Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

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Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

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Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung (mit englischer Transkription im Deutschen gelegentlich auch Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung genannt) beschreibt in der Festkörperphysik das Zeit-Verhalten der magnetischen Momente (bzw. der Magnetisierungsdichte) eines ferromagnetischen Materials in Abhängigkeit des sogenannten effektiven magnetischen Feldes. Das effektive magnetische Feld setzt sich unter anderen aus externen Magnetfeldern und internen Wechselwirkungen wie magnetischer Anisotropie, Austauschwechselwirkung und dipolarer magnetischer Wechselwirkung zusammen. Thermische Eigenschaften können durch einen stochastischen Anteil beschrieben werden. In diesem Fall wird die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung als Langevin-Gleichung interpretiert. Die Wechselwirkung mit freien elektrischen Strömen oder elektromagnetischen Wellen wird durch Kopplung mit den Maxwell-Gleichungen beschrieben. Die Anwendungen sind sehr weitreichend, Beispiele sind die Berechnung von Hysteresekurven, die Simulation mikromagnetischer Strukturen z. B. zur Erforschung magnetischer Speichermedien, in der Materialforschung z. B. in Verbindung mit Neutronen-Streuung und Hyperthermie in Verbindung mit magnetischen Nanopartikeln. Benannt ist sie nach Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz[1] und Thomas L. Gilbert.[2][3] Unter Berücksichtigung der Wechselwirkungen in realen Materialien sind keine expliziten Lösungen der Landau-Lisfhitz-Gilbert-Gleichung bekannt. Open-Source Software zur Simulation der Landau-Lifshitz-Gleichung sind z. B. numax3[4] und VAMPIRE.[5]

Landau-Lifschitz-Gleichung

Die ursprüngliche Landau-Lifschitz-Gleichung wurde im Jahr 1935 aufgestellt. Sie lautet

$ {\frac {\partial {\vec {M}}}{\partial t}}=\gamma {\vec {M}}\times {\vec {H}}_{\mathrm {eff} }-\gamma {\frac {\lambda }{M}}{\vec {M}}\times ({\vec {M}}\times {\vec {H}}_{\mathrm {eff} }) $.

und beschreibt sowohl die Präzession der magnetischen Momente als auch die auftretende Dissipation. Dabei bezeichnet:

Der erste Term beschreibt die Präzession, der zweite die Dissipation. Dabei bleibt der Betrag von $ {\vec {M}} $ erhalten, denn es ist

$ {\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {M}}^{2}=2{\frac {\partial {\vec {M}}}{\partial t}}\cdot {\vec {M}}=0 $.

Diesen konstanten Betrag nennt man die Sättigungsmagnetisierung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M = |\vec M| .

In der stationären Lösung des Systems, zu der das System strebt, wenn es sich selbst überlassen wird, stehen Magnetisierung und effektives magnetisches Feld parallel zueinander.

Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

1955 führte Gilbert eine Herleitung der Landau-Lifschitz-Gleichung auf der Basis des Lagrange-Formalismus durch. Er konnte zeigen, dass eine rigorose quantenstatistische Rechnung dasselbe Ergebnis liefert wie die Hinzufügung einer klassischen Rayleighschen Dissipationsfunktion zur Lagrangefunktion. Mit dieser gelangt man zu der Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \vec M}{\partial t} = \gamma \vec M \times \vec H_\mathrm{eff} - \frac{\lambda}{M} \vec M \times \frac{\partial\vec M}{\partial t} .

Wird diese Gleichung iteriert in sich eingesetzt, ergibt sich eine Form, die der der Landau-Lifschitz-Gleichung entspricht,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \vec M}{\partial t} = \frac{\gamma}{1 + \lambda^2} \vec M \times \vec H_\mathrm{eff} - \frac{\gamma}{1 + \lambda^2} \frac{\lambda}{M} \vec M \times (\vec M \times \vec H_\mathrm{eff}) .

