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'''Chiralität''' (''Händigkeit'', [[Kunstwort]], abgeleitet von [[griechische Sprache|griechisch]] ''χειρ~, ch[e]ir~ - hand~''), bezeichnet in der Physik ein abstraktes Konzept im Rahmen der [[Spezielle Relativitätstheorie|relativistischen]] [[Quantenmechanik]] und der [[Quantenfeldtheorie]]. | |||
Die Chiralität eines Teilchens ist entscheidend bei Prozessen der [[schwache Wechselwirkung|schwachen Wechselwirkung]], da [[W-Boson]]en nur an Teilchen mit negativer (linkshändiger) Chiralität und an [[Antiteilchen]] mit positiver (rechtshändiger) Chiralität koppeln. | |||
Die Chiralität ist zu unterscheiden von der [[Helizität]]. Die Chiralität physikalischer Größen lässt sich im Gegensatz zur [[Chiralität (Chemie)|Chiralität in der Chemie]] auch ''nicht'' durch eine [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] am ebenen Spiegel veranschaulichen. Stattdessen beschreibt sie die Zerlegung von [[Dirac-Spinor]]en in [[orthogonal]]e Zustände, die unter [[Parität (Physik)|Paritäts]]<nowiki/>operationen ineinander übergehen. | |||
== Definition == | == Definition == | ||
Die fünfte [[Gamma-Matrix]] <math> \gamma^5 = \mathrm i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 </math> heißt ''Chiralitätsoperator''; er ist [[hermitesch]] und [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]]. Seine [[Eigenwert]]e sind daher <math> \pm 1</math> | Die fünfte [[Gamma-Matrix]] <math> \gamma^5 = \mathrm i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 </math> heißt ''Chiralitätsoperator''; er ist [[Hermitescher Operator|hermitesch]] und [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]]. Seine [[Eigenwert]]e sind daher <math> \pm 1</math>: | ||
* den zum Eigenwert +1 gehörigen [[Eigenzustand]] nennt man den Zustand positiver/rechtshändiger Chiralität | |||
* den zum Eigenwert −1 gehörigen Eigenzustand nennt man den Zustand negativer/linkshändiger Chiralität. | |||
=== Masselose Fermionen === | === Masselose Fermionen === | ||
Aus der [[Dirac-Gleichung]] lässt sich im Grenzfall masseloser [[Fermionen]] wie [[Neutrinos]]<ref>Im Rahmen des [[Standardmodell]]s in ursprünglicher Fassung sind Neutrinos masselos. Experimente zur [[Neutrinooszillation]] haben gezeigt, dass sie eine nichtverschwindende Masse besitzen; die Beschreibung von Neutrinos als massive Objekte bedarf jedoch [[Standardmodell#Physik jenseits des Standardmodells|weiterführender physikalischer Modelle]].</ref> die [[Weyl-Gleichung]] <math> \mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu \psi= 0 </math> erhalten. Im Rahmen der Weyl-Gleichung bietet es sich an, die Dirac-Matrizen nicht in Dirac-, sondern in Weyl-Darstellung zu notieren, sodass | Aus der [[Dirac-Gleichung]] lässt sich im Grenzfall masseloser [[Fermionen]] wie [[Neutrinos]]<ref>Im Rahmen des [[Standardmodell]]s in ursprünglicher Fassung sind Neutrinos masselos. Experimente zur [[Neutrinooszillation]] haben gezeigt, dass sie eine nichtverschwindende Masse besitzen; die Beschreibung von Neutrinos als massive Objekte bedarf jedoch [[Standardmodell#Physik jenseits des Standardmodells|weiterführender physikalischer Modelle]].</ref> die [[Weyl-Gleichung]] <math>\mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu \psi = 0</math> erhalten. Im Rahmen der Weyl-Gleichung bietet es sich an, die Dirac-Matrizen nicht in [[Dirac-Matrizen #Dirac-Darstellung|Dirac-]], sondern in [[Dirac-Matrizen #Weyl-Darstellung|Weyl-Darstellung]] zu notieren, sodass auf der Nichtdiagonalen nur [[Blockmatrix|Blockmatrizen]] auftreten. Durch das Fehlen des Masseterms entkoppeln somit die vier Komponenten der Dirac-Spinoren zu zwei unabhängigen Zweierspinoren: | ||
