Tensordichte

In der Physik wurde der Begriff der Tensordichte von Hermann Weyl eingeführt, um den „Unterschied zwischen Quantität und Intensität, soweit er physikalische Bedeutung hat“, zu erfassen: „die Tensoren sind die Intensitäts-, die Tensordichten die Quantitätsgrößen“^[1]. Nach Weyl ordnet eine Tensordichte einem Koordinatensystem ein Tensorfeld derart zu, dass es bei einem Koordinatenwechsel mit dem Absolutbetrag der Funktionaldeterminante multipliziert wird. Eine Tensordichte der Stufe null ist demnach eine skalare Dichte, deren Integral gemäß dem Transformationssatz eine Invariante liefert.

Allgemeiner definiert man eine gewichtete Tensordichte, indem man mit einer Potenz des Betrages der Funktionaldeterminante multipliziert^[2]. Das Gewicht ist der Exponent in dieser Potenz. (Dagegen verwendet Weyl den Begriff Tensor(dichte) mit Gewicht in einer anderen Bedeutung: Das Gewicht ist der Exponent in der Potenz des Eichverhältnisses, mit der bei einer Reskalierung der Metrik multipliziert wird.^[1]). Eine abweichende Definition verwendet die Funktionaldeterminante anstelle ihres Betrages^[3]^[4]. Für gerades Gewicht stimmen beide Definitionen überein. Für ungerades Gewicht werden die Begriffe Tensordichte und Pseudotensordichte vertauscht, denn Pseudotensoren^[2]^[3] bzw. Pseudotensordichten werden mit dem Signum der Funktionaldeterminante multipliziert. Im Folgenden wird die erste Definition verwendet. (Eine weitere Variante unterscheidet sich im Vorzeichen des Gewichts^[5].)

Definition

Eine Tensordichte vom Gewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G ordnet Koordinaten $$ x $$ einen Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{T}(x) zu, wobei unter einem Koordinatenwechsel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x\mapsto x' die Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{T}(x')=\left|\det{\frac{\partial x}{\partial x'}}\right|^G \mathfrak{T}(x)

gilt. Die Tensorkomponenten bezüglich der Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x seien ${\mathfrak {T}}_{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}^{\nu _{1}\cdots \nu _{n}}$ . Dann gilt beim Koordinatenwechsel das folgende Transformationsgesetz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{T}{'}_{\rho_1 \cdots \rho_m}^{\sigma_1 \cdots \sigma_n} = \left|\det{\frac{\partial x}{\partial x'}}\right|^G \frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial x'^{\rho_1}} \cdots \frac{\partial x^{\mu_m}}{\partial x'^{\rho_m}} \frac{\partial x'^{\sigma_1}}{\partial x^{\nu_1}} \cdots \frac{\partial x'^{\sigma_n}}{\partial x^{\nu_n}} \mathfrak{T}_{\mu_1 \cdots \mu_m}^{\nu_1 \cdots \nu_n}

Beispiele

Eine Tensordichte mit Gewicht Null ist ein gewöhnliches Tensorfeld.

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g=|\det{(g_{\mu\nu})}| der Betrag der Determinante der Komponentenmatrix des metrischen Tensors (oder allgemeiner eines zweifach kovarianten Tensors). Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g wegen des Produktsatzes für Determinanten eine skalare Dichte vom Gewicht 2 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{g} eine skalare Dichte vom Gewicht 1. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T ein Tensor, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{T} = \sqrt{g}^G T eine Tensordichte vom Gewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G . Umgekehrt lässt sich eine beliebige Tensordichte vom Gewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G als ein solches Produkt schreiben, indem man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T=\sqrt{g}^{(-G)}\mathfrak{T} setzt.

Ein Beispiel für eine Pseudotensordichte vom Gewicht −1 ist der Levi-Civita-Tensor.

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Hermann Weyl: Raum – Zeit – Materie. Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1970, ISBN 3-540-05039-6, S. 110. (Tensordichte mit Gewicht: S. 127.)
↑ ^2,0 ^2,1 Ernst Schmutzer: Relativistische Physik. Klassische Theorie. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig 1986, LCCN 75-401751, A I. § 14. Tensordichten, S. 132. (Pseudotensoren: S. 121.)
↑ ^3,0 ^3,1 Hans Stephani: Relativity. An Introduction to Special and General Relativity. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, UK 2004, ISBN 0-521-81185-6, S. 119.
↑ Bernard F. Schutz: Geometrical methods of mathematical physics. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-23271-6, S. 128.
↑ Steven Weinberg: Gravitation and cosmology. Principles and applications of the general theory of relativity. John Wiley & Sons, New York 1972, ISBN 0-471-92567-5, S. 98.

Literatur

Erwin Schrödinger: Die Struktur der Raum-Zeit. Herausgegeben und übersetzt von Jürgen Audretsch. Reprografischer Nachdruck der Ausgabe 1987. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1993, ISBN 3-534-02282-3 (englischer Originaltitel: Space-Time Structure).

[Weyl-1] 1,0 ^1,1 Hermann Weyl: Raum – Zeit – Materie. Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1970, ISBN 3-540-05039-6, S. 110. (Tensordichte mit Gewicht: S. 127.)

[Schmutzer-2] 2,0 ^2,1 Ernst Schmutzer: Relativistische Physik. Klassische Theorie. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig 1986, LCCN 75-401751, A I. § 14. Tensordichten, S. 132. (Pseudotensoren: S. 121.)

[Stephani-3] 3,0 ^3,1 Hans Stephani: Relativity. An Introduction to Special and General Relativity. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, UK 2004, ISBN 0-521-81185-6, S. 119.

[Schutz-4] Bernard F. Schutz: Geometrical methods of mathematical physics. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-23271-6, S. 128.

[Weinberg-5] Steven Weinberg: Gravitation and cosmology. Principles and applications of the general theory of relativity. John Wiley & Sons, New York 1972, ISBN 0-471-92567-5, S. 98.

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