Der einzige Unterschied ist, dass das gyromagnetische Verhältnis durch ein effektives gyromagnetisches Verhältnis ersetzt wird, das vom Dämpfungsparameter abhängig ist. Wie in der Mechanik beim gedämpften Oszillator wirkt sich die Dämpfung somit auf die Präzessionsfrequenz aus. Für den Fall kleiner Dämpfung geht die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifschitz-Gleichung über.

Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung unter Berücksichtigung von Trägheitseffekten

Eine Erweiterung der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung zur Berücksichtigung von Trägheitseffekten welche z. B. zu Nutationsbewegungen führen, beinhaltet einen Zusatzterm mit einer Zeitableitung zweiter Ordnung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \vec M}{\partial t} = \vec M \times\left( \gamma\vec H_\mathrm{eff} - \frac{\lambda}{M} \frac{\partial\vec M}{\partial t} - \frac{\gamma \iota}{M} \frac{\partial^2 \vec M}{\partial t^2} \right)

In der Literatur wird auch oftmals eine negierte Variante dieser Gleichung verwendet, was eine gegenläufige Dynamik beschreibt. Um es in diesem Artikel konsistent zu halten ist die Notation der Gleichungen aus den vorigen Abschnitten beibehalten. Der Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \iota wird in Analogie zur klassischen Mechanik als magnetisches Trägheitsmoment bezeichnet (magnetic moment of inertia).[6][7]

Das „effektive Feld“

Landau und Lifschitz haben 1935 noch angegeben, wie der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec H_\mathrm{eff} von allen vier beteiligten Wechselwirkungen (der „magnetischen Austauschenergie“, der „Dipol-Dipol-Energie“, der „Anisotropieenergie“ und der „Zeeman-Energie“) abhängt. Das effektive Feld $ {\vec {H}}_{\mathrm {eff} } $wird in der Regel zunächst durch ein Energie-Funktional Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H} (bzw. Hamiltonian) repräsentiert und ergibt sich folglich aus der ersten Variation nach der Magnetisierung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec M . Dabei stellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_{\mathrm{ex}} die Energie der Austauschwechselwirkung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_{\mathrm{dmi}} die Energie der Dzyaloshinkii-Moriya Wechselwirkung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_{\mathrm{mc}} die Energie der magnetokristallinen Wechselwirkung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_{\mathrm{me}} die Energie der magnetoelastischen Wechselwirkung, $ {\mathcal {H}}_{\mathrm {Z} } $ die Energie der Wechselwirkung mit externen Felder (Zeeman-Wechselwirkung) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_{\mathrm{d}} die Energie der Dipol-Dipol-Wechselwirkung dar.[8][9][10]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \mathcal{H} &= \mathcal{H}_{\mathrm{ex}} + \mathcal{H}_{\mathrm{dmi}} + \mathcal{H}_{\mathrm{mc}} + \mathcal{H}_{\mathrm{me}} + \mathcal{H}_{Z} + \mathcal{H}_d \\ \vec H_{\mathrm{eff}} &= - \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \vec M} \end{align}

In der nachfolgenden Tabelle sind die Energien für den mesoskopischen Fall angeben. Auf kleineren Längenskalen sind andere Ausdrücke zu verwenden, welche die Energien auf atomarer Ebene (diskret, nicht-kontinuierlich) beschreiben. Die Energien der magnetokristallinen und magnetoelastischen Anisotropie hängen von der Gitterstruktur des Material's ab.[11] Daher sind hier keine expliziten Ausdrücke der Energiedichten angegeben.

Wechselwirkungen der mikromagnetischen Feldtheorie
Hamiltonian (Energie)
Magnetische Austauschwechselwirkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_{\mathrm{ex}} = A \int_V (\nabla m_x)^2 + (\nabla m_y)^2 + (\nabla m_z)^2 \; \mathrm{d}^3r
Magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung

