Levi-Civita-Symbol

Das Levi-Civita-Symbol $ \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}} $, auch Permutationssymbol, (ein wenig nachlässig) total antisymmetrischer Tensor oder Epsilon-Tensor genannt, ist ein Symbol, das in der Physik bei der Vektor- und Tensorrechnung nützlich ist. Es ist nach dem italienischen Mathematiker Tullio Levi-Civita benannt. Betrachtet man in der Mathematik allgemein Permutationen, spricht man stattdessen meist vom Vorzeichen der entsprechenden Permutation. In der Differentialgeometrie betrachtet man koordinatenunabhängig die Antisymmetrisierungsabbildung und den Hodge-Stern.

Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Indizes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i_1 bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i_n haben Werte von 1 bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n . Haben zwei oder mehr Indizes denselben Wert, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{i_1\dots i_n}=0 . Sind die Werte der Indizes verschieden, so gibt das Symbol an, ob eine gerade (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{i_1\dots i_n}=+1 ) oder eine ungerade ($ \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}=-1 $) Anzahl von Vertauschungen der Indizes nötig ist, um die Werte aufsteigend anzuordnen. Zum Beispiel ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{132}=-1 , da eine einzige Vertauschung nötig ist, um 132 in die Reihenfolge 123 zu bringen.

Definition

Das Levi-Civita-Symbol in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Dimensionen hat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n Indizes, die gewöhnlich von 1 bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n (für manche Anwendungen auch von 0 bis $ n-1 $) laufen. Es wird durch folgende Eigenschaften definiert:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{12\dots n} = 1 .
• Unter Vertauschung zweier Indizes ändert es das Vorzeichen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots} .

Aus der zweiten Eigenschaft folgt sofort: Falls zwei Indizes gleich sind, ist der Wert null: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{ij\dots u\dots u\dots} = 0 .

Gleichwertig ist die Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{ijk\dots} = \begin{cases} +1, & \text{wenn }(i,j,k,\dots) \text{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \text{ ist,} \\ -1, & \text{wenn }(i,j,k,\dots) \text{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \text{ ist,} \\ 0, & \text{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.} \end{cases}

Eine alternative Definition verwendet eine Formel, welche auch für die Darstellung des Vorzeichens einer Permutation benutzt wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{i_1\dots i_n} = \prod_{1\le p<q\le n} \frac{i_p-i_q}{p-q} .

Es bezeichne $ N=\{1,\dots ,n\} $ die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n . Man kann das Levi-Civita-Symbol als eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon:\{i|i:N\rightarrow N\}\rightarrow\{-1,0,+1\}\subset\mathbb{R} auffassen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon(i)=0 , falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i nicht bijektiv ist, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon(i)=\sgn(i) sonst (also das Vorzeichen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i , falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i eine Permutation ist).

Zusammenhang mit der Determinante

Die Determinante einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n \times n -Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A = \left(A_{ij}\right) kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \det A = \varepsilon_{j_1 \dots j_n} A_{1j_1} \dots A_{nj_n} \;.

Allgemeiner gilt der Zusammenhang

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{i_1 \dots i_n} \det A = \varepsilon_{j_1 \dots j_n} A_{i_1j_1} \dots A_{i_nj_n} .

Setzt man in diese Beziehung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A die Einheitsmatrix $ E_{n} $ ein, also für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{ij} das Kronecker-Delta Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_{ij} , so erhält man wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \det E = 1 die folgende Darstellung des Levi-Civita-Symbols:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{i_1 \dots i_n} = \varepsilon_{j_1 \dots j_n} \delta_{i_1j_1} \dots \delta_{i_nj_n} = \begin{vmatrix} \delta_{i_11} & \dots & \delta_{i_1n}\\ \vdots & & \vdots\\ \delta_{i_n1} & \dots & \delta_{i_nn} \end{vmatrix} = \det\left(\begin{array}{ccc} - & e_{i_1} & -\\ & \vdots &\\ - & e_{i_n} & -\end{array}\right) .

