Isentropenexponent: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Februar 2022, 14:57 Uhr

Der Isentropenexponent (auch Adiabatenexponent oder Wärmekapazitätsverhältnis genannt) bezeichnet mit dem Symbol $\kappa$ (Kappa) oder $\gamma$ (Gamma), ist das dimensionslose Verhältnis der Wärmekapazität von Gasen bei konstantem Druck (C_p) zur Wärmekapazität bei konstantem Volumen (C_V):

\kappa ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}

Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung:
n = 0: isobar,
n = 1: isotherm,
n = κ: isentrop,
n = ∞: isochor

Der Quotient $\kappa$ ist eine stark temperaturabhängige Materialeigenschaft realer Gase. Er kann auch aus allen spezifischen - z. B. der massebezogenen oder molaren - Wärmekapazitäten bei konstantem Druck zu konstantem Volumen berechnet werden. Seinen Namen erhielt $\kappa$ als Exponent in der Isentropengleichung oder Adiabatengleichung für ideale Gase:

\ pV^{\kappa }=\mathrm {const.}

Isentrope Zustandsänderungen sind adiabat. Oft sind sie auch reversibel und lassen damit die Entropie konstant. Sie treten z. B. näherungsweise bei großräumigen Luftströmungen auf, weshalb man diese Kennzahl in der Meteorologie auch als Adiabatenexponent, Adiabatenkoeffizient oder Adiabatenindex bezeichnet. In der Technik ist in der Regel eine adiabate Zustandsänderung (z. B. in einer Dampfturbine) nicht reversibel, da Reibungs-, Drossel- und Stoßvorgänge Entropie produzieren (vergl. „Adiabate Maschine“ und „Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik“). Diese Zustandsänderungen lassen sich näherungsweise durch eine Polytrope mit einem Polytropenexponenten n beschreiben, der sich von κ unterscheidet. Die Isentrope ist der Spezialfall einer Polytrope mit $n=\kappa$ (vergl. Bild).

Der Isentropenexponent bestimmt auch die Schallgeschwindigkeit, da die mit dem Schall verbundenen raschen Druck- und Dichteschwankungen näherungsweise isentrop verlaufen. Messen lässt sich der Isentropenexponent mit Hilfe des Rüchardt-Experiments.

Isentropenexponent für Gase bei Normaldruck^[1]
Temp	Gas	κ	Temp	Gas	κ	Temp	Gas	κ
−200 °C	H₂^[2]	1,65	0 °C	Luft trocken	1,40	−180 °C	N₂	1,43
−73 °C		1,44	400 °C		1,37	20 °C		1,40
20 °C		1,41	1000 °C		1,32	500 °C		1,36
1000 °C		1,36	2000 °C		1,30	1000 °C		1,32
2000 °C		1,31	−55 °C	CO₂	1,35	2000 °C		1,30
−250 bis 1500 °C	He	1,67	20 °C		1,29	20 °C	CH₄	1,31
−250 bis 1500 °C	He	1,67	400 °C		1,24	350 °C	CH₄	1,18
100 °C	H₂O	1,33	1000 °C		1,18	20 °C	H₂S	1,33
200 °C		1,32	2000 °C		1,16	500 °C	H₂S	1,25
500 °C		1,28	20 °C	CO	1,40	20 °C	NH₃	1,32
1000 °C		1,23	1000 °C		1,32	450 °C	NH₃	1,20
2000 °C		1,19	2000 °C		1,29	−100 bis 500 °C	Ne, Ar Xe, Kr	1,67
20 °C	NO^[3]	1,39	−180 °C	O₂	1,44	−100 bis 500 °C	Ne, Ar Xe, Kr	1,67
2000 °C	NO^[3]	1,29	20 °C		1,40	20 °C	SO₂	1,28
20 °C	N₂O^[4]	1,28	400 °C		1,34	250 °C	SO₂	1,22
250 °C	N₂O^[4]	1,22	1000 °C		1,31	15 °C	C₂H₆	1,20
20 °C	NO₂^[4]	1,29	2000 °C		1,28	15 °C	C₃H₈	1,13

