Landau-Niveau

Erlaubte Zustände von Teilchen im transversalen Impulsraum und die klassische Spiralbahn eines Teilchens im Ortsraum

Die Landau-Niveaus (nach Lew Dawidowitsch Landau) stellen eine Quantelung der Energie von geladenen Teilchen dar, die sich in homogenen Magnetfeldern bewegen. Man kann zeigen, dass die Energie eines geladenen Teilchens der Masse $ m $ (z. B. eines Elektrons) und Ladung $ e $, das sich parallel zu einem Magnetfeld $ B $ in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung bewegt, folgendermaßen lautet:^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E(n, p_z)=\hbar \omega_c \left(n + \frac{1}{2} \right) + \frac{p_z^2}{2 m},\ \ \ \ \ n\in\N_0, p_z\in\R.

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_z der (nicht quantisierte) Impuls des Teilchens in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_c=e\cdot B/m die Zyklotronfrequenz und $ \hbar $ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Weist das geladene Teilchen auch einen Spin auf, so führt dies zu einer zusätzlichen Aufspaltung der Niveaus nach der Quantenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_z für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Komponente (= Magnetfeldrichtung) des Spins:^[2]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E(n, p_z, \sigma_z)=\hbar \omega_c \left(n + \frac{1}{2} \right) + \frac{p_z^2}{2 m} - \frac{e \hbar }{2 m}\cdot \sigma_z\;B

Dies bedeutet, dass (wie rechts in der Abbildung angedeutet) nur bestimmte Teilchenbahnen erlaubt sind, die durch die zwei Quantenzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_z und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n (und evtl. den Spin $ \sigma _{z} $) charakterisiert werden. Man kann sich die Bewegung auch so vorstellen, dass sich das Teilchen longitudinal frei ausbreitet und transversal (radial) dazu eine harmonische Schwingungsbewegung ausführt (siehe harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)). Dies entspricht insgesamt einer Schraubenbahn um die Magnetfeldlinien. Im transversalen Impulsraum (nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_x -Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): , p_y -Komponente) bleibt die Bewegung auf einen Kreis für jede Quantenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n beschränkt, im 3-dimensionalen Impulsraum liegen die Zustände also auf Zylindern (Landau-Zylinder).

Die Aufspaltung in Landau-Niveaus lässt sich zum Beispiel in der Festkörperphysik messen (De-Haas-van-Alphen-Effekt). Dort sind die transversalen Impulse aufgrund des Kristallgitters gequantelt. Es lässt sich dann zeigen, dass auf jedem Landau-Zylinder exakt gleich viele Zustände liegen.

Theoretische Herleitung mithilfe der Schrödingergleichung

Die hier dargestellte Herleitung orientiert sich an den Referenzen^[3] und der Originalarbeit.^[1]

Voraussetzungen und Aufgabenstellung

Man betrachte eine einfache Situation: Ein Teilchen der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m und der Ladung $ q $ befinde sich in einem homogenen Magnetfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B}(\vec{r})=\left(0,0,B\right) , das nur eine Komponente in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung aufweise. Dieses Feld kann auch durch folgendes Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A}(\vec{r}) dargestellt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{A}(\vec{r})=B\cdot\begin{pmatrix}0\\x\\0\end{pmatrix}.

Man kann leicht zeigen, dass sich daraus über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A} wieder obiges Magnetfeld ergibt.

Man erhält dann die (zunächst noch klassische) Hamilton-Funktion dieses Systems zu:

$ H({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{2m}}\left[{\vec {p}}-q\cdot {\vec {A}}({\vec {r}})\right]^{2}={\frac {1}{2m}}\left[p_{x}^{2}+(p_{y}-qBx)^{2}+p_{z}^{2}\right]={\frac {1}{2}}m{\vec {V}}^{2}. $

Indem man die Orts- und Impulsvariablen durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt (→ Korrespondenzprinzip), erhält man daraus den Hamiltonoperator des Systems. Im letzten Teil der obigen Gleichung wurde eine Geschwindigkeit (im Hamilton-Operator ein „Geschwindigkeitsoperator“) definiert, die folgende Form hat:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{V}=\frac{1}{m}\left[\vec{p}-q\cdot\vec{A}(\vec{r})\right]=\frac{1}{m}\begin{pmatrix}p_x\\p_y-q\cdot B\cdot x\\p_z\end{pmatrix}.