Dabei sind die Zeilen der Matrix die Einheitsvektoren aus der Standardbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{e_1,\dots,e_n\} des $ \mathbb {R} ^{n} $. Diese Matrix ist also diejenige Permutationsmatrix, welche den Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix}x_1&x_2&\dots&x_n\end{pmatrix}^T auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{pmatrix}x_{i_1}&x_{i_2}&\dots&x_{i_n}\end{pmatrix}^T abbildet. Daraus erhält man mit Hilfe der Produktregel für Determinanten einen Ausdruck für das folgende Tensorprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon_{j_1 \dots j_n} = \det \left((e_{i_1}\dots e_{i_n})^T\cdot(e_{j_1}\dots e_{j_n})\right) = \begin{vmatrix} \delta_{i_1j_1} & \dots & \delta_{i_1j_n}\\ \vdots & & \vdots\\ \delta_{i_nj_1} & \dots & \delta_{i_nj_n} \end{vmatrix} .

Unter Verwendung des laplaceschen Entwicklungssatzes erhält man daraus die folgende Beziehung, wenn man über die jeweils ersten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k Indizes beider Tensoren verjüngt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{i_1 \dots i_k i_{k+1} \dots i_n}\varepsilon_{i_1 \dots i_k j_{k+1} \dots j_n} = k! \begin{vmatrix} \delta_{i_{k+1}j_{k+1}} & \dots & \delta_{i_{k+1}j_n}\\ \vdots & & \vdots\\ \delta_{i_nj_{k+1}} & \dots & \delta_{i_nj_n} \end{vmatrix} .

Als eine Anwendung dieser Formeln erhält man für die Einträge der Adjunkten einer $ n\times n $-Matrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{adj}(A)_{ij} = \dfrac{1}{(n-1)!} \varepsilon_{i\, i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j\, j_2 \dots j_n} A_{j_2 i_2} \dots A_{j_n i_n} .

Speziell in drei Dimensionen

Das Levi-Civita-Symbol lässt sich als Spatprodukt dreier orthogonaler Einheitsvektoren darstellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{ijk}=\hat{e}_{i}\cdot(\hat{e}_{j}\times\hat{e}_{k})=\det\left(\begin{array}{ccc} - & \hat{e}_{i} & -\\ - & \hat{e}_{j} & -\\ - & \hat{e}_{k} & -\end{array}\right)=:\det A

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{lmn}=\hat{e}_{l}\cdot(\hat{e}_{m}\times\hat{e}_{n})=\det\left(\begin{array}{ccc} - & \hat{e}_{l} & -\\ - & \hat{e}_{m} & -\\ - & \hat{e}_{n} & -\end{array}\right)=:\det B

Beim Produkt zweier Epsilon-Tensoren nutzt man aus, dass das Produkt zweier Determinanten als Determinante des Matrizenprodukts geschrieben werden kann. Zudem verwendet man die Identität der Determinante einer Matrix und der Determinante der transponierten Matrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} &= \det A\,\det B=\det A\,\det B^{T}=\det(A\cdot B^{T})\\ &= \left|\left(\begin{array}{ccc} - & \hat{e}_{i} & -\\ - & \hat{e}_{j} & -\\ - & \hat{e}_{k} & -\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc} \mid & \mid & \mid\\ \hat{e}_{l} & \hat{e}_{m} & \hat{e}_{n}\\ \mid & \mid & \mid\end{array}\right)\right| = \left|\begin{array}{ccc} \hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{l} & \hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{m} & \hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{n}\\ \hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{l} & \hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{m} & \hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{n}\\ \hat{e}_{k}\cdot\hat{e}_{l} & \hat{e}_{k}\cdot\hat{e}_{m} & \hat{e}_{k}\cdot\hat{e}_{n}\end{array}\right| \end{align}

Somit lässt sich das Produkt zweier Epsilon-Tensoren als Determinante von Kronecker-Deltas schreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\left|\begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn}\end{array}\right|

Als Komponenten einer Pseudotensordichte

Definiert man eine $ n $-fach kovariante Pseudotensordichte vom Gewicht -1, indem man für eine gegebene geordnete Basis des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R^n und alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (i_1,\ldots,i_n) \in\{1,\ldots,n\}^n ihre Komponenten durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{i_1...i_n} festlegt, so ändern sich die Komponenten dieser Pseudotensordichte bei einem Basiswechsel nicht. In diesem Sinn stellt also das Levi-Civita-Symbol bezüglich beliebiger Basen die Komponenten einer Pseudotensordichte dar. Daraus folgt insbesondere, dass das Symbol die Komponenten eines Tensors beschreibt, wenn man nur Orthonormalbasen positiver Orientierung betrachtet.