:<math>\partial_0 \begin{pmatrix} \psi_L\\ \psi_R \end{pmatrix} = - \mathrm i \vec \sigma \cdot \vec \nabla \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0& - I_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_L\\ \psi_R \end{pmatrix} </math>. | :<math>\partial_0 \begin{pmatrix} \psi_L\\ \psi_R \end{pmatrix} = - \mathrm i \vec \sigma \cdot \vec \nabla \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0& - I_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_L\\ \psi_R \end{pmatrix}</math>. | ||
Der Chiralitätsoperator kommutiert mit dem Weyl-Hamiltonoperator, sodass ein Satz gemeinsamer Energie- und Chiralitäts-Eigenzustände gefunden werden kann. Aufgrund der Diagonalität des Chiralitätsoperators in Weyl-Darstellung | Der Chiralitätsoperator [[Kommutativgesetz|kommutiert]] mit dem Weyl-[[Hamiltonoperator]], sodass ein Satz gemeinsamer Energie- und Chiralitäts-[[Eigenzustand|Eigenzustände]] gefunden werden kann. Aufgrund der Diagonalität des Chiralitätsoperators in Weyl-Darstellung | ||
:<math> \gamma^5 = \begin{pmatrix} - I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix} </math>, | |||
folgt direkt, dass der obere Zweierspinor <math> \psi_\text{L} </math> als linkshändiger und der untere Spinor <math> \psi_\text{R} </math> als rechtshändiger Anteil gedeutet werden kann. Da Neutrinos nur schwach wechselwirken, sind rechtshändige Neutrinos bzw. linkshändige Antineutrinos | :<math>\gamma^5 = \begin{pmatrix} - I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}</math>, | ||
folgt direkt, dass der obere Zweierspinor <math>\psi_\text{L}</math> als linkshändiger und der untere Spinor <math>\psi_\text{R}</math> als rechtshändiger Anteil gedeutet werden kann. Da Neutrinos nur schwach wechselwirken, sind rechtshändige Neutrinos bzw. linkshändige Antineutrinos [[hypothetisch]]e [[steriles Neutrino|sterile Teilchen]]. Im Rahmen des [[Standardmodell]]s dagegen sind alle Neutrinos negativer Chiralität und Antineutrinos positiver Chiralität. | |||
=== Massebehaftete Fermionen === | === Massebehaftete Fermionen === | ||
Da der Dirac-Hamiltonoperator einen Masseterm besitzt, kommutiert er nicht mit dem Chiralitätsoperator; es lassen sich daher keine gemeinsamen Eigenzustände konstruieren. Insbesondere folgt daraus auch, dass die Chiralität eines massiven Objektes keine Erhaltungsgröße darstellt, da der Chiralitätsoperator auch nicht mit dem [[Zeitentwicklungsoperator]] als Exponential des Hamiltonoperators kommutiert. | Da der Dirac-Hamiltonoperator einen Masseterm besitzt, kommutiert er ''nicht'' mit dem Chiralitätsoperator; es lassen sich daher keine gemeinsamen Eigenzustände konstruieren. Insbesondere folgt daraus auch, dass die Chiralität eines massiven Objektes ''keine'' [[Erhaltungsgröße]] darstellt, da der Chiralitätsoperator auch nicht mit dem [[Zeitentwicklungsoperator]] als Exponential des Hamiltonoperators kommutiert. | ||