Aus der klassischen Behandlung weiß man, dass die Lösung des Problems eine schraubenförmige Bewegung (Helixbewegung, siehe Abbildung oben) in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung ist. Darum ist es sinnvoll (was sich in den späteren Rechnungen auch zeigen wird), die folgende Aufteilung des Hamilton-Operators in einen longitudinalen (entlang der Magnetfeld-Richtung) und einen dazu transversalen Teil (in der klassischen Betrachtung findet in dieser Ebene eine Drehbewegung statt, die zu einer Schraubenbewegung führt) vorzunehmen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}=\hat{H}_\bot+\hat{H}_\|,\ \ \ \ \ \mbox{mit:}\ \ \ \hat{H}_\bot=\frac{m}{2}\left(\hat{V}_x^2+\hat{V}_y^2\right),\ \ \ \hat{H}_\|=\frac{m}{2}\hat{V}_z^2.

Man erhält für den „Geschwindigkeitsoperator“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{\vec{V}} folgende Vertauschungsrelation:

$ \left[{\hat {V}}_{x},{\hat {V}}_{y}\right]={\frac {1}{m^{2}}}\left(\left[{\hat {P}}_{x},{\hat {P}}_{y}\right]-qB\cdot \left[{\hat {P}}_{x},{\hat {X}}\right]\right)=i\hbar {\frac {qB}{m^{2}}}=-i\cdot {\frac {\hbar \omega _{c}}{m}}. $

Dabei wurde die Zyklotronfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_c=-\frac{q\cdot B}{m} eingesetzt. Des Weiteren sieht man in der Definition von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{\vec{V}} leicht, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left[\hat{V}_x, \hat{V}_z\right]=\left[\hat{V}_y, \hat{V}_z\right]=0.

Damit vertauschen auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\bot und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\| miteinander und es gibt eine Basis von gemeinsamen Eigenvektoren zu $ {\hat {H}}_{\bot } $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\| .

Eigenwerte von H_||

Es gilt folgende Vertauschungsrelation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m\cdot\left[\hat{Z}, \hat{V}_z\right]=\left[\hat{Z}, \hat{P}_z\right]=i\hbar.

Damit ist ein Satz über Operatoren, die nach obiger Relation vertauschen (also die wie die kanonischen Orts- und Impulsoperatoren vertauschen), anwendbar und wir können schließen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{V}_z ein kontinuierliches Spektrum von Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_z aufweist. Weiterhin sind alle Eigenvektoren von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{V}_z ebenfalls Eigenvektoren zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\| . Die Energieeigenwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\| von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\| können damit in folgender Form geschrieben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\|=\frac{m}{2}v_z^2.

Damit beschreibt also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\| in Analogie zur klassischen Mechanik die freie Propagation eines Teilchens in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Richtung.

Eigenwerte von H_⊥

Um die Energieeigenwerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_\bot (und damit die sog. Landau-Niveaus) zu erhalten, führt man folgende Operatoren mit ihrer Vertauschungsrelation ein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{Q}=\sqrt{\frac{m}{\hbar\omega_c}}\cdot \hat{V}_y,\ \ \ \ \ \ \hat{S}=\sqrt{\frac{m}{\hbar\omega_c}}\cdot \hat{V}_x,\ \ \ \ \ \left[\hat{Q}, \hat{S}\right]=\frac{m}{\hbar\omega_c}\cdot\left[\hat{V}_y, \hat{V}_x\right]=i.

Damit hat dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\bot die Form eines quantenharmonischen Oszillators, der mit der Zyklotronfrequenz ω_c schwingt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\bot=\frac{\hbar\omega_c}{2}\left(\hat{Q}^2+\hat{S}^2\right)

Die Energieeigenwerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H_\bot sind daher

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\bot(n)=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_c,\ \ \ \ \ n\in\N_0.

Eigenwerte von H

Die Gesamtenergie ergibt sich aus der Summe der Eigenenergien von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\| und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{H}_\bot :

$ E(n,v_{z})=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega _{c}+{\frac {1}{2}}\;m\;v_{z}^{2},\ \ \ \ \ n\in \mathbb {N} _{0},v_{z}\in \mathbb {R} . $

Diese Niveaus bezeichnet man als Landau-Niveaus. Sie sind durch das kontinuierliche Geschwindigkeitsspektrum unendlichfach entartet.

Je nach angelegtem Magnetfeld erhält man damit für eine feste Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_z unterschiedliche Niveauabstände:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E=\hbar\omega_c=\frac{q\cdot B\cdot\hbar}{m}.

. In der folgenden Herleitung wird die Landau-Eichung verwendet.

Herleitung

Die Herleitung erfolgt ausgehend von der Dirac-Gleichung. Es ist auch eine Herleitung mit der Schrödinger-Gleichung möglich, diese liefert jedoch nicht die Energie-Auspaltung durch die Spin-Einstellung und auch nicht den additiven Term der Ruheenergie.

Die Dirac-Gleichung lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E \vec{\psi} = H \vec{\psi} = (-i\hbar c \alpha^k \partial_k + \beta m c^2)\vec{\psi} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\psi} = \left(\begin{array}{c} \phi_1\\ \phi_2\end{array}\right) ein Zweier-Spinor ist.