In ähnlicher Weise kann im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R^n oder allgemeiner auf einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n -dimensionalen orientierbaren semi-riemannschen Mannigfaltigkeit das Levi-Civita-Symbol zur Definition der Komponenten eines kovarianten total schiefsymmetrischen Tensorfeldes $ n $-ter Stufe, einer sogenannten Differentialform, benutzt werden. Eine solche Differentialform ist nur bis auf einen skalaren Faktor bestimmt. Die Wahl des Vorfaktors fixiert die Volumeneinheit und definiert die Differentialform als Volumenform. Im euklidischen Raum steht das Levi-Civita-Symbol für die Komponenten des Standardvolumens in der Standardbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{e_i,\dots,e_n\} . Bezüglich einer anderen Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e'_i=C_{ji}e_j hat derselbe Tensor offenbar die Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\det C^{-1})\varepsilon_{i_1\dots i_n} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C=(C_{ij}) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C^{-1} die dazu inverse Matrix ist. Ist die Basis nicht orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts, dann unterscheiden sich entsprechend ko- und kontravariante Komponenten des Tensors. Der Vorfaktor hängt von den Koordinaten ab, wenn krummlinige Koordinaten verwendet werden oder der zugrunde liegende Basisraum eine (orientierbare) Mannigfaltigkeit ist. Für eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit mit metrischem Tensor $ g $ und der zugehörigen riemannschen Volumenform (siehe Hodge-Stern-Operator) ist der Vorfaktor gegeben durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \pm\sqrt{\det g} . Das Vorzeichen hängt von der gewählten Orientierung ab. Der Zusammenhang zwischen Levi-Civita-Symbol und Kronecker-Delta verallgemeinert sich zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\det g)\varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon_{j_1 \dots j_n}= \begin{vmatrix} g_{i_1j_1} & \dots & g_{i_1j_n}\\ \vdots & & \vdots\\ g_{i_nj_1} & \dots & g_{i_nj_n} \end{vmatrix} .

Das Levi-Civita-Symbol in der allgemeinen Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist auch die Notation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [ \alpha, \beta, \gamma, \cdots ] gebräuchlich. Sie kennzeichnet in der Regel das Levi-Civita-Symbol im flachen Raum^[1] und wird mit der Definition (hier konventionell in 3D)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon_{\alpha, \beta, \gamma} = \sqrt{g}\,[\alpha, \beta, \gamma, \cdots]

mit der Metrik-Determinanten $ g=\det(g_{\mu \nu }) $ zum Levi-Civita-(Pseudo)tensor. Dabei wird durch die Metrik in der Regel eine Orthonormalbasis gegeben. Der Levi-Civita-Tensor transformiert sich dann wie ein Tensor. Deswegen ist im Allgemeinen das Kreuzprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} \times \vec{b} in einer dreidimensionalen raumartigen Hyperfläche (wie sie in der 3+1-Cauchy-Initial Value-Formulierung verwendet wird, vgl. ADM-Masse) nicht eindeutig definiert.

Anwendungen

Vektorrechnung

Für den dreidimensionalen Fall ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{ijk} = \frac{i-j}{1-2}\cdot\frac{i-k}{1-3}\cdot\frac{j-k}{2-3} = -\frac{1}{2}(j-i)(k-j)(i-k) \equiv (j-i)(k-j)(i-k) \mod 3

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i,j,k \in \lbrace1,2,3\rbrace .