Isentropenexponent für überkritische Gase bei 200 bar Druck^[1]
Temp	Gas	κ	Temp	Gas	κ	Temp	Gas	κ
126,2 K	N₂	2,07	154,6 K	O₂	2,25	304,1 K	CO₂	2,36
300 K		1,67	300 K		1,77	500 K		1,50
600 K		1,43	600 K		1,41	700 K		1,28
2000 K		1,30	1000 K		1,33	1100 K		1,20
638,9 K	H₂O^*	10,7	5,2 K	He	1,13	126,2 K	Ar	2,07
700 K		1,95	300 K		1,65	300 K		2,23
900 K		1,41	700 K		1,66	500 K		1,81
1200 K		1,28	1500 K		1,66	700 K		1,72
33,15 K	H₂	1,51	132,9 K	CO	2,54	190,6 K	CH₄	2,00
300 K		1,42	300 K		1,69	300 K		1,91
600 K		1,39	400 K		1,53	400 K		1,47
1000 K		1,38	500 K		1,47	600 K		1,24
^* H₂O ist bei 200 bar noch gasförmig und wird erst oberhalb 220,64 bar überkritisch

Gerechnetes Wärmekapazitätsverhältnis

Der Wert des Isentropenexponenten hängt vom Freiheitsgrad der Gasteilchen ab und der Freiheitsgrad eines Gasmoleküls hängt von der Geometrie und der Bindungsstärke der Atome ab. Gasmoleküle mit mehr Atomen besitzen einen höheren Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad setzt sich zusammen aus Translations-, Rotations- und Schwingungs- bzw. Vibrationsfreiheitsgrad. Translation ist bei allen Temperaturen angeregt. Rotation erfolgt schon bei unteren, Vibration linearer Moleküle erfolgt ab mittleren, Vibration starrer Moleküle erst bei höheren Temperaturen. Deshalb nimmt die Wärmekapazität von mehratomigen Gasen bei steigender Temperatur zu. Anders gesagt: mit abnehmender Temperatur „frieren“ immer mehr Freiheitsgrade ein und der Isentropenexponent nimmt zu.

Bei allen Gasen verläuft die isobare Wärmekapazität über einen großen Temperaturbereich parallel mit der isochoren Wärmekapazität. Deshalb bleibt über einen großen Temperaturbereich auch die Gaskonstante (R = C_p(mol) - C_V(mol) = 8,314 J/mol K), also die Differenz zwischen isobarer und isochorer Molwärme gleich.

Der Freiheitsgrad kann näherungsweise wie folgt beschrieben werden:

f=3\cdot N-r

Der Isentropenexponent kann näherungsweise wie folgt beschrieben werden:

\kappa ={\frac {f+2}{f}}

Der Freiheitsgrad f eines Körpers gibt an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten dieser Körper innerhalb eines Koordinatensystems hat. Der einzelne Massepunkt hat 3 Freiheitsgrade, er kann sich entlang der x-, y- und z-Achse im Raum bewegen. Er hat keine Rotationsfreiheit, denn ein Punkt kann sich nicht drehen. Ein System von N Punkten hat 3N Freiheitsgrade. Liegen zwischen den Punkten r starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf 3N – r.^[5] Starre Körper haben gewinkelte Bindungen.

Trockene Luft besteht hauptsächlich aus zweiatomigen Molekülen und hat einen Isentropenexponent von 1,4. Dies entspricht dem theoretischen Wert für 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgraden in der kinetischen Gastheorie, da bei zweiatomigen Molekülen eine Rotation um die Verbindungsachse nicht möglich ist. Wasserstoff (H₂) hat bei ganz tiefen Temperaturen den gleichen Wert wie die einatomigen Edelgase, weil dann selbst die Rotation gestoppt ist. Die Rotation mehratomiger Moleküle und die Schwingungen linearer oder schwach gewinkelter Moleküle sind schon unterhalb Normaltemperatur angeregt, die Schwingungen starrer Moleküle erst oberhalb Normaltemperatur. Bei viel höheren Temperaturen kommt es durch Dissoziation und Ionisation zu noch mehr Freiheitsgraden. In der Atmosphäre kann es bei Expansion und Abkühlung der feuchten Luft zur Kondensation des Wassers kommen. Durch die freiwerdende Kondensationswärme wird der Exponent niedriger.

