Deformationsinvarianten
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- Kontinuumsmechanik
Die Deformationsinvarianten $ I_{1},I_{2},I_{3} $ bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptinvarianten des rechten oder linken Cauchy-Green Deformationstensors. Sie stellen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bei Hauptachsentransformation des Strecktensors dar. Gleichzeitig lassen sie sich nach dem Satz von Vieta auch durch die Hauptstreckungen $ \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3} $ ausdrücken:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{array}{lclcl} I_1 &=& \mathrm{Spur}(\mathbf{b}) &=& \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2\\ I_2 &=& \mathrm{Spur}(\mathbf{b}^{-1}) \, \det(\mathbf{b}) &=& \lambda_1^2 \, \lambda_2^2 + \lambda_1^2 \, \lambda_3^2 + \lambda_2^2 \, \lambda_3^2\\ I_3 &=& \det(\mathbf{b}) &=& \lambda_1^2 \, \lambda_2^2 \, \lambda_3^2 \end{array}
mit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{b} der Deformationstensor
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Spur}(\mathbf{b}) der Spur des Deformationstensors,
- $ \det(\mathbf {b} ) $ der Determinante des Deformationstensors,
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{b}^{-1} der Inversen des Deformationstensors und
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_{1,2,3}^2=\eta_{1,2,3} der Eigenwerte des Deformationstensors.
Obige Zusammenhänge gelten für den linken Cauchy-Green Tensor $ \mathbf {b} :=\mathbf {F\cdot F^{\top }} $ und den rechten Cauchy-Green Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf C:=\mathbf{F^\top\cdot F} , denn beide Tensoren haben wegen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{b}\cdot\vec v=\eta\vec v \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{F^\top\cdot b}\cdot\vec v =\mathbf{F^\top\cdot F\cdot F^\top}\cdot\vec v =\mathbf{C\cdot (F^\top}\cdot\vec v) =\eta(\mathbf{F^\top}\cdot\vec v)
dieselben Eigenwerte und damit auch dieselben Invarianten, was sie einander mathematisch ähnlich macht. Der Tensor F ist der Deformationsgradient. Gleiches gilt für die symmetrischen, positiv definiten, rechten und linken Deformationstensoren U bzw. v, die sich gemäß
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{F}=\mathbf{R\cdot U}=\mathbf{v\cdot R}.
aus der Polarzerlegung des Deformationsgradienten ergeben, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor mit den Eigenschaften RT · R = 1 und det(R) = +1 (1 ist der Einheitstensor.) Der rechte und linke Deformationstensor haben wegen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf{v}\cdot\vec v=\lambda\vec v \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf b\cdot\vec v=\mathbf{F\cdot F^\top}\cdot\vec v =\mathbf{v\cdot R\cdot R^\top\cdot v^\top}\cdot\vec v =\lambda\mathbf{v}\cdot\vec v =\lambda^2\vec v
die Hauptstreckungen λ1,2,3 als Eigenwerte, denn sie sind ebenfalls einander ähnlich:
- $ \mathbf {R^{\top }\cdot v} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot v\cdot R\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot R\cdot U\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {U\cdot (R^{\top }} \cdot {\vec {v}})=\lambda (\mathbf {R^{\top }} \cdot {\vec {v}}). $
Weil der Deformationsgradient immer und überall invertierbar ist, sind dies die Strecktensoren auch.
Die dritte Invariante stellt gleichzeitig das Quadrat des Volumenverhältnisses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J:=\operatorname{det}(\mathbf{F}) dar:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I_3(\mathbf{b}) = I_3(\mathbf{C}) =J^2= I_3^2(\mathbf{v})= I_3^2(\mathbf{U}).
Bei Inkompressibilität im Werkstoffverhalten ($ J=1 $) bleibt also die dritte Invariante der Strecktensoren gleich der Identität.
Literatur
- H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.