Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

$\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)$

Die 2er-Spinoren ${\mathrm{\Psi }}_L$ und ${\mathrm{\Psi }}_R$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators ${\gamma }^5$, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.

$\begin{array}{rl}{\gamma }^5\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ 0\end{array}\right)& =-\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ 0\end{array}\right)\\ {\gamma }^5\left(\begin{array}{c}0\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}0\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)\end{array}$.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse $m$ gekoppelt:

$(\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{cc}-m& \mathrm{i}{\overline{\sigma }}^{\mu }{\partial }_{\mu }\\ \mathrm{i}{\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }& -m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_L\\ {\mathrm{\Psi }}_R\end{array}\right)=0$

Hierbei ist ${\sigma }^{\mu }=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^0& \overrightarrow{\sigma }\end{array}\right)$ und ${\overline{\sigma }}^{\mu }=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^0& -\overrightarrow{\sigma }\end{array}\right)$, wobei $\overrightarrow{\sigma }$ die drei Pauli-Matrizen sind und ${\sigma }^0$ die zweidimensionale Einheitsmatrix.

Verschwindet die Masse ($m=0$), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:

$\begin{array}{rl}\mathrm{i}{\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_L& =0\\ \mathrm{i}{\overline{\sigma }}^{\mu }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_R& =0\end{array}$

Chirale Kopplung

Zur Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant, an Vektorfelder koppeln können (chirale Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden:

$D_{\mu }={\partial }_{\mu }-\mathrm{i}g{T}_a{W}_{\mu }^a$

Dabei bezeichnen

• $g$ die Kopplungskonstante,
• $T_a$ die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
• $W_{\mu }^a$ die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.