Isentropenexponent $\kappa$ ; Freiheitsgrad $$ f $$ ; Atome $$ N $$ ;
Atombindungen $$ r $$ ; von Gasen bei Normalbedingung
Gasmolekül	$\kappa ={\frac {f+2}{f}}$	$f=3\cdot N-r$	Beispiele
1-atomig	$1{,}{\overline {6}}={\frac {3+2}{3}}$	$3=3\cdot 1-0$	Helium, Argon
2-atomig	$1{,}4={\frac {5+2}{5}}$	$5=3\cdot 2-1$	N₂, O₂, H₂, CO, NO
3-atomig, starr (gewinkelt)	$1{,}{\overline {3}}={\frac {6+2}{6}}$	$6=3\cdot 3-3$	H₂O-Dampf bei 100 °C, H₂S
3-atomig, nicht starr (linear)	$1{,}29\approx {\frac {7+2}{7}}$	$7=3\cdot 3-2$	CO₂, SO₂, N₂O^[4], NO₂^[4]

Literatur

Alfred Böge: Handbuch Maschinenbau. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1025-0.

Weblinks

Video: Bestimmung von Cp/Cv nach Rüchardt. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2004, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-14879.

Quellen

↑ ^1,0 ^1,1 NIST Standard Reference Database Number 69
↑ Engineering Toolbox: Hochtemperatur-cp-Werte
↑ Springer-Verlag: Stoffwerte und Tabellen
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 Bindungsgeometrie
↑ dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik. Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.

[NIST-1] 1,0 ^1,1 NIST Standard Reference Database Number 69

[2] Engineering Toolbox: Hochtemperatur-cp-Werte

[3] Springer-Verlag: Stoffwerte und Tabellen

[akoci-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 Bindungsgeometrie

[5] dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik. Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.

[1]

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[3]

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[5]

