Petzval-Summe

Die Petzval-Summe bzw. der daraus resultierende Radius der Petzval-Fläche beschreibt die Bildfeldwölbung eines optischen Systems. Sie wurde von Josef Maximilian Petzval entwickelt und 1843 publiziert. Für eine Anzahl dünner Linsen mit der jeweiligen Brennweite $f_{i}$ und dem Brechungsindex $n_{i}$ gilt:

\frac{1}{r_{p}} = \sum_{i} \frac{1}{n_{i} f_{i}}

Der reziproke Radius $r_{p}$ der Petzval-Fläche ist gleich der Petzval-Summe.

Allgemeiner gilt:

\frac{1}{r_{p}} = n_{k + 1} \sum_{i}^{k} {\begin{cases} ρ_{i} (\frac{1}{n_{i}} - \frac{1}{n_{i + 1}}), & refraktive Fl \ddot{a} che \\ 2 ρ_{i}, & reflexive Fl \ddot{a} che \end{cases},

wobei $ρ_{i}$ die Krümmung der i-ten Fläche ist (Kehrwert des Radius; 0 für ebene Fläche). $ρ_{i}$ ist positiv für eine in Lichtausbreitungsrichtung konvexe Fläche, negativ für eine konkave. $n_{i}$ ist der Brechungsindex vor der i-ten Fläche und $n_{i + 1}$ der Brechungsindex danach. $n_{k + 1}$ ist der Brechungsindex nach der letzten Fläche.

Petzval-Bedingung

Die Petzval-Bedingung besagt, dass die Krümmung der Petzvalfläche dann verschwindet, wenn die Petzval-Summe null ist. Tritt zudem kein Astigmatismus auf, ist das Bildfeld eben.

Ist Astigmatismus vorhanden, gibt es zwischen der Krümmung der Petzval-Fläche und der Krümmung von tangentialer $r_{t}$ und sagittaler $r_{s}$ Bildebene folgende Beziehung:

\frac{2}{r_{p}} = \frac{3}{r_{s}} - \frac{1}{r_{t}}

Die mittlere Bildfeldwölbung ist hierbei das reziproke Mittel von tangentialer und sagittaler Krümmung.

Weblinks

F. Pedrotti, W. Bausch, H. Schmitt: Optik Für Ingenieure
Image Field Curvature (en)
H. Zinken genannt Sommer: Über die Berechnung der Bildkrümmung bei optischen Apparaten, Annalen der Physik, S. 563 ff., 1864