Hauptstreckung

Die Hauptstreckungen $ \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3} $ bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptwerte der einander mathematisch ähnlichen rechten und linken Deformationstensors U bzw. v. Man erhält die Hauptstreckungen aus der Hauptachsentransformation des Deformationstensors durch Lösung des charakteristischen Polynoms.

Im Hauptachsensystem des Deformationstensors geben die Streckungen $ \lambda $ die aktuelle Länge $ l $ eines Linienelements bezogen auf seine Ausgangslänge $ l_{0} $ wieder und stehen daher mit der Dehnung $ \varepsilon $ im Zusammenhang:

$ \lambda ={\frac {l}{l_{0}}}={\frac {l_{0}+\Delta l}{l_{0}}}=1+\varepsilon $.

Mithilfe dieser Streckungen lassen sich ebenfalls die Deformationsinvarianten in der Festkörpermechanik (Kontinuumsmechanik der Festkörper) recht einfach darstellen.

Veranschaulichung der Polarzerlegung. Hier ist der linke Strecktensor – anders als im Text – groß geschrieben.

Denn der rechte und linke Deformationstensor ergeben sich aus der Polarzerlegung^[1]

$ \mathbf {F} =\mathbf {R\cdot U} =\mathbf {v\cdot R} $

des Deformationsgradienten F, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor, der eine Drehung darstellt und die Eigenschaften R^T · R = R · R^T = 1 und det(R) = +1 besitzt (1 ist der Einheitstensor). Der Deformationsgradient transformiert Linienelemente $ \mathrm {d} {\vec {X}} $ im undeformierten Körper in die Linienelemente $ \mathrm {d} {\vec {x}} $ des deformierten Körpers:

$ \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}=\mathrm {d} {\vec {x}}. $

Damit lautet die Streckung eines Linienelements in der Lagrange’schen Betrachtungsweise:

$ {\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {R\cdot U} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {U} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}, $

denn die Drehung R lässt die Norm unberührt. Sei $ \mathrm {d} {\vec {X}} $ Eigenvektor mit Eigenwert λ des positiv definiten rechten Strecktensors U. Dann berechnet sich

$ {\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {U} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\lambda \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}=\lambda ={\frac {l}{l_{0}}}. $

Für den linken Strecktensor v bestimmt sich in der Euler’schen Betrachtungsweise:

$ \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {R^{\top }\cdot v^{\rm {-1}}} \quad \rightarrow \quad {\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathbf {F} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathbf {R^{\top }\cdot v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathbf {v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}|}}, $

wieder weil die Rotation die Norm beibehält. Sei $ \mathrm {d} {\vec {x}} $ Eigenvektor mit Eigenwert λ des ebenfalls positiv definiten linken Strecktensors v. Dann zeigt sich

$ \mathbf {v} \cdot \mathrm {d} {\vec {x}}=\lambda \mathrm {d} {\vec {x}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {d} {\vec {x}}=\lambda \mathbf {v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}={\frac {1}{\lambda }}\mathrm {d} {\vec {x}} $

und weiter

$ {\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathbf {v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|{\frac {1}{\lambda }}\mathrm {d} {\vec {x}}|}}=\lambda ={\frac {l}{l_{0}}}. $

Die Hauptstreckungen in der Lagrange’schen- und Euler’schen Betrachtungsweise sind gleich aber die Richtungen, in denen die Hauptstreckungen auftreten, sind gemäß

$ \mathbf {U} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {R\cdot U} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {v\cdot R} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {v\cdot (R} \cdot {\vec {v}})=\lambda (\mathbf {R} \cdot {\vec {v}}) $

gegeneinander verdreht, so wie es die Kreuze im Bild auch nahelegen.

Fußnoten

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.