Werte des Levi-Civita-Symbols für ein rechtshändiges Koordinatensystem

Matrixdarstellung des Levi-Civita-Symbols und ...

korrespondierende Darstellung des Levi-Civita-Symbols für ein linkshändiges Koordinatensystem

Wie der nebenstehenden Abbildung zu entnehmen, sind dabei lediglich 6 der insgesamt 27 Komponenten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{ijk} ungleich null:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{123} = \varepsilon_{312} = \varepsilon_{231} = 1 ,

$ \varepsilon _{321}=\varepsilon _{213}=\varepsilon _{132}=-1. $

Oder als Merkregel: 123123 Nun resultiert +1 wenn man von links nach rechts abliest, und -1 wenn man von rechts nach links abliest. In diesem Beispiel erkennt man ferner eine Invarianz unter zyklischer Permutation der Indizes, die allerdings nur dann gilt, wenn n ungerade ist – ist das nicht der Fall, geht eine zyklische Permutation der Indizes mit einem Vorzeichenwechsel einher.

Das folgende Zahlenbeispiel demonstriert die Darstellung als Determinante, welche im dreidimensionalen Fall auch durch das Spatprodukt ausgedrückt werden kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \varepsilon_{123} &= \vec{e_{1}} \cdot (\vec{e_{2}} \times \vec{e_{3}}) \\ &= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = 1 \end{align}

Das Levi-Civita-Symbol mit drei Indizes erweist sich in der Vektorrechnung als nützlich, um die Komponenten des Kreuzproduktes zweier Vektoren zu schreiben. Es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k \;.

Bei solchen Rechnungen wird häufig die einsteinsche Summenkonvention angewandt, das heißt, man lässt die Summenzeichen weg und vereinbart, dass über in Produkten doppelt auftretende Indizes stets automatisch summiert wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a} \times \vec{b})_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k \;.

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{e_i} der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i -te Einheitsvektor, so kann diese Gleichung auch notiert werden als:

$ {\vec {a}}\times {\vec {b}}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}{\vec {e_{i}}}=\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\vec {e_{k}}} $

Für das Spatprodukt gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{a} \times \vec{b})\cdot\vec{c}=\varepsilon_{ijk} a_i b_j c_k .

In dieser Beziehung wird die Eigenschaft des Levi-Civita-Symbols als Komponenten einer Volumenform deutlich, denn das Spatprodukt ist gleich dem Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spates.

Für den Zusammenhang zwischen Levi-Civita-Symbol bzw. Epsilon-Tensor und Kronecker-Delta erhält man die Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmn} &= \begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{vmatrix}\\ &= \delta_{il} \delta_{jm} \delta_{kn} + \delta_{im} \delta_{jn} \delta_{kl} + \delta_{in} \delta_{jl} \delta_{km} -\delta_{im} \delta_{jl} \delta_{kn} - \delta_{il} \delta_{jn} \delta_{km} - \delta_{in} \delta_{jm} \delta_{kl}\textrm{.} \end{align}

Aus dieser folgt (wiederum mit Summenkonvention)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn} &= \begin{vmatrix} \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{km} & \delta_{kn} \end{vmatrix} = \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}\\ \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijn} &= 2\delta_{kn}\\ \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijk} &= 3! = 6 \end{align}

Diese Beziehungen sind hilfreich bei der Herleitung von Identitäten für das Kreuzprodukt.

Weiterhin ordnet der Epsilon-Tensor einem Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a} eine schiefsymmetrische Matrix $ A $ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{ij}=\varepsilon_{ijk}a_k zu. Damit kann das Kreuzprodukt als Matrixprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{a}\times\vec{b}=-A\cdot\vec{b} ausgedrückt werden. In der Mathematik wird diese Zuordnung als Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Ein Beispiel ist die Zuordnung des magnetischen Feldvektors zu den entsprechenden Komponenten im elektromagnetischen Feldstärketensor. Solch eine Zuordnung ist auch für andere axiale Vektoren, etwa für den Drehimpulsvektor, üblich.

