Die Gruppengeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_\mathrm{g}
ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Hüllkurve (d. h. der Amplitudenverlauf) eines Wellenpakets fortbewegt
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,
also die partielle Ableitung der Kreisfrequenz $ \omega $ der Welle nach der Kreiswellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k
.
Zusammenhänge
Mit der Phasengeschwindigkeit
Über eine Fourier-Reihe kann man sich ein Wellenpaket als eine Überlagerung von Einzelwellen verschiedener Frequenzen vorstellen. Die Einzelwellen breiten sich jeweils mit einer bestimmten Phasengeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_\mathrm{p}
aus, die angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen:
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mit
- der Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda
- der Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f
.
Durch Einsetzen von $ \omega =v_{\rm {p}}\cdot k $ in die Definition der Gruppengeschwindigkeit ergibt sich nach Anwenden der Produktregel die Rayleighsche Beziehung:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_\mathrm{g} = v_\mathrm{p} + k \frac{\mathrm{\partial}v_\mathrm{p}}{\mathrm{\partial}k}
Mit der Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda = 2\pi/k
lässt sie sich auch schreiben als:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_\mathrm{g} = v_\mathrm{p} - \lambda \frac{\mathrm{\partial}v_\mathrm{p}}{\mathrm{\partial}\lambda}
Mit der Dispersion
Die Dispersionsrelation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega(k)
beschreibt, wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega
von $ k $ abhängt:
- ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega
proportional zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k
:
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- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \frac{\partial v_\mathrm{p}}{\partial k} = \frac{\partial v_\mathrm{p}}{\partial \lambda} = 0
- so ist die Gruppengeschwindigkeit identisch mit der Phasengeschwindigkeit:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow v_\mathrm{p} = v_\mathrm{g}
- und die Form der Einhüllenden bleibt erhalten.
- Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega
nicht proportional zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k
ist:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\omega}k = v_\mathrm{p} = \text{f}(f) \neq \text{konst.} \Rightarrow v_\mathrm{p} \neq v_\mathrm{g}
- liegt Dispersion vor. In diesem Fall verbreitert sich die Hüllkurve des Wellenpakets, während es sich ausbreitet, z. B. bei Signalen in Lichtwellenleitern.
Mit der Signalgeschwindigkeit
In praktisch verlustfreien Medien
Oft stellt man sich die Gruppengeschwindigkeit als die Signalgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_s
vor, mit der das Wellenpaket Energie oder Information durch den Raum transportiert:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_\mathrm{s} = v_\mathrm{g}
Dies stimmt in den meisten Fällen, und zwar immer dann, wenn Verluste vernachlässigt werden können:
In verlustbehafteten Medien
In verlustbehafteten Medien ist die Signalgeschwindigkeit nicht identisch der Gruppengeschwindigkeit:
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Bei Lichtpulsen in stark verlustbehafteten Medien kann die Phasengeschwindigkeit wesentlich größer sein als die Gruppengeschwindigkeit und sogar größer als die Lichtgeschwindigkeit $ c_{0} $ im Vakuum. Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit ist jedoch nicht möglich, da hierfür die Frontgeschwindigkeit entscheidend ist, die niemals Überlichtgeschwindigkeit erreichen kann:
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Die Frontgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenfronten (d. h. Flächen gleicher Amplitude) und Diskontinuitäten der Welle bewegen. Sie ist definiert als Grenzwert der Phasengeschwindigkeit für unendlich große Kreiswellenzahl:
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Weblinks
fr:Vitesse d'une onde#Vitesse de groupe
nl:Voortplantingssnelheid#Fase- en groepssnelheid
