Das Primonengas ist ein Beispielmodell, das einzelne Konzepte aus der Quantenphysik, der Physik der Wärme und der Zahlentheorie verbindet. Es besteht aus hypothetischen Teilchen, den Primonen, die so heißen, weil ihre Energie von Primzahlen bestimmt wird.
Die Idee des Primonengases geht zurück auf Bernard Julia[1].
Primonen sind Bosonen und wechselwirken nicht miteinander, beispielsweise stoßen sie nicht miteinander zusammen.
Die Eigenzustände der einzelnen Teilchen haben Energien, die proportional zu den Logarithmen $ \log p $ der Primzahlen sind:
mit
Bei dieser „Nummerierung“ der Eigenzustände mit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen werden keine Eigenzustände „weggelassen“; sie ist lediglich eine praktische Namensgebung.
Ein Eigenzustand eines Systems aus beliebig vielen Primonen kann, da es sich um Bosonen handelt, so beschrieben werden: im Zustand zur Primzahl $ p $ befinden sich $ k_{p} $ Teilchen (Fockraum).
Dies ist analog zur Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl $ n $, bei der der Primfaktor $ p $ in der $ k_{p} $-ten Potenz auftritt. Da jede natürliche Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat (Fundamentalsatz der Arithmetik), entspricht jede natürliche Zahl $ n $ einem Zustand des Primonengases und umgekehrt. Die Zahl $ n $ enthält dabei die gesamte Information über die Besetzungszahlen der Einteilchenzustände (sie ist aber nicht die Gesamtzahl der Primonen). Es liegt daher nahe, den Zustand durch diese Zahl $ n $ zu benennen.
mit
Die Energie des Vielteilchenzustandes ist
Die kanonische Zustandssumme $ Z $ ist gleich der Riemannschen Zeta-Funktion:
Dabei ist $ s=E_{0}/k_{\mathrm {B} }T $, $ k_{\mathrm {B} } $ die Boltzmann-Konstante und $ T $ die Temperatur in Kelvin. Die Divergenz der Zeta-Funktion bei $ s=1 $ entspricht der Divergenz der Zustandssumme bei der Hagedorn-Temperatur $ T=E_{0}/k_{\mathrm {B} } $.
Man kann alternativ auch fermionische Primonen betrachten.
Dabei kann jeder Einteilchenzustand nur einmal besetzt sein. Auch dies führt zu einer interessanten zahlentheoretischen Aussage: die Zahlen $ n $ müssen dann nämlich quadratfrei sein.