Scheinbare Größe

Die scheinbare Größe (auch scheinbarer Durchmesser, Sehwinkel, astronomisch oft Winkelausdehnung) eines Objekts ist der Winkel, unter dem es von einem Beobachter wahrgenommen wird.

Nebenstehende Abbildung verdeutlicht den Zusammenhang zwischen scheinbarer Größe α, Entfernung r und wahrer Ausdehnung g eines Objekts. Es lässt sich daraus folgende Beziehung zwischen den drei Größen ableiten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{g}{2}}{r} und somit für den Winkel $ \alpha =2\,\arctan \left({\frac {g}{2\,r}}\right) $

In der Geodäsie kann mittels eines Objekts mit genormter Größe, beispielsweise einer senkrecht aufgestellten Latte, aus der scheinbaren Größe die Entfernung berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r = \frac{g}{2\, \tan\tfrac{\alpha}{2}}

In der Astronomie ergibt sich bei bekanntem Abstand eines Objekts dessen ungefähre wahre Ausdehnung quer zur Sichtlinie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g = 2\,r\,\tan\frac{\alpha}{2}

Für kleine Winkel < 1° gilt die Kleinwinkelnäherung, im Bogenmaß: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x \approx \tan x \approx \sin x , so dass in Winkelminuten gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \alpha \approx \frac{10800 \cdot g}{\pi \cdot r} .

Der Fehler beträgt bei α=1° nur 0,4" (1,7*10⁻⁶ rad oder 0,001%), bei α=6'=0,1° nur noch 0,004" (2*10⁻⁹ rad oder 0,0001 %).

Für ein sphärisches Objekt, dessen Durchmesser g und der Abstand zum Kugelmittelpunkt r ist, gilt die abweichende Formel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \alpha = 2\arcsin \left(\frac{g}{2\,r}\right), denn in dem Dreieck liegt der rechte Winkel nicht am Mittelpunkt, sondern am Berührpunkt der Tangente. Der Unterschied verschwindet für kleine Winkel.

Vertikaler und horizontaler Sehwinkel

In der Fotografie verwendet man den vertikalen und den horizontalen Sehwinkel eines Gegenstands. Den vertikalen Sehwinkel ε_v eines Gegenstands definiert man, indem man dem vom Auge fixierten Gegenstand ein waagrecht liegendes Rechteck umschreibt, dann die beiden vom Auge ausgehenden Strahlen zu den Endpunkten der senkrechten Strecke durch den Rechtecksmittelpunkt zieht und den Winkel zwischen diesen Strahlen bestimmt. Analog ist der horizontale Sehwinkel ε_h der Winkel zwischen den beiden Strahlen vom Auge zu den Endpunkten der waagrechten Strecke durch den Rechtecksmittelpunkt.

Wählt man das kartesische Koordinatensystem, dessen Ursprung im Mittelpunkt des Rechtecks liegt, dessen y- und z-Achse die vertikale und horizontale Symmetrieachse des Rechtecks bilden und bei dem sich der Betrachter im Halbraum x > 0 befindet, so lassen sich diese beiden Sehwinkel für das Rechteck mit der vertikalen Seitenlänge G_v = 2γ_v und der horizontalen Seitenlänge G_h = 2γ_h für einen beliebigen Beobachterpunkt (x,y,z) trigonometrisch bestimmen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_v = \arctan\frac{\gamma_v-y}{\sqrt{ x^2 + z^2 }} - \arctan\frac{-\gamma_v-y}{\sqrt{ x^2 + z^2 }} ,

$ \epsilon _{h}=\arctan {\frac {\gamma _{h}-z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-\arctan {\frac {-\gamma _{h}-z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} $.

Auf Grund der Rotationssymmetrie des Funktionsgraphen des vertikalen Sehwinkels ε_v(x,y,z) bei der Drehung um die y- Achse (Zylindersymmetrie) kann dessen Untersuchung auf die x,y-Ebene eingeschränkt werden. Für die Sehwinkelfunktionen als Funktionen nur der Ebenenkoordinaten x und y erhält man die folgenden Terme und die in den Abbildungen dargestellten Funktionsgraphen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_v = \arctan\frac{\gamma_v-y}{x} - \arctan\frac{-\gamma_v-y}x ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_h = 2\, \arctan\frac{\gamma_h}{\sqrt{ x^2 + y^2 }}

Graph des vertikalen Sehwinkels

Graph des horizontalen Sehwinkels

Maximale Sehwinkel eines Gegenstandes für eine Kamera

Für die vollständige und scharfe Abbildung eines fest vorgegebenen Objekts mittels einer Kamera ist der Kamerastandort auf einen Zulässigkeitsbereich Z eingeschränkt. Dieser Bereich Z wird durch vier Ungleichungen beschrieben, in welche die Kameraparameter eingehen:

1. ε_v(x,y,z) ≤ α_v,
2. ε_h(x,y,z) ≤ α_h,
3. ρ(x,y,z) = Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{ x^2+y^2+z^2 } ≥ d = g_min - f,
4. x > 0,

wobei α_v der vertikale Bildwinkel, α_h der horizontale Bildwinkel, g_min der minimale Objektabstand und f die fest fixierte Brennweite der Kamera sind.

