teilchenanzahl im Grundzustand und die Abnahme der Teilchenzahl im angeregten Zustand ist dann gegeben durch:

$ {\frac {dN_{1}}{dt}}=-{\frac {dN_{2}}{dt}}=-N_{1}\cdot B_{12}\cdot u+N_{2}\cdot B_{21}\cdot u+N_{2}\cdot A_{21} $

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Summe null:

$ {\frac {dN_{1}}{dt}}={\frac {dN_{2}}{dt}}=0\Rightarrow {\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {B_{12}\cdot u}{A_{21}+B_{21}\cdot u}} $

Aus der Boltzmann-Verteilung weiß man, dass die Besetzung der Zustände mit ihren Energien wie folgt zusammenhängen:

$ {\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot {\frac {e^{-E_{2}/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}}{e^{-E_{1}/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot e^{-\Delta E/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}\,, $

wobei die $ g_{i} $ die Gewichte der Entartung darstellen.

Gleichsetzen und Auflösen nach der spektralen Energiedichte der Strahlung liefert:

$ u={\frac {A_{21}}{B_{21}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {B_{12}}{B_{21}}}{\frac {g_{1}}{g_{2}}}\cdot e^{\Delta E/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}-1}} $

Durch Koeffizientenvergleich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz oder dem Rayleigh-Jeans-Gesetz – bei letzterer unter Verwendung der Grenzbedingungen und einer Reihenentwicklung der Exponentialfunktion – erhält man folgende Beziehungen zwischen den drei Einsteinkoeffizienten:

$ g_{1}\cdot B_{12}=g_{2}\cdot B_{21} $
$ B_{21}=A_{21}\cdot {\frac {\lambda ^{3}}{8\pi h}} $

mit

Sind die Zustände nicht entartet, also $ g_{1}=g_{2}=1 $, so ist $ B_{12}=B_{21}=:B $.

Die Lebensdauer des angeregten Zustands, also die durchschnittliche Dauer, bis ein Atom ohne äußere Einwirkung durch spontanen Zerfall in den Grundzustand übergeht, beträgt

$ \tau ={\frac {1}{A_{21}}}. $

Der Einsteinkoeffizient A21 ist eine stoffspezifische Eigenschaft des Übergangs und kann quantenmechanisch mit Hilfe des Übergangsdipolmoment $ {\vec {M}}_{ik} $ bestimmt werden.

Die Einsteinkoeffizienten hängen nicht von der Temperatur ab. Die Temperaturabhängigkeit der Energieverteilung der Wärmestrahlung ist stattdessen eine Folge der Temperaturabhängigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeiten N1 und N2, die in der Regel durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben wird.

Siehe auch

Literatur

  • A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift 18 (1917) 121–128; Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18 (1916)
  • Ausführliche Herleitung: H. Haken/H.C. Wolf: Atom- und Quantenphysik, 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, ISBN 3540026215, S. 59, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  • Walter J. Moore, Dieter O. Hummel: Physikalische Chemie. 4. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin New York, 1986, ISBN 3-11-010979-4, S. 893–896