Zitterbewegung

Die Zitterbewegung ist eine theoretische, schnelle Bewegung von Elementarteilchen, speziell von Elektronen, die der (relativistischen) Dirac-Gleichung gehorchen.

Die Existenz einer solchen Bewegung wurde 1928 von Gregory Breit und 1930 von Erwin Schrödinger postuliert, als Ergebnis seiner Analyse von Wellenpaket-Lösungen der Dirac-Gleichung für relativistische Elektronen im Vakuum. In diesem produziert eine Interferenz zwischen dem positiven und dem negativen Energiezustand eine Fluktuation der Position des Elektrons um den Mittelwert mit einer Kreisfrequenz von

$ \omega =2m_{\mathrm {e} }c^{2}/\hbar \approx 1{,}6\cdot 10^{21}\,{\text{s}}^{-1} $

mit

• der Elektronenmasse $ m_{\mathrm {e} } $
• der Lichtgeschwindigkeit $ c $
• dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum $ \hbar $.

Die Zitterbewegung eines freien relativistischen Teilchens wurde nie beobachtet, aber das Verhalten eines solchen Teilchens wurde mit einem eingesperrten Ion simuliert, indem man es in eine Umgebung platzierte, so dass die nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung für das Ion dieselbe mathematische Form wie die Dirac-Gleichung hat (obwohl die physikalische Situation anders ist).

Theorie

Aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung

$ H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t), $

wobei $ H $ der Dirac-Hamiltonoperator für ein Elektron im Vakuum ist

$ H=\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right) $

und $ \psi (\mathbf {x} ,t) $ die Wellenfunktion,

folgt im Heisenberg-Bild, dass jeder Operator Q der folgenden Gleichung gehorcht:

$ -i\hbar {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}(t)=\left[H,Q\right]. $

Speziell ist der zeitabhängige Ortsoperator gegeben durch

$ \hbar {\frac {\mathrm {d} x_{k}}{\mathrm {d} t}}(t)=i\left[H,x_{k}\right]=c\hbar \alpha _{k} $

mit $ \alpha _{k}\equiv \gamma _{0}\gamma _{k} $.

Die obige Gleichung zeigt, dass der Operator $ \alpha _{k} $ als k-te Komponente des „Geschwindigkeitsoperators“ interpretiert werden kann.

Die Zeitabhängigkeit des Geschwindigkeitsoperators ist gegeben durch

$ \hbar {\frac {\mathrm {d} \alpha _{k}}{\mathrm {d} t}}(t)=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2[i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}]=2i[cp_{k}-\alpha _{k}H], $

wobei $ \sigma _{kl}\equiv {\tfrac {i}{2}}[\gamma _{k},\gamma _{l}] $ ist und $ p $ der Impuls.

Weil sowohl $ p_{k} $ als auch $ H $ zeitunabhängig sind, kann die obige Gleichung zweimal integriert werden, um die explizite Zeitabhängigkeit $ x_{k}(t) $ des Ortsoperators zu erhalten. Zuerst:

$ \alpha _{k}(t)=(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})e^{-2iHt/\hbar }+cp_{k}H^{-1} $

Dann:

$ x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\frac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/\hbar }-1). $

Der resultierende Ausdruck besteht aus

• einer Anfangsposition $ x_{k}(0) $
• einem Bewegungsanteil $ c^{2}p_{k}H^{-1}t $ proportional zur Zeit und
• einem unerwarteten Schwingungsanteil („Zitterbewegung“) $ {\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/\hbar }-1) $ mit einer Amplitude, die der Compton-Wellenlänge entspricht.

Interessanterweise verschwindet der Zitterbewegungsterm, wenn man die Erwartungswerte für Wellenpakete nimmt, die vollständig aus Wellen mit positiver Energie (oder vollständig aus Wellen mit negativer Energie) bestehen. Dies kann durch die Foldy-Wouthuysen-Transformation erreicht werden.

Siehe auch

• Casimir-Effekt
• Lamb-Verschiebung

Literatur

• Erwin Schrödinger: Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik. In: Sonderausgabe aus den Sitzungsberichten der Preußischen Akademie der Wissenschaften Phys.-Math. Klasse. Band 24, 1930, ZDB-ID 959457-7, S. 418–428. 
• Erwin Schrödinger: Zur Quantendynamik des Elektrons. In: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse. 1931, S. 63–72. 

Weblinks

• Tobias Brandes: Vorlesungsskript Quantenmechanik II, TU Berlin, WS 2011/12. (pdf) S. 21–25, abgerufen am 3. September 2018. 
• Rainer Scharf: Atomare Zitterpartie. In: pro-physik.de. 7. Januar 2010, abgerufen am 3. September 2018 (Zusammenfassung zur Simulation von eingesperrten Ionen).