imported>Meier99 |
imported>Qcomp (unnötig wortreich; ist auch nicht "rein logisch" sondern ein Resultat der klassischen Physik; Die letzte Textänderung von 2003:CA:1717:5BBF:D501:53E:150A:E987 wurde verworfen und die Version 205948977 von Orthographus wiederhergestellt.) |
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==Mathematischer Beweis== | ==Mathematischer Beweis== | ||
Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit [[Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über | Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit [[Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über | ||
<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet. <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert. | <math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet. <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert. | ||
Trotzdem ist die [[Zustandssumme]] eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] klassisch über den kanonischen Impuls definiert: | Trotzdem ist die [[Zustandssumme]] eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] klassisch über den kanonischen Impuls definiert: | ||
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Da diese nun nicht mehr vom Vektorpotential <math>\mathbf A</math> und somit auch nicht vom externen Magnetfeld <math> \mathbf B</math> abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung, | Da diese nun nicht mehr vom Vektorpotential <math>\mathbf A</math> und somit auch nicht vom externen Magnetfeld <math> \mathbf B</math> abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung, | ||
:<math>\mathbf M = - \frac{\partial F}{\partial \mathbf B} \equiv 0\,,</math> wobei <math>F = - k_B T \ln(Z)</math> die freie Energie ist | :<math>\mathbf M = - \frac{\partial F}{\partial \mathbf B} \equiv 0\,,</math> wobei <math>F = - k_B T \ln(Z)</math> die freie Energie ist. | ||
==Abweichung in der Quantenmechanik== | == Abweichung in der Quantenmechanik == | ||
In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van Leeuven-Theorem nicht mehr, weil der [[Spin]] des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang <math>E_{kin}=\frac{m}{2}v_i^2 | In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van Leeuven-Theorem nicht mehr, weil der [[Spin]] des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang <math>E_{kin} = \frac{m}{2}v_i^2 = \frac{\mathrm p_i'^2}{2m} \, ,</math> also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom [[Vektorpotential]], in der Quantenmechanik nicht mehr. | ||
Stattdessen hängt der [[Hamiltonoperator]] explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. [[Ferromagnetismus]] von bestimmten Festkörpern und [[Paramagnetismus]] in bestimmten Molekülen, zustande kommen können. | |||
==Einzelnachweise und Fußnoten== | ==Einzelnachweise und Fußnoten== | ||
Das Bohr-van-Leeuwen-Theorem ist ein Theorem aus dem Bereich der Festkörperphysik und statistischen Physik. Es besagt, dass bei Anwendung der klassischen Statistik die Magnetisierung im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt.
Die Magnetisierung (Anzahl magnetischer Momente pro Einheitsvolumen) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung (Lorentzkraft) exakt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, der Betrag bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit auch die Magnetisierung.
Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung $ q $ bzw. $ q_{i} $ in Magnetfeldern $ \mathbf {B} _{i} $ mit Vektorpotential $ \mathbf {A} _{i} $ ist die Hamiltonfunktion definiert über $ H\{(\mathbf {p} _{i}-{\frac {q_{i}}{c}}\mathbf {A} _{i}(\mathbf {r} _{i},t),\mathbf {r} _{i})\} $ [1] . Dabei stellt das erste Argument den sog. kanonischen Impuls $ \mathbf {p} _{i}=m\mathbf {v} _{i}-{\frac {q_{i}}{c}}\mathbf {A} _{i} $ dar, während $ m\mathbf {v} _{i} $ den kinetischen Impuls bildet. $ {\frac {m}{2}}\cdot \mathbf {v} _{i}^{2} $ ist die kinetische Energie, während $ \mathbf {B} _{i}={\rm {{rot\,\,}\mathbf {A} _{i}}} $ die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential $ \mathbf {A} _{i} $ des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu $ m\cdot \mathbf {v} _{i} $ nicht eindeutig, sondern man kann zu $ \mathbf {A} _{i} $ ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich $ \mathbf {B} _{i} $ ändert.
Trotzdem ist die Zustandssumme eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der statistischen Physik klassisch über den kanonischen Impuls definiert:
wobei dies in drei Dimensionen behandelt wird.
Nun geht man zum kinetischen Impuls über, indem man substituiert: $ \mathbf {p} _{i}\equiv \mathbf {p} _{i}'+{\frac {q_{i}}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i}) $. Da alle Impulse $ \mathbf {p} _{i}' $ über den gesamten dreidimensionalen Raum integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu $ Z={\frac {1}{h^{3N}N!}}\int _{\mathbb {R} ^{3N}}\mathrm {d} ^{3N}p'\int _{V^{N}}\mathrm {d} ^{3N}r\,\mathrm {e} ^{-\beta H\{(\mathbf {p} _{i}',\mathbf {r} _{i})\}} $ Da diese nun nicht mehr vom Vektorpotential $ \mathbf {A} $ und somit auch nicht vom externen Magnetfeld $ \mathbf {B} $ abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung,
In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van Leeuven-Theorem nicht mehr, weil der Spin des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang $ E_{kin}={\frac {m}{2}}v_{i}^{2}={\frac {\mathrm {p} _{i}'^{2}}{2m}}\,, $ also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom Vektorpotential, in der Quantenmechanik nicht mehr.
Stattdessen hängt der Hamiltonoperator explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. Ferromagnetismus von bestimmten Festkörpern und Paramagnetismus in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.