Sucht man in diesem Bereich Z einen Standort, in dem der vertikale Sehwinkel ε_v bzw. der horizontale Sehwinkel ε_h des Objekts für die Kamera maximal ist, so liefert dies jeweils ein nichtlineares Optimierungsproblem, dessen Zielfunktion durch den zu maximierenden Sehwinkel und dessen Zulässigkeitsbereich durch Z gegeben ist. Will man dagegen für eine auf einem Kamerakran montierte Kamera einen Standort finden, in dem sowohl der vertikale als auch der horizontale Sehwinkel maximal sind, so führt dies auf die Lösung des Maximierungsproblems, bei dem beide Sehwinkel als Zielfunktionen simultan maximiert werden („multikriterielle Optimierung“).

Beschränkt man sich bei der simultanen Maximierung beider Sehwinkel ε_v und ε_h auf die x,y-Ebene, so wird der Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial Z des Zulässigkeitsbereichs Z durch zwei der folgenden drei Kreisbögen gebildet:

1. K_d
   • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y = \pm f_d(x)= \pm\sqrt{ d^2-x^2} ,
2. K_h
   • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y = \pm f_h(x) = \pm \sqrt{\eta_h^2-x^2} ,
3. K_v
   • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y = \pm f_v(x) = \pm \sqrt{r_v^2-(x-x_v)^2} ,

mit η_h = γ_h/tan(α_h/2), w_v = tan α_v, x_v = γ_v/w_v, r_v = γ_v•(1+w_v²)^1/2, ξ_v = x_v + r_v = γ_v/tan(α_v/2), 0 < α_h, α_v < π.

Für die Bestimmung des Optimalitätsbereichs O_s der simultanen Maximierung beider Sehwinkel ε_v und ε_h sind die drei Fälle I) 0 < α_v < π/2, II) α_v = π/2, III) π/2 < α_v < π und dazu jeweils noch die Unterfälle zu unterscheiden, wie der Radius R:= max{d,η_h} zu den anderen beiden Parametern γ_v und ξ_v liegt. Im Fall I) mit γ_v < ξ_v sind dies die Unterfälle 1) R ≤ γ_v, 2) γ_v < R < ξ_v und 3) R ≥ ξ_v. Beispielsweise besteht in dem in der Praxis hauptsächlich auftretenden und in der Abbildung dargestellten Fall I.2) der Optimalitätsbereich O_s aus den beiden Schnittpunkten S = (x*,y*) und Ŝ = (x*,-y*) der Kreisbögen K_R und K_v.

Beispiele

Beispiel	Bildwinkel in Grad (sortiert nach Maximum)	Bogenminuten	Größenvergleich (Bild)
Gesamtes Gesichtsfeld des gesunden menschlichen Auges	130°–150°
Von der Erdoberfläche aus gesehen nimmt ein Regenbogen im Maximum einen Halbkreis ein.	84° × 42°		Datei:Double rainbow, Graz, Austria, 2010-05-30.jpg Regenbogen mit 18-mm-Weitwinkelobjektiv.
Die eigene Faust mit ausgestrecktem Daumen am ausgestreckten Arm	ca. 10°		Datei:Estimating angular size with hand.gif Abschätzen von Winkeln mit der Hand: 10°, 20°, 5°, 1°
Andromedagalaxie (fotografisch)	ca. 3°	186,2′[1]	Fotomontage zum Größenvergleich mit dem Mond
die Breite des eigenen Daumens am ausgestreckten Arm	1,5–2°
der Bereich scharfen Sehens beim Menschen	ca. 1°
Der Durchmesser des Vollmonds oder der Sonnenscheibe von der Erde aus betrachtet.	ca. 0,5°	ca. 32′	Datei:Sun-Moon apparent sizes (min-max quartered).jpg Scheinbare Größe von Sonne und Mond im Vergleich
Der Durchmesser des Landoltrings für einen Visus von 50 %		10′	Datei:Landoltring.jpg
Pferdekopfnebel		ca. 8′
Kantenlänge des Hubble Ultra Deep Field		ca. 3′	Datei:Hubble ultra deep field.jpg
Tennisball in 100 m Entfernung		ca. 2,5′
Venus in unterer Konjunktion		1,1′	Datei:Venustransit 2004-06-08 07-49.jpg Venustransit
Jupiter		29,8–50,1″ (Bogensekunden)	Datei:Eric Kilby - Moon and Jupiter - Composite 2 (by-sa).jpg
Internationale Raumstation		0,75′ = 45″[2]	Datei:ISS over Moon from Houston - JSC2012-E-017827.jpg
Zum Vergleich: Auflösungsvermögen des bloßen menschlichen Auges unter idealen Bedingungen		0,5′ bis 1′
Saturn		18,5″	Saturn im Vergleich zum Mond bei einer Okkultation
Mars		13,9–24,2″	Datei:Blmurch - Mars and the full moon (by).jpg
Merkur		4,5-13,0″	Datei:Mercury on Sun - Rare Transit.jpg Merkurtransit vor der Sonne

Siehe auch

• Strahlensatz
• Bildwinkel
• Sichtfeld
• Scheinriese, literarisches Spiel mit dem Konzept
• Erzwungene Perspektive, fotografisches Stilmittel, das die menschliche Wahrnehmung von Größe gezielt ausnutzt

Literatur

• Franz Pleier: Der optimale Standort für einen Fotografen. W-Seminararbeit am Kepler-Gymnasium Weiden/OPf., 2010

Einzelnachweise