Über die minimale Kopplung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec P \rightarrow \vec P' = \vec P + e\vec A wird das Vektorpotential im Impulsterm der Bewegungsgleichung berücksichtigt.

Mit Vektorpotential und für das spezielle Problem (Spin-Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/2 -Teilchen, also Verwendung von Pauli-Matrizen) lassen sich folgende Vereinfachungen durchführen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} E \vec{\psi} =& (-i \hbar c \alpha^k \partial'_k + \beta m c^2)\vec{\psi} \\ =& (c \alpha^k P'_k + \beta m c^2) \vec{\psi} \\ =& (c \alpha^k (P_k + eA_k) + \beta m c^2)\vec{\psi} \\ =& (c \vec{\alpha} \cdot \vec P + c e \vec{\alpha} \cdot \vec A + \beta m c^2 )\vec{\psi}\\ =&\left\{ c\left(\begin{array}{cc} 0 &\sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{array} \right)P_x + c\left(\begin{array}{cc} 0 &\sigma_y \\ \sigma_y & 0 \end{array} \right)P_y + c\left(\begin{array}{cc} 0 &\sigma_z \\ \sigma_z & 0 \end{array} \right)P_z + c e B x \left(\begin{array}{cc} 0 &\sigma_y \\ \sigma_y & 0 \end{array} \right) + \beta m c^2 \right\} \left(\begin{array}{c} \phi_1\\ \phi_2\end{array}\right)\\ =&\left(\begin{array}{cc} m c^2 & ce B\sigma_y x + c (\sigma_x P_x + \sigma_y P_y + \sigma_z P_z) \\ ce B\sigma_y x + c (\sigma_x P_x + \sigma_y P_y + \sigma_z P_z) & -m c^2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} \phi_1\\ \phi_2\end{array}\right) \\ =&\left(\begin{array}{cc} m c^2 & ce B\sigma_y x + c \vec{\sigma}\cdot \vec P \\ ce B\sigma_y x + c \vec{\sigma}\cdot \vec P & -m c^2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} \phi_1\\ \phi_2\end{array}\right) \end{align}

Diese Matrix-Gleichungen lassen sich ausmulitiplieren. Sie lauten dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} E \phi_1 =& m c^2 \phi_1 + (ce B\sigma_y x + c \vec{\sigma}\cdot \vec P) \phi_2 \\ E \phi_2 =& -m c^2 \phi_2 + (ce B\sigma_y x + c \vec{\sigma}\cdot \vec P) \phi_1 \end{align}

Einer der beiden Spinoren soll nun eliminiert werden. Auflösen der zweiten Gleichung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi_2 liefert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \phi_2 = \frac{ce B\sigma_y x + c \vec{\sigma}\cdot \vec P}{E + mc^2} \phi_1 \end{align}

Dies wird in die erste Gleichung eingesetzt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} (E^2 - m^2 c^4) \phi_1 = (ce B\sigma_y x + c \vec{\sigma}\cdot \vec P)^2 \phi_1 \end{align}

In dieser Gleichung steht nunmehr nur noch eine Wellenfunktion drin, sodass man sie mit einem geeigneten Ansatz lösen kann. Es wird angenommen, dass man die gesamte Wellenfunktion als Produkt dreier Funktionen schreiben kann, bei der jede nur von einer Koordinate abhängt (Separationsansatz). Der Lösungsansatz sei dann eine ebene Welle in die y- und z-Richtung, multipliziert mit einer unbekannten Funktion, die von x abhängt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \phi_1 (x, y, z) = \chi(x) e^{i(k_y y + k_z z)} \end{align}

Damit folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} (E^2 - m^2 c^4) \chi(x) e^{i(k_y y + k_z z)} =& (ce B\sigma_y x + c \vec{\sigma}\cdot \vec P)^2 \chi_1(x) e^{i(k_y y + k_z z)} \\ =& (ce B\sigma_y x + c \sigma_x P_x + c \sigma_y \hbar k_y + c \sigma_z \hbar k_z)^2 \chi(x) e^{i(k_y y + k_z z)} \end{align}

Die ebene Welle kann nun auf beiden Seiten herausdividiert werden, da keine Operatoren mehr darauf wirken. Durch Ausmultiplizieren der Klammer und Anwendung von Kommutatorrelationen der Pauli-Matrizen lässt sich das ganze noch weiter vereinfachen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} (E^2 - m^2 c^4) \chi(x) =& (ce B\sigma_y x + c \sigma_x P_x + c \sigma_y \hbar k_y + c \sigma_z \hbar k_z)^2 \chi_1(x) \\ =& (c^2 e^2 B^2 x^2 + c^2 P_x^2 + c^2 \hbar^2 k_y^2 + c^2 \hbar^2 k_z^2 + 2 c^2 e B x \hbar k_y + i c^2 e \sigma_z P_x B x - i c^2 e \sigma_z B x P_x) \chi (x)\\ =& \left(c^2 P_x^2 + c^2 \hbar^2 k_z^2 + m^2 c^2 \frac{e^2 B^2}{m^2}\left(x + \frac{\hbar k_y}{e B}\right)^2 + c^2 e \hbar \sigma_z B\right) \chi_1 (x)\\ =&(c^2 P_x^2 + c^2 \hbar^2 k_z^2 + c^2 m^2 \omega_c^2 (x + x_0)^2 + c^2 e \hbar \sigma_z B) \chi (x) \end{align}