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-[[Datei:Polytrope Zustandsänderung.jpg|mini|hochkant=1.3|Spezialfälle der [[Polytrope Zustandsänderung|polytropen Zustandsänderung]] <br />n = 0: [[Isobare Zustandsänderung|isobar]], n = 1: [[Isotherme Zustandsänderung|isotherm]], n = κ: [[isentrop]], <br /> n = ∞: [[Isochore Zustandsänderung|isochor]]]]
+Der '''Isentropen[[Potenz (Mathematik)|exponent]]''' (auch '''Adiabatenexponent''' oder '''Wärmekapazitätsverhältnis''' genannt) bezeichnet mit dem Symbol [[Kappa|<math>\kappa</math>]]&nbsp;([[Kappa]]) oder [[Gamma|<math>\gamma</math>]]&nbsp;([[Gamma]]), ist das [[dimensionslos]]e Verhältnis der [[Wärmekapazität]] von [[Gas]]en bei konstantem Druck&nbsp;(''C<sub>p</sub>'') zur Wärmekapazität bei konstantem Volumen&nbsp;(''C<sub>V</sub>''):
-Der '''Isentropenexponent''' (auch '''Adiabatenexponent''' genannt), bezeichnet mit dem Symbol [[Kappa|<math>\kappa</math>]] oder [[Gamma|<math>\gamma</math>]], ist das Verhältnis der [[Wärmekapazität]] von [[Gas|Gasen]] bei konstantem Druck (''C<sub>p</sub>'') und bei konstantem Volumen (''C<sub>V</sub>''):
 :<math>\kappa = \frac{C_p}{C_V}</math>
-<math>\kappa</math> ist eine Materialeigenschaft und ergibt sich auch als Quotient der [[Spezifische Wärmekapazität|massebezogenen Wärmekapazität]], wie auch der [[Gaskonstante|molaren Wärmekapazität]]. Seinen Namen erhielt <math>\kappa</math> als Exponent in der [[Isentrop|Isentropengleichung]] oder [[Adiabatengleichung]] für [[Ideales Gas|ideale Gase]]:
+[[Datei:Polytrope Zustandsänderung.jpg|mini|hochkant=1.3|Spezialfälle der [[Polytrope Zustandsänderung|polytropen Zustandsänderung]]:<br />n = 0: [[Isobare Zustandsänderung|isobar]],<br />n = 1: [[Isotherme Zustandsänderung|isotherm]],<br />n = κ: [[isentrop]],<br />n = ∞: [[Isochore Zustandsänderung|isochor]]]]
+Der Quotient <math>\kappa</math> ist eine stark temperaturabhängige Materialeigenschaft [[Reales Gas|realer Gase]]. Er kann auch aus allen spezifischen - [[Spezifische Wärmekapazität|z.&nbsp;B. der massebezogenen oder molaren]] - Wärmekapazitäten bei konstantem Druck zu konstantem Volumen berechnet werden.
+Seinen Namen erhielt <math>\kappa</math> als Exponent in der [[Isentrop]]engleichung oder [[Adiabatengleichung]] für [[Ideales Gas|ideale Gase]]:
 :<math>\ pV^{\kappa} = \mathrm{const.}</math>
-Isentrope Zustandsänderungen sind [[adiabat]] und [[Reversibler Prozess|reversibel]] und lassen damit die [[Entropie]] konstant. Sie treten z.&nbsp;B. näherungsweise bei großräumigen Luftströmungen auf, weshalb man ''κ'' in der Meteorologie auch oft als ''Adiabatenexponent'', ''Adiabatenkoeffizient'' oder ''Adiabatenindex'' bezeichnet. In der Technik ist in der Regel eine adiabate Zustandsänderung (z.&nbsp;B. in einer [[Dampfturbine]]) nicht reversibel, da Reibungs-, Drossel- und Stoßvorgänge Entropie produzieren (vergl. „[[Adiabate Maschine]]“ und „[[Thermodynamik#Zweiter Hauptsatz|Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik]]“). Diese Zustandsänderungen lassen sich näherungsweise durch eine [[Polytrop]]e mit einem Polytropenexponenten ''n'' beschreiben, der sich von ''κ'' unterscheidet. Die Isentrope ist der Spezialfall einer Polytrope mit <math> n=\kappa </math> (vergl. Bild).
+Isentrope Zustandsänderungen sind [[adiabat]]. Oft sind sie auch [[Reversibler Prozess|reversibel]] und lassen damit die [[Entropie]] konstant. Sie treten z.&nbsp;B. näherungsweise bei großräumigen Luftströmungen auf, weshalb man diese Kennzahl in der Meteorologie auch als ''Adiabatenexponent'', ''Adiabatenkoeffizient'' oder ''Adiabatenindex'' bezeichnet. In der Technik ist in der Regel eine adiabate Zustandsänderung (z.&nbsp;B. in einer [[Dampfturbine]]) nicht reversibel, da Reibungs-, Drossel- und Stoßvorgänge Entropie produzieren (vergl. „[[Adiabate Maschine]]“ und „[[Thermodynamik#Zweiter Hauptsatz|Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik]]“). Diese Zustandsänderungen lassen sich näherungsweise durch eine [[Polytrop]]e mit einem Polytropenexponenten ''n'' beschreiben, der sich von ''κ'' unterscheidet. Die Isentrope ist der Spezialfall einer Polytrope mit <math> n=\kappa </math> (vergl. Bild).
