Newtonsche Abbildungsgleichung

Bildentstehung an einer Linse. Die Größen

z

und

z^{'}

sind rot markiert.

Die newtonsche Abbildungsgleichung ist eine nach dem englischen Physiker Isaac Newton benannte Formel der Strahlenoptik.

Sie lautet $f^{2} = z \cdot z^{'}$ und wird vielfach anstelle der Linsengleichung $\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$ verwendet. Hierbei steht z bzw. z’ für die Differenz aus Gegenstandsweite bzw. Bildweite und Brennweite.

Herleitung mit dem Strahlensatz

Betrachtet man den untersten vom Gegenstand G ausgehenden Strahl in der Abbildung, und den obersten zum Bild einfallenden Strahl (also die Strahlen durch die beiden Brennpunkte), so folgt aus dem Strahlensatz

\frac{G}{B} = \frac{z}{f} = \frac{f}{z^{'}}

Hierbei sind $G$ und $B$ die Höhe des Gegenstandes bzw. Bildes. Die newtonsche Abbildungsgleichung ergibt sich unmittelbar aus dem rechten Gleichheitszeichen durch Erweitern mit $f z^{'}$ .

Herleitung aus der Linsengleichung

Die newtonsche Abbildungsgleichung ist äquivalent zur Linsengleichung:

\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}

Es ergibt sich nach einfachen arithmetischen Umformungen:

$\begin{aligned} f & = \frac{g \cdot b}{g + b} \\ f (g + b) & = g \cdot b \\ f \cdot g + f \cdot b & = g \cdot b \end{aligned}$

Nach Addition von $f^{2} - f \cdot g - f \cdot b$ auf beiden Seiten erhält man

$\begin{aligned} f^{2} & = g \cdot b - g \cdot f - b \cdot f + f^{2} \\ = (g - f) (b - f) \end{aligned}$

was wegen

z = g - f

und

z^{'} = b - f

zum gewünschten Resultat führt.

Quellen

Lexikon der Physik: Abbildungsgleichungen. Abgerufen am 17. Juni 2014.