Volumenarbeit
Die Volumenarbeit oder Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit $ W $, um das Volumen des Systems vom Wert $ V_{1} $ auf eines mit dem Wert $ V_{2} $ zu verändern:
- bei der Volumenverkleinerung $ (V_{2}<V_{1}) $ durch Kompression wird Kompressionsarbeit geleistet, d. h. dem System zugeführt (in der Abbildung ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet): $ W>0 $
- bei der Volumenvergrößerung $ (V_{2}>V_{1}) $ durch Expansion wird Arbeit – d. h. Energie – frei, d. h. vom System abgegeben: $ W<0. $
Die Formel für die Volumenarbeit lautet:
- $ W_{1,2}=-\int \limits _{s}F(s)\cdot \mathrm {d} s $.
Hierbei ist $ F(s) $ die Kraft, die längs eines Weges $ s $ wirkt; dieser wird in Expansionsrichtung positiv gezählt (in der Abbildung entgegen der gezeigten Kompressionskraft $ F_{p} $).
Das Minuszeichen in der Formel ist eine Konvention; so wird erreicht, dass dem System zugeführte Arbeit wie oben beschrieben positiv ist, freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält. Bei der dargestellten Kompression hat der zurückgelegte Weg ein negatives Vorzeichen $ \left(\mathrm {d} s<0\right), $ welches durch das zusätzliche Minuszeichen in der Formel für die Volumenarbeit kompensiert wird.
Reibungsloser Vorgang
Die reibungsfrei und quasistatisch zugeführte Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt $ A $ $ \left(\Rightarrow \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} V}{A}}\right) $
wegen $ F=p\cdot A $ (Reibungsfreiheit):
- $ \Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}\delta W=-\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}p\cdot \mathrm {d} V $
mit
- $ \delta W=-pdV $ das inexakte Differential der Volumenarbeit
- $ p $: Druck
- $ \mathrm {d} V $: Volumenänderung.
Diese Zustandsänderung verläuft im p-V-Diagramm vom Punkt 1 zum Punkt 2, bei der dargestellten Kompression also in negativer Volumenrichtung $ \left(\mathrm {d} V<0\right); $ daher hätte die Kompressionsarbeit ohne das Minuszeichen in der Formel ein negatives Vorzeichen.
Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion p = f(V) bekannt ist (s. u.).
Reibungsbehafteter Vorgang
Im realen Fall, wenn zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit $ W_{R} $ aufgebracht werden. Diese erhöht die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang (wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird):
- $ {p_{2}}'>p_{2} $
Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandsänderung nun vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist:
- $ \Rightarrow W_{1,2'}>W_{1,2} $
Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit:
- $ W_{\mathrm {ext} }=W_{1,2'}+W_{R} $
Berechnungsbeispiel
Angenommen sei die isotherme Expansion eines idealen Gases $ \left(T={\text{konst.}}\right). $
Dann lässt sich durch Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase:
- $ p(V)=n\cdot R\cdot T\cdot {\frac {1}{V}} $
mit
- n die Stoffmenge
- R die allgemeine Gaskonstante
- T die absolute Temperatur
das Integral für die Volumenarbeit lösen:
- $ {\begin{aligned}\Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }&=-&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\\&=&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}\end{aligned}} $
Anhand dieser Gleichung sieht man, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird; dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist:
- $ {\begin{aligned}V_{2}>V_{1}\\\Leftrightarrow {\frac {V_{2}}{V_{1}}}>1\\\Leftrightarrow \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}>0\\\Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }<0\end{aligned}} $
Statt n·R kann man oben auch m·Rs einsetzen:
- $ n\cdot R=m\cdot R_{\mathrm {s} } $
wobei
- m die Masse des Stoffes und
- Rs seine spezifische Gaskonstante ist.
Offenes System
Wird die Kompression in einem offenen System mit dem Außendruck $ p_{0} $ durchgeführt, so muss an tatsächlicher Arbeit
- $ W_{1,2}=p_{0}\cdot (V_{2}-V_{1}) $
aufgebracht werden, da der Außendruck mit der Fläche multipliziert ebenfalls eine Kraft ergibt. Ist der Außendruck höher als der Innendruck des zu komprimierenden Volumens, so wird dabei Energie gewonnen; ist er geringer, so muss dabei Arbeit geleistet werden.