Relativitätstheorie

In der Relativitätstheorie muss zwischen ko- und kontravarianten Komponenten des Epsilon-Tensors unterschieden werden. Im Folgenden sei im vierdimensionalen Minkowski-Raum die Signatur des metrischen Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\eta_{ij} als (1,−1,−1,−1) festgelegt. Die Indizes sollen Werte von 0 bis 3 annehmen. Weiterhin sei für die vierfach kontravariante Komponente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon^{0123}=1 festgelegt.^[2] Unterschiedliche Autoren verwenden verschiedene Konventionen für die Vorzeichen in Metrik und Epsilon-Tensor. Wie üblich werden Indizes mit dem metrischen Tensor bewegt. Dann erhält man zum Beispiel für die vierfach kovariante Komponente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{0123}=\eta_{0\mu}\eta_{1\nu}\eta_{2\varrho}\eta_{3\sigma}\varepsilon^{\mu\nu\varrho\sigma}=\det(\eta)=-1 .

Der Epsilon-Tensor bleibt unter einer eigentlichen Lorentztransformation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Lambda invariant:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon^{\prime \mu\nu\varrho\sigma} = \Lambda^{\mu}_{\ \mu^\prime}\Lambda^{\nu}_{\ \nu^\prime}\Lambda^{\varrho}_{\ \varrho^\prime}\Lambda^{\sigma}_{\ \sigma^\prime}\varepsilon^{\mu^\prime\nu^\prime\varrho^\prime\sigma^\prime} = \varepsilon^{\mu\nu\varrho\sigma}

Dies folgt direkt aus der Tatsache, dass die Determinante von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Lambda gleich 1 ist. Der Epsilon-Tensor kann verwendet werden, um den dualen elektromagnetischen Feldstärketensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{F}^{\mu\nu}=\tfrac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\varrho\sigma}F_{\varrho\sigma} zu definieren, mit dessen Hilfe sich wiederum die homogenen Maxwell-Gleichungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu}=0 kompakt notieren lassen.

Eine Anwendung des zweistufigen Epsilon-Tensors in der Relativitätstheorie ergibt sich, wenn man den Minkowski-Raum auf den Vektorraum der hermiteschen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2\times 2 -Matrizen abbildet: $ v_{\alpha {\dot {\alpha }}}=\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{m}v_{m} $. Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\sigma^m für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,m=1,2,3 die Pauli-Matrizen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\sigma_0=-E_2 die negative Einheitsmatrix. Entsprechend erfolgt dann die Zuordnung von Tensoren. Der metrische Tensor wird dabei auf das Produkt zweier Epsilon-Tensoren abgebildet: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma^m_{\alpha\dot\alpha}\sigma^n_{\beta\dot\beta}\eta_{mn}=-2\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\dot\alpha\dot\beta} . In diesem Formalismus sind Objekte mit einem Index Spinoren $ \,\psi ^{\alpha } $, und der Epsilon-Tensor spielt bei der Umrechnung von ko- in kontravariante Komponenten die gleiche Rolle wie der metrische Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\eta_{mn} im gewöhnlichen Minkowski-Raum: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_\alpha=\varepsilon_{\alpha\beta}\psi^\beta . Dieser Formalismus ist unter dem Namen Van-der-Waerden-Notation bekannt. Für die Metrik wird üblicherweise die Signatur (−1,1,1,1) gewählt. Für den Epsilon-Tensor gilt hierbei die Festlegung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon^{12}=\varepsilon_{21}=1 .^[3]

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird das Levi-Civita-Symbol bei der Formulierung der Drehimpulsalgebra verwendet. In mathematischen Begriffen ausgedrückt stimmt das Symbol mit den Strukturkonstanten der Lie-Algebren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{so}(3,\mathbb R)\cong \mathfrak{su}(2,\mathbb C) überein. Das folgende Beispiel illustriert die Anwendung des Levi-Civita-Symbols in diesem Zusammenhang. Die Lie-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{so}(3,\mathbb R) kann als die Unteralgebra der schiefsymmetrischen Matrizen in $ \mathbb {R} ^{3\times 3} $, das heißt der reellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 3\times 3 -Matrizen, dargestellt werden. Die Generatoren (eine Basis) von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathfrak{so}(3,\mathbb R) ist gegeben durch die Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_i\in\mathbb R^{3\times 3} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i=1,2,3 , mit den Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (T_i)_{jk}=-\varepsilon_{ijk} . Die Kommutatoren der Generatoren lauten dann $ [T_{i},T_{j}]=\varepsilon _{ijk}T_{k} $.

Einzelnachweise