(Demagnetisierungs Feld)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_{\mathrm{d}} = - \frac{1}{2} \int_{V} \vec H_d \cdot\vec M \;\mathrm{d}^3r
Magnetokristalline Anisotropie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_{\mathrm{mc}} = \int \omega_{\mathrm{mc}} \; \mathrm{d}^3r
Magnetoelastische Anisotropie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_{\mathrm{me}} = \int \omega_{\mathrm{me}}\; \mathrm{d}^3r
Zeeman-Wechselwirkung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal{H}_Z = - \int_V \vec H_{\mathrm{ext}} \cdot \vec M \; \mathrm{d}^3r
Dzyaloshinskii-Moriya-Wechselwirkung $ {\mathcal {H}}_{\mathrm {dmi} }=\int \sum _{i,j,k}D_{ijk}\left(m_{i}{\frac {\partial m_{j}}{\partial k}}-m_{j}{\frac {\partial m_{i}}{\partial k}}\right)\;\mathrm {d} ^{3}r\;,\quad i,j,k\in \{x,y,z\} $

Spinwellen u. ä.

Eine sog. Spinwelle in einem ferromagnetischen Festkörper

Mit den Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichungen können u. a. auch dynamische Zustände (z. B. Spinwellen, wie im nebenstehenden Bild) realistisch behandelt werden, wobei alle relevanten Geometrien (beispielsweise auch Dünnschicht-Geometrien) und Wechselwirkungen (u. a. auch die sehr langreichweitige magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung) voll berücksichtigt werden können, wenn man bei den Computersimulationen hohen Speicherbedarf und entsprechende Rechenzeiten in Kauf nimmt.[12]

Die Dispersionsrelationen in diesen Systemen – das sind die Beziehungen zwischen Frequenz und Wellenlänge der Anregungszustände – sind wegen der hohen Zahl der charakteristischen Längen des Systems und der beteiligten Winkel sehr komplex.

Lösungen zum Einkörperproblem der Landau-Lifshitz-Gleichung

In diesem Abschnitt ist die Lösung der Landau-Lifshitz-Gleichung für ein magnetisches Moment (Einpartikel-System) unter dem Einfluss eines homogenen effektiven Feldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec H_{\text{eff}} präsentiert. Die besagte Problemstellung ist nachfolgend dargestellt, wobei die Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta als Platzhalter dient. Durch Anpassung der Kofaktoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma, \beta ergibt sich ebenfalls die Lösung der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung im Falle eines homogenen effektiven Feldes.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\text{d} \vec m}{\text{d}t} = - \gamma \vec m \times \vec H_{\text{eff}} - \beta \vec m\times(\vec m\times\vec H_{\text{eff}}) \; , \quad \vec m(0):= \vec m_0 \; , \quad \|\vec m_0\| =: m_0 = \sqrt{m_{0,\parallel}^2 + m_{0,\perp}^2} \neq 0\; , \quad \vec H_{\text{eff}}(t) = H_{\mathrm{eff}}(t) \cdot \vec e_H \;, \quad \vec e_H = \text{const.} \; , \quad \|\vec e_H\| = 1

Die Lösung dieser Differentialgleichung findet sich am einfachsten durch die Zerlegung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec m in einen orthogonalen und parallelen Anteil bezüglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec H_{\mathrm{eff}} . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec H_{\mathrm{eff}} = H_{\mathrm{eff}}(t) \cdot \vec e_z ansetzen, wodurch sich die nachfolgende Parametrisierung findet. Alle weiteren Lösungen zu beliebig anderen Richtungen von $ {\vec {H}}_{\mathrm {eff} } $ finden sich mit Hilfe der Anwendung von Rotationsmatrizen.

Darstellung der Lösung der Landau-Lifshitz Gleichung bei konstantem effektivem Feld. Die Richtungen des Präzessions- und Dämpfungterm, sowie der Zeitableitung des magnetischen Moments sind durch die Pfeile repräsentiert.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec m(\psi, \varphi) = m_0 \cdot \begin{bmatrix} \operatorname{sech}(\psi) \cos(\varphi) \\ \operatorname{sech}(\psi) \sin(\varphi) \\ \tanh(\psi) \end{bmatrix}