+Der Isentropenexponent bestimmt auch die [[Schallgeschwindigkeit#Klassisches ideales Gas|Schallgeschwindigkeit]], da die mit dem Schall verbundenen raschen Druck- und Dichteschwankungen näherungsweise isentrop verlaufen. Messen lässt sich der Isentropenexponent mit Hilfe des [[Rüchardt-Experiment]]s.
 {| class="wikitable float-right"
 |+ Isentropenexponent für Gase bei Normaldruck<ref name="NIST">[http://webbook.nist.gov/chemistry/fluid/ NIST Standard Reference Database Number 69]</ref>
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 ! class="hintergrundfarbe6"| Temp !! class="hintergrundfarbe6" width="50" | Gas !! class="hintergrundfarbe6" | ''κ''
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 |-
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 |-
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+| 400 °C || 1,24 || 350 °C|| 1,18
 |-
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 |-
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 |-
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 |-
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+| 1000 °C||1,23 ||1000 °C||1,32||450 °C||1,20
 |-
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+| 20 °C|| rowspan="2" align="center" |NO<ref>Springer-Verlag: [https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-3-658-03169-5%2F1.pdf Stoffwerte und Tabellen]</ref>||1,39||−180 °C|| rowspan="5" align="center" | O<sub>2</sub>||1,44
 |-
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 |-
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 |-
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 |-
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+| 20 °C || align="center" |NO<sub>2</sub><ref name="akoci"></ref>||1,29||2000 °C||1,28||15 °C|| align="center" | C<sub>3</sub>H<sub>8</sub>|| 1,13
 |}
 {| class="wikitable float-right"
-|+ Isentropenexponent für superkritische Gase bei 200 bar Druck <ref name="NIST">[http://webbook.nist.gov/chemistry/fluid/ NIST Standard Reference Database Number 69]</ref>
+|+Isentropenexponent für überkritische Gase bei 200 bar Druck<ref name="NIST">[http://webbook.nist.gov/chemistry/fluid/ NIST Standard Reference Database Number 69]</ref>
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+! class="hintergrundfarbe6"| Temp !! class="hintergrundfarbe6" width="50" | Gas !! class="hintergrundfarbe6" | ''κ'' !! width="1" rowspan="13" |
-! class="hintergrundfarbe6"|Temp !! class="hintergrundfarbe6" width="50" | Gas !! class="hintergrundfarbe6" | ''κ'' !! width="4" rowspan="18" |
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+|900 K||1,41||700 K||1,66||500 K||1,81
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 |}
-Der Isentropenexponent bestimmt auch die [[Schallgeschwindigkeit#Klassisches ideales Gas|Schallgeschwindigkeit]], da die mit dem Schall verbundenen raschen Druck- und Dichteschwankungen näherungsweise isentrop verlaufen.
-Der Wert des Isentropenexponenten hängt vom [[Freiheitsgrad]] der Gasteilchen ab. Gasmoleküle mit mehr Atomen besitzen einen höheren Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad setzt sich zusammen aus Translations-, Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrad. Translation ist bei allen Temperaturen angeregt, Rotation erst ab mittleren, Vibration erst bei höheren Temperaturen. Anders gesagt: mit abnehmender [[Temperatur]] „frieren“ immer mehr Freiheitsgrade ein. Deshalb weist die Wärmekapazität von mehratomigen Gasen eine starke Temperaturabhängigkeit auf. Auch der Isentropenexponent mehratomiger Gasmoleküle ist stark temperaturabhängig, da die [[Allgemeine Gaskonstante|Gaskonstante]], also die ''Differenz'' zwischen isobarer und isochorer Wärmekapazität bei allen Gasen über einen großen Temperaturbereich konstant bleibt.