Aus der Eigenschaft des Chiralitätsoperators bzw. der fünften Gamma-Matrix, ihr Selbstinverses zu sein, folgt jedoch, dass die Operatoren <math>P_\text{R} = \frac{1 + \gamma^5}2</math> und <math>P_\text{L} = \frac{1 - \gamma^5}2</math> einen vollständigen Satz von [[Projektion (Lineare Algebra)|Projektions]]<nowiki/>operatoren bilden. Sie projizieren die Anteile positiver bzw. negativer Chiralität aus dem Dirac-Spinor hinaus: | |||
:<math>\gamma^5 P_\text{R/L} \psi \equiv \gamma^5 \psi_\text{R/L} = \pm \psi_\text{R/L}</math>. | |||
Auf diese Weise kann jeder Dirac-Spinor in einen Anteil rechts- beziehungsweise linkshändiger Chiralität zerlegt werden. | |||
== Chiralität und schwache Wechselwirkung == | == Chiralität und schwache Wechselwirkung == | ||
In der [[schwache Wechselwirkung|schwachen Wechselwirkung]] spielt das Konzept der Chiralität eine entscheidende Rolle. Im Rahmen der historischen [[V-A-Theorie]] projizieren die geladenen Ströme der schwachen Wechselwirkung nur den linkshändigen Anteil der | In der [[schwache Wechselwirkung|schwachen Wechselwirkung]] spielt das Konzept der Chiralität eine entscheidende Rolle. Im Rahmen der historischen [[V-A-Theorie]] projizieren die [[Schwache_Wechselwirkung #Geladene_Ströme|geladenen Ströme]] der schwachen Wechselwirkung nur den linkshändigen Anteil der [[Fermion]]en heraus, sodass nur dieser an der Wechselwirkung teilhat. | ||
In der [[elektroschwache Wechselwirkung|Glashow-Salam-Weinberg-Theorie der elektroschwachen Vereinigung]] werden die linkshändigen Anteile einer Teilchengeneration zu | In der [[elektroschwache Wechselwirkung|Glashow-Salam-Weinberg-Theorie der elektroschwachen Vereinigung]] werden die linkshändigen Anteile einer [[Generation (Teilchenphysik)|Teilchengeneration]] zu [[Dublett]]s unter dem [[schwacher Isospin|schwachen Isospin]] zusammengefasst (z. B. <math>(\nu_e, e)_L</math> bzw. <math>(u, d)_L</math>), während die rechtshändigen Anteile als [[Singulett]]s betrachtet werden (<math>e_R, u_R, d_R</math>). Dadurch wirkt die [[kovariante Ableitung]] unterschiedlich auf die links- bzw. rechtshändigen Komponenten, sodass | ||
* die geladenen schwachen Ströme in Form der [[W-Boson]]en nur auf die linkshändigen Anteile wirken | |||
* der [[Schwache_Wechselwirkung #Neutrale_Ströme|neutrale schwache Strom]] in Form des [[Z-Boson]]s an rechts- und linkshändige Anteile unterschiedlich stark koppelt | |||
* der elektromagnetische Strom in Form des [[Photon]]s rechts- und linkshändige Anteile nicht unterscheidet. | |||
== Zusammenhang mit anderen Konzepten == | == Zusammenhang mit anderen Konzepten == | ||
=== Helizität === | === Helizität === | ||
{{Hauptartikel|Helizität}} | {{Hauptartikel|Helizität}} | ||
Der Helizitätsoperator betrachtet die Projektion des | Der Helizitätsoperator betrachtet die Projektion des [[Spin]]s in Bewegungsrichtung eines Teilchens und ist daher im Gegensatz zum Chiralitätsoperator ''nicht'' [[Lorentz-Transformation #Lorentz-Invarianz|lorentzinvariant]]. Im Gegensatz zum Chiralitätsoperator kommutiert der Helizitätsoperator jedoch mit dem Dirac-[[Hamiltonoperator]], sodass die Helizität eine [[Erhaltungsgröße]] darstellt. | ||