So reduziert sich die Landau-Lifshitz-Gleichung durch transformation auf zwei lineare Differentialgleichungen der Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{cases} \displaystyle \frac{\text{d} \psi}{\text{d}t} = m_0 \beta H_{\mathrm{eff}}(t) ,& \psi(0) = \operatorname{artanh}\left(\frac{m_{\parallel,0}}{m_0}\right) \\ \\ \displaystyle \frac{\text{d} \varphi}{\text{d}t} = \gamma H_{\mathrm{eff}}(t) , & \varphi(0) = 0 \end{cases}

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen findet sich durch direkte Integration:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{cases} \psi(t) = m_0 \beta \displaystyle\int_{0}^{t} H_{\mathrm{eff}}(\tau) \text{d}\tau + \operatorname{artanh}\left(\frac{m_{\parallel,0}}{m_0}\right) \\ \\ \varphi(t) = \gamma \displaystyle\int_{0}^{t} H_{\mathrm{eff}}(\tau) \text{d}\tau \end{cases}

Im Falle eines zeitkonstanten effektiven Feldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_{\mathrm{eff}}(t) = \mathrm{const.} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta = 0 , führt das magnetische Moment eine reine Präzessionsbewegung aus. Die Lösung ist dabei gegeben durch die folgende Gleichung, wobei die Frequenz der Präzession auch als Larmor-Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_{\mathrm{Larmor}} bezeichnet wird.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec m(t) = \begin{bmatrix} m_{0,\perp} \cos(\omega t) \\ m_{0, \perp} \sin(\omega t) \\ m_{0,\parallel}\end{bmatrix} \quad , \quad \omega = 2\pi f_{\mathrm{Larmor}} \quad , \quad f_{\mathrm{Larmor}} = \frac{\gamma H_{\mathrm{eff}}}{2\pi}

Im Falle eines zeitkonstanten effektiven Feldes $ H(t)=H_{\mathrm {eff} }=\mathrm {const.} $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta \neq 0 findet sich hingegen die Lösung:

In dieser Abbildung ist das Zeitverhalten der Dämpfung der Landau-Lifshitz-Gleichung im Falle eines zeitkonstanten, homogenen effektiven Feldes dargestellt. Die Achsen des Graphen sind logarithmisch skaliert. Die Zeitkonstante t_eq gibt an zu welchem Zeitpunkt der Gleichgewichtszustand zu 99,9 % erreicht ist.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec m(t) = m_0 \cdot \begin{bmatrix} \operatorname{sech}\left( \xi t + \eta\right) \cos\left( \omega t \right) \\ \operatorname{sech}\left( \xi t + \eta\right) \sin\left( \omega t \right) \\ \tanh\left(\xi t + \eta \right) \end{bmatrix} \; , \text{mit} \quad \omega := 2\pi f_{\mathrm{Larmor}}\; , \quad \xi:= \beta H_{\mathrm{eff}} m_0 \; , \quad \eta := \operatorname{artanh}\left(\frac{m_{0,\parallel}}{m_0}\right)

In der nebenstehenden Abbildung ist diese Lösung bildlich dargestellt. Die Spitze des magnetischen Moments Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{m} führt eine spiralförmige Bewegung auf einer Kugeloberfläche mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_0 aus und zeigt im stationären Endwert parallel zum effektiven Feld.

Zur Abschätzung des Zeitverhaltens der Dämpfung bietet es sich an, den Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta in Abhängigkeit vom Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi_0 zwischen dem Anfangswert der Magnetisierung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \boldsymbol{m}_0 und des effektiven Feldes $ {\vec {H}}_{\text{eff}} $ zu beschreiben. Hierzu ist die geometrische Eigenschaft des Skalarproduktes hilfreich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta = \operatorname{artanh}\left(\frac{m_{0,\parallel}}{m_0}\right) = \operatorname{artanh}(\cos\phi_0) \; , \; \quad 0 < \phi_0 \le \pi

Im stationären Gleichgewicht für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t \rightarrow \infty läuft die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tanh() -Funktion gegen den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 . Deshalb lässt sich folgende Gleichung zu Abschätzung ansetzen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tanh(\xi t_{\text{eq}} + \eta) \stackrel{!}{=} 99.9\% \quad \rightarrow \quad t_{\text{eq}} \approx \frac{3.8 - \operatorname{artanh}(\cos\phi_0)}{\xi} , \quad \phi_0 > 3^{\circ}