+== Gerechnetes Wärmekapazitätsverhältnis ==
-:<math>\kappa = \frac{C_p}{C_V} = \frac{f + 2}{f}</math>
-Die Zahl der [[Freiheitsgrad]]e eines Gasmoleküls ist von der Geometrie und der Bindungsstärke der Atome abhängig.
+Der Wert des Isentropenexponenten hängt vom [[Freiheitsgrad]] der Gasteilchen ab und der Freiheitsgrad eines Gasmoleküls hängt von der Geometrie und der Bindungsstärke der Atome ab. Gasmoleküle mit mehr Atomen besitzen einen höheren Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad setzt sich zusammen aus Translations-, Rotations- und Schwingungs- bzw. Vibrationsfreiheitsgrad. [[Translation (Physik)|Translation]] ist bei allen Temperaturen angeregt. [[Rotation (Physik)|Rotation]] erfolgt schon bei unteren, [[Eigenschwingung|Vibration]] linearer Moleküle erfolgt ab mittleren, Vibration starrer Moleküle erst bei höheren Temperaturen. Deshalb nimmt die Wärmekapazität von mehratomigen Gasen bei steigender Temperatur zu. Anders gesagt: mit abnehmender [[Temperatur]] „frieren“ immer mehr Freiheitsgrade ein und der Isentropenexponent nimmt zu.
-:<math>f = 3 \cdot N - r</math>
-Der Freiheitsgrad eines Körpers gibt an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten dieser Körper innerhalb eines Koordinatensystems hat. Der einzelne Massenpunkt hat 3 Freiheitsgrade, er kann sich entlang der x-, y- und z-Achse im Raum bewegen. Er hat keine Rotationsfreiheitsgrade, denn ein Punkt kann sich nicht drehen. Ein System von N Punkten hat 3N Freiheitsgrade. Liegen zwischen den Punkten r starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf <math>3 \cdot N - r</math>.<ref>''dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik.'' Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.</ref>
+Bei allen Gasen verläuft die ''isobare'' Wärmekapazität über einen großen Temperaturbereich parallel mit der ''isochoren'' Wärmekapazität. Deshalb bleibt über einen großen Temperaturbereich auch die [[Allgemeine Gaskonstante|Gaskonstante]] (R = C<sub>p(mol)</sub> - C<sub>V(mol)</sub> = 8,314 J/mol K), also die ''Differenz'' zwischen isobarer und isochorer [[Molwärme]] gleich.
-Trockene Luft hat einen Isentropenexponent von etwa 1,4. Dies entspricht dem theoretischen Wert für 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgrade, da bei zweiatomigen Molekülen eine Rotation um die Verbindungsachse nicht möglich ist. [[Molekülschwingung|Eigenschwingungen]] werden beim Luftmolekül unter [[Normalbedingungen]] noch nicht angeregt. Bei viel höheren Temperaturen kommt es durch Dissoziation und Ionisation zu noch mehr Freiheitsgraden. Bei feuchter Luft kann es bei Expansion z.&nbsp;B. infolge der Abkühlung zum Wasserausfall kommen: durch die freiwerdende Kondensationswärme wird der Exponent niedriger. Messen lässt sich der Isentropenexponent mit Hilfe des [[Rüchardt-Experiment]]s.
+Der Freiheitsgrad kann näherungsweise wie folgt beschrieben werden:
+:<math>f=3 \cdot N-r</math>
+Der Isentropenexponent kann näherungsweise wie folgt beschrieben werden:
+:<math>\kappa = \frac{f+2}{f}</math>
