Die Zitterbewegung ist eine theoretische, schnelle Bewegung von Elementarteilchen, speziell von Elektronen, die der (relativistischen) Dirac-Gleichung gehorchen.
Die Existenz einer solchen Bewegung wurde 1928 von Gregory Breit und 1930 von Erwin Schrödinger postuliert, als Ergebnis seiner Analyse von Wellenpaket-Lösungen der Dirac-Gleichung für relativistische Elektronen im Vakuum. In diesem produziert eine Interferenz zwischen dem positiven und dem negativen Energiezustand eine Fluktuation der Position des Elektrons um den Mittelwert mit einer Kreisfrequenz von
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mit
- der Elektronenmasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_\mathrm e
- der Lichtgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c
- dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar
.
Die Zitterbewegung eines freien relativistischen Teilchens wurde nie beobachtet, aber das Verhalten eines solchen Teilchens wurde mit einem eingesperrten Ion simuliert, indem man es in eine Umgebung platzierte, so dass die nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung für das Ion dieselbe mathematische Form wie die Dirac-Gleichung hat (obwohl die physikalische Situation anders ist).
Theorie
Aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t),
wobei $ H $ der Dirac-Hamiltonoperator für ein Elektron im Vakuum ist
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und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi (\mathbf{x},t)
die Wellenfunktion,
folgt im Heisenberg-Bild, dass jeder Operator Q der folgenden Gleichung gehorcht:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -i \hbar \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t} (t)= \left[ H, Q \right] .
Speziell ist der zeitabhängige Ortsoperator gegeben durch
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar \frac{\mathrm{d} x_k}{\mathrm{d} t} (t)= i\left[ H, x_k \right] = c \hbar \alpha_k
mit $ \alpha _{k}\equiv \gamma _{0}\gamma _{k} $.
Die obige Gleichung zeigt, dass der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_k
als k-te Komponente des „Geschwindigkeitsoperators“ interpretiert werden kann.
Die Zeitabhängigkeit des Geschwindigkeitsoperators ist gegeben durch
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar \frac{\mathrm{d} \alpha_k}{\mathrm{d} t} (t)= i\left[ H, \alpha_k \right] = 2[i \gamma_k m - \sigma_{kl}p^l] = 2i[cp_k-\alpha_kH],
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{kl} \equiv \tfrac{i}{2}[\gamma_k,\gamma_l]
ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p
der Impuls.
Weil sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_k
als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H
zeitunabhängig sind, kann die obige Gleichung zweimal integriert werden, um die explizite Zeitabhängigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_k(t)
des Ortsoperators zu erhalten. Zuerst:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_k (t) = (\alpha_k (0) - c p_k H^{-1}) e^{-2 i H t / \hbar} + c p_k H^{-1}
Dann:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_k(t) = x_k(0) + c^2 p_k H^{-1} t + \frac{1}{2} i \hbar c H^{-1} (\alpha_k (0) - c p_k H^{-1}) (e^{-2 i H t / \hbar } - 1).
Der resultierende Ausdruck besteht aus
- einer Anfangsposition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_k(0)
- einem Bewegungsanteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c^2 p_k H^{-1} t
proportional zur Zeit und
- einem unerwarteten Schwingungsanteil („Zitterbewegung“) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{1}{2} i \hbar c H^{-1} (\alpha_k (0) - c p_k H^{-1}) (e^{-2 i H t / \hbar } - 1)
mit einer Amplitude, die der Compton-Wellenlänge entspricht.
Interessanterweise verschwindet der Zitterbewegungsterm, wenn man die Erwartungswerte für Wellenpakete nimmt, die vollständig aus Wellen mit positiver Energie (oder vollständig aus Wellen mit negativer Energie) bestehen. Dies kann durch die Foldy-Wouthuysen-Transformation erreicht werden.
Siehe auch
Literatur
- Erwin Schrödinger: Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik. In: Sonderausgabe aus den Sitzungsberichten der Preußischen Akademie der Wissenschaften Phys.-Math. Klasse. Band 24, 1930, ZDB-ID 959457-7, S. 418–428.
- Erwin Schrödinger: Zur Quantendynamik des Elektrons. In: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse. 1931, S. 63–72.
Weblinks