Hauptstreckung

Die Hauptstreckungen $ \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3} $ bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptwerte der einander mathematisch ähnlichen rechten und linken Deformationstensors U bzw. v. Man erhält die Hauptstreckungen aus der Hauptachsentransformation des Deformationstensors durch Lösung des charakteristischen Polynoms.

Im Hauptachsensystem des Deformationstensors geben die Streckungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda die aktuelle Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l eines Linienelements bezogen auf seine Ausgangslänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l_0 wieder und stehen daher mit der Dehnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon im Zusammenhang:

$ \lambda ={\frac {l}{l_{0}}}={\frac {l_{0}+\Delta l}{l_{0}}}=1+\varepsilon $.

Mithilfe dieser Streckungen lassen sich ebenfalls die Deformationsinvarianten in der Festkörpermechanik (Kontinuumsmechanik der Festkörper) recht einfach darstellen.

Veranschaulichung der Polarzerlegung. Hier ist der linke Strecktensor – anders als im Text – groß geschrieben.

Denn der rechte und linke Deformationstensor ergeben sich aus der Polarzerlegung^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}=\mathbf{R\cdot U}=\mathbf{v\cdot R}

des Deformationsgradienten F, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor, der eine Drehung darstellt und die Eigenschaften R^T · R = R · R^T = 1 und det(R) = +1 besitzt (1 ist der Einheitstensor). Der Deformationsgradient transformiert Linienelemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec X im undeformierten Körper in die Linienelemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec x des deformierten Körpers:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\vec X=\mathrm{d}\vec x.

Damit lautet die Streckung eines Linienelements in der Lagrange’schen Betrachtungsweise:

$ {\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {R\cdot U} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {U} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}, $

denn die Drehung R lässt die Norm unberührt. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec X Eigenvektor mit Eigenwert λ des positiv definiten rechten Strecktensors U. Dann berechnet sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{|\mathrm{d}\vec x|}{|\mathrm{d}\vec X|} =\frac{|\mathbf{U}\cdot\mathrm{d}\vec X|}{|\mathrm{d}\vec X|} =\frac{|\lambda\mathrm{d}\vec X|}{|\mathrm{d}\vec X|} =\lambda = \frac{l}{l_0} .

Für den linken Strecktensor v bestimmt sich in der Euler’schen Betrachtungsweise:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}^{-1}=\mathbf{R^\top\cdot v^{\rm-1}} \quad\rightarrow\quad \frac{|\mathrm{d}\vec x|}{|\mathrm{d}\vec X|} =\frac{|\mathrm{d}\vec x|}{|\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec x|} =\frac{|\mathrm{d}\vec x|}{|\mathbf{R^\top\cdot v}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec x|} =\frac{|\mathrm{d}\vec x|}{|\mathbf{v}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec x|} ,

wieder weil die Rotation die Norm beibehält. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d}\vec x Eigenvektor mit Eigenwert λ des ebenfalls positiv definiten linken Strecktensors v. Dann zeigt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\vec x=\lambda\mathrm{d}\vec x \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{d}\vec x=\lambda\mathbf{v}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec x \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{v}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec x=\frac{1}{\lambda}\mathrm{d}\vec x

und weiter

$ {\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathbf {v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|{\frac {1}{\lambda }}\mathrm {d} {\vec {x}}|}}=\lambda ={\frac {l}{l_{0}}}. $

Die Hauptstreckungen in der Lagrange’schen- und Euler’schen Betrachtungsweise sind gleich aber die Richtungen, in denen die Hauptstreckungen auftreten, sind gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{U}\cdot\vec v=\lambda\vec v \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{R\cdot U}\cdot\vec v =\mathbf{v\cdot R}\cdot\vec v =\mathbf{v\cdot(R}\cdot\vec v) =\lambda(\mathbf{R}\cdot\vec v)

gegeneinander verdreht, so wie es die Kreuze im Bild auch nahelegen.

Fußnoten

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.