Volumenarbeit

Wenn ein Kolben um ein Wegstück $\mathrm{\Delta }z$ gegen einen äußeren Druck $p$ expandiert, leistet er die Volumenarbeit $W_{1,2}$.

Die Volumenarbeit oder Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit $W$, um das Volumen des Systems vom Wert $V_1$ auf eines mit dem Wert $V_2$ zu verändern:

• bei der Volumenverkleinerung $(V_2<V_1)$ durch Kompression wird Kompressionsarbeit geleistet, d. h. dem System zugeführt (in der Abbildung ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet): $W>0$
• bei der Volumenvergrößerung $(V_2>V_1)$ durch Expansion wird Arbeit – d. h. Energie – frei, d. h. vom System abgegeben: $W<0.$

Die Formel für die Volumenarbeit lautet:

$W_{1,2}=-\underset{s}{\int }F(s)\cdot \mathrm{d}s$.

Hierbei ist $F(s)$ die Kraft, die längs eines Weges $s$ wirkt; dieser wird in Expansionsrichtung positiv gezählt (in der Abbildung entgegen der gezeigten Kompressionskraft $F_p$).

Das Minuszeichen in der Formel ist eine Konvention; so wird erreicht, dass dem System zugeführte Arbeit wie oben beschrieben positiv ist, freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält. Bei der dargestellten Kompression hat der zurückgelegte Weg ein negatives Vorzeichen $(\mathrm{d}s<0),$ welches durch das zusätzliche Minuszeichen in der Formel für die Volumenarbeit kompensiert wird.

Reibungsloser Vorgang

Die reibungsfrei und quasistatisch zugeführte Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt $A$ $(\Rightarrow \mathrm{d}s=\frac{\mathrm{d}V}{A})$

wegen $F=p\cdot A$ (Reibungsfreiheit):

$\Rightarrow W_{1,2}=\underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}\delta W=-\underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}p\cdot \mathrm{d}V$

mit

• $\delta W=-pdV$ das inexakte Differential der Volumenarbeit
• $p$: Druck
• $\mathrm{d}V$: Volumenänderung.

Diese Zustandsänderung verläuft im p-V-Diagramm vom Punkt 1 zum Punkt 2, bei der dargestellten Kompression also in negativer Volumenrichtung $(\mathrm{d}V<0);$ daher hätte die Kompressionsarbeit ohne das Minuszeichen in der Formel ein negatives Vorzeichen.

Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion p = f(V) bekannt ist (s. u.).

Reibungsbehafteter Vorgang

Im realen Fall, wenn zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit $W_R$ aufgebracht werden. Diese erhöht die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang (wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird):

${p_2}^{\prime }>p_2$

Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandsänderung nun vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist:

$\Rightarrow W_{1,2^{\prime }}>W_{1,2}$

Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit:

$W_{\mathrm{ext}}=W_{1,2^{\prime }}+W_R$

Berechnungsbeispiel

Angenommen sei die isotherme Expansion eines idealen Gases $(T=\text{konst.}).$

Dann lässt sich durch Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase:

$p(V)=n\cdot R\cdot T\cdot \frac{1}{V}$

mit

• n die Stoffmenge
• R die allgemeine Gaskonstante
• T die absolute Temperatur

das Integral für die Volumenarbeit lösen:

$\begin{array}{rlr}\Rightarrow W_{1,2}& =-& n\cdot R\cdot T\cdot \ln \frac{V_2}{V_1}\\ & =& n\cdot R\cdot T\cdot \ln \frac{V_1}{V_2}\end{array}$

Anhand dieser Gleichung sieht man, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird; dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist:

$\begin{array}{r}{V}_2>V_1\\ \iff \frac{V_2}{V_1}>1\\ \iff \ln \frac{V_2}{V_1}>0\\ \Rightarrow W_{1,2}<0\end{array}$

Statt n·R kann man oben auch m·R_s einsetzen:

$n\cdot R=m\cdot R_{\mathrm{s}}$

wobei

• m die Masse des Stoffes und
• R_s seine spezifische Gaskonstante ist.

Offenes System

Wird die Kompression in einem offenen System mit dem Außendruck $p_0$ durchgeführt, so muss an tatsächlicher Arbeit

$W_{1,2}=p_0\cdot (V_2-V_1)$

aufgebracht werden, da der Außendruck mit der Fläche multipliziert ebenfalls eine Kraft ergibt. Ist der Außendruck höher als der Innendruck des zu komprimierenden Volumens, so wird dabei Energie gewonnen; ist er geringer, so muss dabei Arbeit geleistet werden.

Siehe auch

• Thermodynamik
• Dissipation
• Technische Arbeit
• Verschiebearbeit

Literatur

• Literatur zur Technischen Thermodynamik