Im Falle masseloser Fermionen stimmen Helizität und Chiralität bis auf einen (Spin-) Faktor überein. | Im Falle masseloser Fermionen stimmen Helizität und Chiralität bis auf einen (Spin-)Faktor überein. | ||
=== CP-Invarianz === | === CP-Invarianz === | ||
Die Chiralität von Teilchen ist aufgrund der Tatsache, dass der Chiralitätsoperator mit den Gamma-Matrizen antikommutiert, nicht invariant unter '''P'''aritätsoperationen <math> \mathcal P </math>: | Die Chiralität von Teilchen ist aufgrund der Tatsache, dass der Chiralitätsoperator mit den Gamma-Matrizen antikommutiert, ''nicht'' invariant unter '''P'''aritätsoperationen <math> \mathcal P </math> ([[Paritätsverletzung]]): | ||
:<math> \mathcal P \psi_\text{R/L}(x) = \gamma^0 \frac{1\pm \gamma^5}{2} \psi(\mathcal P x) = \frac{1 \mp \gamma^5}{2} \gamma^0\psi(\mathcal P x) = (\mathcal P \psi(x))_\text{L/R} </math> | :<math> \mathcal P \psi_\text{R/L}(x) = \gamma^0 \frac{1\pm \gamma^5}{2} \psi(\mathcal P x) = \frac{1 \mp \gamma^5}{2} \gamma^0\psi(\mathcal P x) = (\mathcal P \psi(x))_\text{L/R} </math> | ||
Ebenso ändert die [[Ladungskonjugation]] ('''C'''harge conjugation) <math> \mathcal C </math> die Chiralität, da der Chiralitätsoperator zudem gleich seines komplex Konjugierten ist: | |||
Ebenso ändert die [[Ladungskonjugation]] ('''C'''harge conjugation) <math> \mathcal C </math> die Chiralität, da der Chiralitätsoperator zudem gleich seines [[Komplex konjugiert|komplex Konjugierten]] ist: | |||
:<math> \mathcal C \psi_\text{R/L}(x) = \mathrm i \gamma^2 \frac{1\pm \gamma^{5^*}}{2} \psi^*(x) = \frac{1\mp\gamma^{5}}{2} \mathrm i \gamma^2 \psi^*(x) = (\mathcal C \psi(x))_\text{L/R}</math> | :<math> \mathcal C \psi_\text{R/L}(x) = \mathrm i \gamma^2 \frac{1\pm \gamma^{5^*}}{2} \psi^*(x) = \frac{1\mp\gamma^{5}}{2} \mathrm i \gamma^2 \psi^*(x) = (\mathcal C \psi(x))_\text{L/R}</math> | ||
Da somit Paritätsoperation und Ladungskonjugation gleichermaßen die Chiralität umkehren, bleibt die Chiralität unter einer Nacheinanderausführung | |||
Da somit Paritätsoperation und Ladungskonjugation gleichermaßen die Chiralität umkehren, bleibt die Chiralität unter einer Nacheinanderausführung beider Operationen erhalten. Diesen Fakt bezeichnet man als [[CP-Invarianz]]. | |||
== Einzelnachweise, Anmerkungen == | == Einzelnachweise, Anmerkungen == | ||
<references /> | <references /> | ||
== Weblinks == | == Weblinks == | ||
Chiralität (Händigkeit, Kunstwort, abgeleitet von griechisch χειρ~, ch[e]ir~ - hand~), bezeichnet in der Physik ein abstraktes Konzept im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie.
Die Chiralität eines Teilchens ist entscheidend bei Prozessen der schwachen Wechselwirkung, da W-Bosonen nur an Teilchen mit negativer (linkshändiger) Chiralität und an Antiteilchen mit positiver (rechtshändiger) Chiralität koppeln.
Die Chiralität ist zu unterscheiden von der Helizität. Die Chiralität physikalischer Größen lässt sich im Gegensatz zur Chiralität in der Chemie auch nicht durch eine Spiegelung am ebenen Spiegel veranschaulichen. Stattdessen beschreibt sie die Zerlegung von Dirac-Spinoren in orthogonale Zustände, die unter Paritätsoperationen ineinander übergehen.