+Der Freiheitsgrad f eines Körpers gibt an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten dieser Körper innerhalb eines Koordinatensystems hat. Der einzelne [[Massepunkt]] hat 3 Freiheitsgrade, er kann sich entlang der x-, y- und z-Achse im Raum bewegen. Er hat keine Rotationsfreiheit, denn ein Punkt kann sich nicht drehen. Ein System von N Punkten hat 3N Freiheitsgrade. Liegen zwischen den Punkten r starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf 3N – r.<ref>''dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik.'' Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.</ref> Starre Körper haben gewinkelte Bindungen.
+Trockene Luft besteht hauptsächlich aus zweiatomigen Molekülen und hat einen Isentropenexponent von 1,4. Dies entspricht dem theoretischen Wert für 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgraden in der [[Kinetische Gastheorie|kinetischen Gastheorie]], da bei zweiatomigen Molekülen eine Rotation um die Verbindungsachse nicht möglich ist. Wasserstoff (H<sub>2</sub>) hat bei ganz tiefen Temperaturen den gleichen Wert wie die einatomigen Edelgase, weil dann selbst die Rotation gestoppt ist. Die Rotation mehratomiger Moleküle und die Schwingungen linearer oder schwach gewinkelter Moleküle sind schon unterhalb [[Normalbedingungen|Normaltemperatur]] angeregt, die Schwingungen starrer Moleküle erst oberhalb Normaltemperatur. Bei viel höheren Temperaturen kommt es durch Dissoziation und Ionisation zu noch mehr Freiheitsgraden. In der Atmosphäre kann es bei Expansion und Abkühlung der feuchten Luft zur Kondensation des Wassers kommen. Durch die freiwerdende Kondensationswärme wird der Exponent niedriger.
 {| class="wikitable"
-|+ Molare Wärmekapazität <math>C_\mathrm{p(mol)}, C_\mathrm{V(mol)}</math>; Isentropenexponent <math>\kappa</math>; Freiheitsgrad <math>f</math> <br /> von Gasen bei Normalbedingung
+|+ Isentropenexponent <math>\kappa</math>; Freiheitsgrad <math>f</math>; Atome <math>N</math>; <br /> Atombindungen <math>r</math>; von Gasen bei Normalbedingung
 |- class="hintergrundfarbe6"
-!  Molekül  !! <math>C_\mathrm{V(mol)}</math> !! <math>C_\mathrm{p(mol)}</math> !! <math>\kappa=\tfrac{C_p}{C_v}</math> !! <math>f = 3 \cdot N - r</math> !! Beispiele
+! Gasmolekül !! <math>\kappa = \frac{f+2}{f}</math> !! <math>f=3\cdot N-r</math> !! Beispiele
 |-
-| width="130"|1-atomige Gase || <math> \frac{3}{2} \cdot R </math> || <math> \frac{5}{2} \cdot R </math> || <math> \frac{5}{3}= 1{,}\overline 6 </math> || <math>3=3 \cdot 1 - 0 </math> || Helium, Argon
+| 1-atomig || <math>1{,}\overline 6 = \frac{3+2}{3} </math> || <math>3=3\cdot 1-0</math> || Helium, Argon
 |-
-| 2-atomige Gase || <math> \frac{5}{2} \cdot R </math> || <math> \frac{7}{2} \cdot R </math> || <math> \frac{7}{5}=1{,}4 </math> || <math>5=3 \cdot 2-1</math> || Stickstoff, Sauerstoff, <br /> Wasserstoff, Kohlenmonoxid
+| 2-atomig || <math>1{,}4 = \frac{5+2}{5} </math> || <math>5=3\cdot 2-1</math> || N<sub>2</sub>, O<sub>2</sub>, H<sub>2</sub>, CO,<br/> NO
 |-
-| 3-atomige Gase, starres Molekül || <math> \frac{6}{2} \cdot R </math> || <math> \frac{8}{2} \cdot  R </math> || <math> \frac{8}{6}= 1{,}\overline 3 </math> || <math>6=3 \cdot 3 - 3</math> || Wasserdampf bei 373,124 K, Schwefelwasserstoff
+| 3-atomig, starr <br/>(gewinkelt) || <math>1{,}\overline 3=\frac{6+2}{6}</math> || <math>6=3 \cdot 3-3</math> || H<sub>2</sub>O-Dampf bei<br/> 100&nbsp;°C, H<sub>2</sub>S
+|-
+| 3-atomig, nicht starr<br/> (linear) || <math>1{,}29 \approx \frac{7+2}{7}</math>|| <math>7=3 \cdot 3-2</math> || CO<sub>2</sub>, SO<sub>2</sub>,<br/> N<sub>2</sub>O<ref name="akoci"></ref>, NO<sub>2</sub><ref name="akoci"></ref>
 |-
-| 3-atomige Gase,<br />nicht starres Molekül || <math> \frac{7}{2} \cdot R </math> || <math> \frac{9}{2} \cdot  R </math> ||style="text-align:center"| <math> \frac{9}{7}\approx 1{,}29 </math>|| <math>7=3 \cdot 3 - 2</math> || Kohlendioxid, Schwefeldioxid, Stickoxide
 |}
-:<math>R = C_\mathrm{p(mol)} - C_\mathrm{V(mol)}</math>; ([[Gaskonstante]] = 8,314 J/molK)
 == Literatur ==