Ladungskonjugation

Die Ladungskonjugation oder C-Parität (für englisch Charge = Ladung) ersetzt in quantenmechanischen Zuständen jedes Teilchen durch sein Antiteilchen. Sie spiegelt so das Vorzeichen der Ladung und lässt Masse, Impuls, Energie und Spin jedes Teilchens unverändert.

Die elektromagnetische und die starke Wechselwirkung sind invariant unter Ladungskonjugation (kurz C-invariant), d. h., bei Streuung oder Zerfall verhalten sich die ladungsgespiegelten Zustände wie die ursprünglichen Zustände.
Dagegen ist die Schwache Wechselwirkung nicht C-invariant (Paritätsverletzung): Der Anteil des Elektrons, der bei schwachen Wechselwirkungen in ein Elektron-Neutrino und ein $W^{-}$ -Boson übergehen kann, wird bei Ladungskonjugation durch den Teil des Positrons ersetzt, der nicht an die $$ W $$ -Bosonen koppelt.

Ladungskonjugation des Dirac-Feldes

Das Dirac-Feld $\psi$ wird bei Ladungskonjugation auf das Feld $\psi _{c}$ transformiert, das mit umgekehrter Ladung $$ e $$ an die elektromagnetischen Potentiale $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ koppelt. Wenn $\psi$ die Dirac-Gleichung (über den doppelten Index $$ n $$ ist zu summieren)

{\bigl (}\gamma ^{n}\,(\mathrm {i} \,\partial _{n}-eA_{n})-m{\bigr )}\psi =0

erfüllt, dann soll das ladungskonjugierte Feld $\psi _{c}$ der Gleichung

{\bigl (}\gamma ^{n}\,(\mathrm {i} \,\partial _{n}+eA_{n})-m{\bigr )}\psi _{c}=0

genügen.

Komplex Konjugieren der ersten Gleichung ergibt

{\bigl (}\gamma ^{n\,*}\,(-\mathrm {i} \,\partial _{n}-eA_{n})-m{\bigr )}\psi ^{*}=0\ .

Es erfüllt also $\psi _{c}=B\psi ^{*}$ die ladungskonjugierte Gleichung, wenn $$ B $$ eine Matrix ist, für die gilt:

-\gamma ^{n\,*}=B^{-1}\gamma ^{n}B

Solch eine Matrix gibt es für jede Darstellung der Dirac-Matrizen, denn alle irreduziblen Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, und $-\gamma ^{n\,*}$ stellt die Dirac-Algebra ebenso dar wie $\gamma ^{n}\,.$

Schreibt man $\psi ^{*}=\gamma ^{0\,{\text{T}}}\,{\overline {\psi }}^{\text{T}}$ , so hat das ladungskonjugierte Feld die Form

\psi _{c}=C\,{\overline {\psi }}^{\text{T}}

mit der Ladungskonjugationsmatrix

C=B\,\gamma ^{0\,{\text{T}}}\,.

Wegen $\gamma ^{n\,\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{n}\gamma ^{0}$ erfüllt die Ladungskonjugationsmatrix

-\gamma ^{n\,{\text{T}}}=C^{-1}\gamma ^{n}C\,.

In der Dirac-Darstellung der Gamma-Matrizen kann die Ladungskonjugationsmatrix als

C=\mathrm {i} \,\gamma ^{2}\,\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}&-\mathrm {i} \sigma ^{2}\\-\mathrm {i} \sigma ^{2}\end{pmatrix}}

so gewählt werden, dass sie reell, antisymmetrisch und unitär ist, $-C=C^{-1}=C^{\text{T}}=C^{\dagger }\,.$

Eigenwerte und Eigenzustände

Für einen Eigenzustand $|\psi \rangle$ des C-Operators gilt

{\mathcal {C}}\,|\psi \rangle =\eta _{C}\,|\psi \rangle

,

wobei der Eigenwert $\eta _{C}$ die sogenannte C-Parität des entsprechenden Eigenzustandes (im weiteren Sinne also Teilchens) bezeichnet. Da der C-Operator eine Involution (Mathematik) ist und demnach (ähnlich zum Paritätsoperator) den Eigenzustand bei zweifacher Wirkung invariant lässt, gilt ferner

{\mathcal {C}}^{2}|\psi \rangle =\eta _{C}{\mathcal {C}}|\psi \rangle =\eta _{C}^{2}|\psi \rangle \,{\overset {!}{=}}\,|\psi \rangle

,

sodass nur die Eigenwerte $\eta _{C}=\pm 1$ erlaubt sind. Insbesondere können nur neutrale Systeme (elektrische Ladung, Strangeness, Baryonenzahl, … = 0) Eigenzustände des C-Paritätsoperators sein, d. h. das Photon sowie gebundene Teilchen-Antiteilchen-Zustände wie das neutrale Pion $\pi ^{0}$ oder das Positronium.

Literatur

Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber: Quantum Field Theory. McGraw-Hill, New York 1980, ISBN 0-07-032071-3.

Siehe auch