Die fünfte Gamma-Matrix $ \gamma ^{5}=\mathrm {i} \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3} $ heißt Chiralitätsoperator; er ist hermitesch und selbstinvers. Seine Eigenwerte sind daher $ \pm 1 $:
Aus der Dirac-Gleichung lässt sich im Grenzfall masseloser Fermionen wie Neutrinos[1] die Weyl-Gleichung $ \mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0 $ erhalten. Im Rahmen der Weyl-Gleichung bietet es sich an, die Dirac-Matrizen nicht in Dirac-, sondern in Weyl-Darstellung zu notieren, sodass auf der Nichtdiagonalen nur Blockmatrizen auftreten. Durch das Fehlen des Masseterms entkoppeln somit die vier Komponenten der Dirac-Spinoren zu zwei unabhängigen Zweierspinoren:
Der Chiralitätsoperator kommutiert mit dem Weyl-Hamiltonoperator, sodass ein Satz gemeinsamer Energie- und Chiralitäts-Eigenzustände gefunden werden kann. Aufgrund der Diagonalität des Chiralitätsoperators in Weyl-Darstellung
folgt direkt, dass der obere Zweierspinor $ \psi _{\text{L}} $ als linkshändiger und der untere Spinor $ \psi _{\text{R}} $ als rechtshändiger Anteil gedeutet werden kann. Da Neutrinos nur schwach wechselwirken, sind rechtshändige Neutrinos bzw. linkshändige Antineutrinos hypothetische sterile Teilchen. Im Rahmen des Standardmodells dagegen sind alle Neutrinos negativer Chiralität und Antineutrinos positiver Chiralität.
Da der Dirac-Hamiltonoperator einen Masseterm besitzt, kommutiert er nicht mit dem Chiralitätsoperator; es lassen sich daher keine gemeinsamen Eigenzustände konstruieren. Insbesondere folgt daraus auch, dass die Chiralität eines massiven Objektes keine Erhaltungsgröße darstellt, da der Chiralitätsoperator auch nicht mit dem Zeitentwicklungsoperator als Exponential des Hamiltonoperators kommutiert.
Aus der Eigenschaft des Chiralitätsoperators bzw. der fünften Gamma-Matrix, ihr Selbstinverses zu sein, folgt jedoch, dass die Operatoren $ P_{\text{R}}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}} $ und $ P_{\text{L}}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}} $ einen vollständigen Satz von Projektionsoperatoren bilden. Sie projizieren die Anteile positiver bzw. negativer Chiralität aus dem Dirac-Spinor hinaus:
Auf diese Weise kann jeder Dirac-Spinor in einen Anteil rechts- beziehungsweise linkshändiger Chiralität zerlegt werden.
In der schwachen Wechselwirkung spielt das Konzept der Chiralität eine entscheidende Rolle. Im Rahmen der historischen V-A-Theorie projizieren die geladenen Ströme der schwachen Wechselwirkung nur den linkshändigen Anteil der Fermionen heraus, sodass nur dieser an der Wechselwirkung teilhat.
In der Glashow-Salam-Weinberg-Theorie der elektroschwachen Vereinigung werden die linkshändigen Anteile einer Teilchengeneration zu Dubletts unter dem schwachen Isospin zusammengefasst (z. B. $ (\nu _{e},e)_{L} $ bzw. $ (u,d)_{L} $), während die rechtshändigen Anteile als Singuletts betrachtet werden ($ e_{R},u_{R},d_{R} $). Dadurch wirkt die kovariante Ableitung unterschiedlich auf die links- bzw. rechtshändigen Komponenten, sodass
Der Helizitätsoperator betrachtet die Projektion des Spins in Bewegungsrichtung eines Teilchens und ist daher im Gegensatz zum Chiralitätsoperator nicht lorentzinvariant. Im Gegensatz zum Chiralitätsoperator kommutiert der Helizitätsoperator jedoch mit dem Dirac-Hamiltonoperator, sodass die Helizität eine Erhaltungsgröße darstellt.
Im Falle masseloser Fermionen stimmen Helizität und Chiralität bis auf einen (Spin-)Faktor überein.
Die Chiralität von Teilchen ist aufgrund der Tatsache, dass der Chiralitätsoperator mit den Gamma-Matrizen antikommutiert, nicht invariant unter Paritätsoperationen $ {\mathcal {P}} $ (Paritätsverletzung):
Ebenso ändert die Ladungskonjugation (Charge conjugation) $ {\mathcal {C}} $ die Chiralität, da der Chiralitätsoperator zudem gleich seines komplex Konjugierten ist:
Da somit Paritätsoperation und Ladungskonjugation gleichermaßen die Chiralität umkehren, bleibt die Chiralität unter einer Nacheinanderausführung beider Operationen erhalten. Diesen Fakt bezeichnet man als CP-Invarianz.