Im letzten Schritt wurden die Abkürzungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0 = \frac{\hbar k_y}{e B} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_c = \frac{eB}{m} (Zyklotronfrequenz) eingeführt. Die Gleichung ähnelt jetzt der eines harmonischen Oszillators, der mit der Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_c um die Ruhelage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x = -x_0 schwingt. Für eine vollständige Übereinstimmung muss man noch durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2 m c^2 teilen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{E^2 - m^2 c^4}{2mc^2} \chi(x) =\left(\frac{P_x^2}{2m} + \frac{\hbar^2 k_z^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_c^2 (x + x_0)^2 + \frac{e \hbar \sigma_z B}{2m} \right) \chi (x) \end{align}

Die weiteren Terme, nämlich die Bewegungsenergie in z-Richtung, die Spinenergie und die Ruheenergie, sind lediglich additive Konstanten. Die Energie eines harmonischen Oszillators ist bekannt, sodass die rechte Seite der Gleichung auch geschrieben werden kann als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{E^2 - m^2 c^4}{2 mc^2} = \hbar \omega_c \left(n + \frac{1}{2} \right) + \frac{\hbar^2 k_z^2}{2m} + \frac{e \hbar \sigma_z B}{2m}, \end{align}

wobei auch schon Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi(x) gekürzt wurde.

Diese Gleichung kann jetzt einfach nach E aufgelöst werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} E = \sqrt{2 mc^2 \hbar \omega_c \left(n + \frac{1}{2} \right) + c^2 \hbar^2 k_z^2 + c^2 e \hbar \sigma_z B + m^2 c^4}\end{align}

Für im Vergleich zur Ruheenergie kleine kinetische Energien lässt sich die Wurzel bis zur ersten Ordnung entwickeln:

$ {\begin{aligned}E=&mc^{2}{\sqrt {1+{\frac {2\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{m^{2}c^{2}}}+{\frac {e\hbar \sigma _{z}B}{m^{2}c^{2}}}}}\\\approx &mc^{2}\left(1+{\frac {\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m^{2}c^{2}}}+{\frac {e\hbar \sigma _{z}B}{2m^{2}c^{2}}}\right)\\=&mc^{2}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+{\frac {e\hbar \sigma _{z}B}{2m}},\ \ \ \ \ n\in \mathbb {N} _{0}\end{aligned}} $

Diese Energie-Niveaus für variables n bezeichnet man als Landau-Niveaus. Sie sind unendlichfach entartet (siehe oben).

Je nach angelegtem Magnetfeld erhält man damit für ein festes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_z unterschiedliche Niveauabstände. Es gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E=\hbar\omega_c=\frac{e\cdot B\cdot\hbar}{m}. -->

Weiteres

Es lässt sich zeigen, dass die Entartung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D der Landau-Niveaus proportional zur magnetischen Flussdichte ist: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D\propto B .^[4] Mit der obigen Erkenntnis, dass die Niveauabstände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E=\hbar\omega_c=\frac{e\cdot B\cdot\hbar}{m} ebenfalls proportional zu $ B $ sind, kann man die im De-Haas-van-Alphen-Effekt auftretenden Oszillationen in physikalischen Größen, die von der Zustandsdichte abhängen, erklären: Wird das Magnetfeld erhöht, so steigt die Energie der Landauniveaus an, während gleichzeitig ihre Entartung ansteigt. Elektronen werden daher in ein tiefer gelegenes Niveau wandern. Daher wird, falls das oberste zunächst besetzte Landau-Niveau (also das ehemalige Fermi-Niveau) vollständig geleert wurde, das nächsttiefere Landau-Niveau plötzlich zum Fermi-Niveau.^[5]

Literatur

• L. Landau: Diamagnetismus der Metalle. In: Zeitschrift für Physik. Band 64, Nr. 9-10, September 1930, ISSN 1434-6001, S. 629–637, doi:10.1007/BF01397213 (Online). 
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Quantum Mechanics: Non-relativistic theory. 3. Auflage. Pergamon Press, Oxford 1977, ISBN 0-08-019012-X, S. 455ff.
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1. 3. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2005, ISBN 3-11-013592-2, S. 700.
• Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57723-9.

Einzelnachweise