Literatur

  • Soshin Chikazumi: Physics of Ferromagnetism, Oxford, Clarendon Press 1997, Kapitel 20.4 (Spin Dynamics), S. 562
  • M, Lakshmanan: The fascinating world of the Landau–Lifshitz–Gilbert equation: an overview, Phil. Trans. R. Soc. A, Band. 369, 2010, S. 1280–1300, Arxiv
  • E. M. Lifschitz, L. P. Pitajewski: Landau, Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band IX: Statistische Physik, Teil 2, Kapitel VII (Der Magnetismus), Paragraph 69 (Die Bewegungsgleichung des Magnetischen Moments in einem Ferromagneten), Akademie Verlag, Berlin 1989, S. 287ff (Gleichung (69,9) ist die Landau-Lifschitz-Gleichung).[13]
  • Andreas Prohl: Computational Micromagnetism, Teubner 2001, S. 121ff

Weblinks

Einzelnachweise und Fußnoten

  1. ↑ L. D. Landau und J. M. Lifschitz: Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies. In: Phys. Z. Sowjetunion. Band 8, 1935, S. 153.
  2. ↑ T. L. Gilbert, A Lagrangian formulation of the gyromagnetic equation of the magnetic field, Phys. Rev., Band 100, 1955, S. 1243.
  3. ↑ T. L. Gilbert: A Phenomenological Theory of Damping in Ferromagnetic Materials. In: IEEE Transactions on Magnetics. Band 40, Nr. 6, November 2004, ISSN 0018-9464, S. 3443–49, doi:10.1109/tmag.2004.836740.
  4. ↑ mumax3
  5. ↑ VAMPIRE
  6. ↑ D. Böttcher, J. Henk: Significance of nutation in magnetization dynamics of nanostructures. In: Physical Review B. Band 86, Nr. 2, 18. Juli 2012, ISSN 1098-0121, doi:10.1103/physrevb.86.020404.
  7. ↑ E. Olive, Y. Lansac, M. Meyer, M. Hayoun, J.-E. Wegrowe: Deviation from the Landau-Lifshitz-Gilbert equation in the inertial regime of the magnetization. In: Journal of Applied Physics. Band 117, Nr. 21, 7. Juni 2015, ISSN 0021-8979, S. 213904, doi:10.1063/1.4921908.
  8. ↑ Andreas Michels: Magnetic Small-Angle Neutron Scattering. Oxford University Press, 2021, doi:10.1093/oso/9780198855170.001.0001.
  9. ↑ Coey, John M. D.: Magnetism and magnetic materials. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-511-84500-0.
  10. ↑ Daniel C Mattis: The Theory of Magnetism Made Simple. WORLD SCIENTIFIC, 2006, ISBN 978-981-238-579-6.
  11. ↑ S. J. Blundell: Micromagnetism and the Microstructure of Ferromagnetic Solids, by Helmut Kronmüller and Manfred Fähnle. In: Contemporary Physics. Band 52, Nr. 2, März 2011, ISSN 0010-7514, S. 157–157, doi:10.1080/00107514.2010.534181.
  12. ↑ J. Miltat, G. Albuquerque, A. Thiaville: An Introduction to Micromagnetics in the Dynamic Regime. In: Hillebrands B., Ounadjela K. (Hrsg.): Topics in Applied Physics Bd. 83: Spin Dynamics in Confined Magnetic Structures I. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-41191-7, S. 1–34, doi:10.1007/3-540-40907-6_1 (springer.com [PDF; abgerufen am 26. Januar 2018]).
  13. ↑ Im Band des Landau-Lifschitz zur Elektrodynamik der Kontinua (Band VIII, 5. Auflage, Akademie Verlag 1990), wird die Landau-Lifschitz-Gleichung nur in einer Übungsaufgabe in Kapitel IX (Elektromagnetische Wellengleichungen), Paragraph 79 (Dispersion der magnetischen Permeabilität), S. 339, behandelt.
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