Lagrangesche Betrachtungsweise: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. Februar 2022, 11:16 Uhr

Der rote Punkt zeigt einen möglichen Standpunkt für die Lagrangesche Betrachtungsweise einer sich in einem Raum (schwarzes Gitter) bewegenden Gummihaut (grau)

Die Lagrangesche Betrachtungsweise bezeichnet eine spezielle Perspektive bei der Beobachtung einer Bewegung eines Körpers, stellt also einen bestimmten Beobachterstandpunkt dar. Bei der lagrangeschen Betrachtungsweise oder im Lagrange-Bild wird die Bewegung des Körpers von einem seiner materiellen Punkte (Partikel) aus analysiert, weshalb diese Betrachtungsweise auch materielle Betrachtungsweise genannt wird.

Beispielsweise würde eine frei mit dem Wasser mitschwimmende Boje in einem Fluss die Strömung in der Lagrangeschen Betrachtungsweise wahrnehmen. Ein Beispiel aus der Festkörpermechanik zeigt die Abbildung rechts. Hier wird danach gefragt, welche Bedingungen, z. B. welcher Druck oder welche Temperatur, in einem bestimmten Partikel vorliegen. Die Lagrangesche Betrachtungsweise wird von der Festkörpermechanik bei kleinen bis nicht zu großen Verformungen benutzt.

Die Lagrangesche Betrachtungsweise wurde von Leonhard Euler 1762 eingeführt.^[1]

Beschreibung

Im Lagrange-Bild steht der Beobachter einer Bewegung an einem festen materiellen Punkt oder Partikel. Indem alle Raumpunkte, die ein Partikel mit der Zeit passiert, markiert werden, entsteht eine Bahnlinie, die also mit der Lagrangeschen Betrachtungsweise assoziiert ist.

In der Lagrangeschen Betrachtungsweise werden alle physikalischen Größen dargestellt bezüglich der Ausgangskonfiguration, die den Körper für Berechnungen zeitlich fixiert abbildet:

Wenn immer dieselbe Ausgangskonfiguration benutzt wird, wird von der totalen Lagrangeschen Betrachtungsweise gesprochen (engl. total lagrange),
andernfalls von der aktualisierten Lagrangeschen Betrachtungsweise (engl. updated lagrange).

Die mit der Lagrangeschen Betrachtungsweise abgeleiteten Gleichungen liegen dann in der Lagrangeschen Fassung oder Lagrangeschen Darstellung vor.

In den Gleichungen der Kontinuumsmechanik werden die auf die Ausgangskonfiguration bezogenen Größen zumeist mit Großbuchstaben geschrieben oder mit dem Index ...₀ versehen.

Vorteile

Weil bei der Lagrangeschen Betrachtungsweise die physikalischen Größen am Partikel vorliegen, besitzt deren Zeitableitung keinen konvektiven Anteil und ist leicht zu berechnen. Ein Massentransport über die Grenze des Körpers kann nicht stattfinden, so dass die Massenbilanz ebenso wie die anderen Bilanzgleichungen einfach zu formulieren sind.

Viele der auf die Ausgangskonfiguration bezogenen Spannungs- und Verzerrungstensoren sind wie ihre Zeitableitungen objektiv.

Die Angabe von Nebenbedingungen an freien Flächen bereitet keine Schwierigkeiten. Bei kleinen Deformationen und linearem Materialverhalten, was in vielen, vor allem technischen, Fällen vorliegt, vereinfachen sich die Gleichungen derart, dass für viele wichtige Probleme analytische Lösungen vorliegen oder herleitbar sind.

Nachteile

Wegen des Bezuges zur Ausgangskonfiguration bereiten große Deformationen, z. B. bei Umformprozessen, erhebliche numerische Schwierigkeiten. Die mit großen Deformationen einhergehende Änderung der Eigenschaften eines Körpers, z. B. bei einer Einschnürung, bewirken geometrisch nichtlineare Effekte, die den Rechenaufwand um ein Vielfaches gegenüber einer geometrisch linearen erhöhen.

Die Inkompressibilität eines Materials führt zu zusätzlichen Schwierigkeiten.

Zusammenfassung

Die Eigenschaften der Lagrangeschen Betrachtungsweise sind nochmal in der Tabelle zusammengestellt.

Eigenschaft	Belegung
Namensgeber	Joseph-Louis Lagrange
Urheber^[1]	Leonhard Euler (1762)
Beobachterstandort	Materieller Punkt
Anwendung	Festkörpermechanik bei nicht zu großen Verformungen
Visualisierung	Bahnlinie
Ursache der kinematischen Nichtlinearität	Formänderungen des Körpers (geometrische Nichtlinearität)
Zeitableitung	Partielle Ableitung, enthält keinen konvektiven Anteil
Aufwand für Bilanzen von Feldgrößen	gering
Zugeordnete Konfiguration	Ausgangs- und/oder Referenzkonfiguration
Bezeichnung der Variablen in der Kontinuumsmechanik	Großbuchstaben oder Index null
Kinematische Unbekannte	Verschiebungen
Tauglichkeit für Inkompressibilität	eingeschränkt
Tauglichkeit für Randbedingungen an freien Flächen	hoch

Siehe auch

Fußnoten

↑ ^1,0 ^1,1 C. Truesdell: A First Course in Rational Continuum Mechanics. Academic Press, 1977, ISBN 0-12-701300-8.

Literatur

H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.

[truesdell-1] 1,0 ^1,1 C. Truesdell: A First Course in Rational Continuum Mechanics. Academic Press, 1977, ISBN 0-12-701300-8.

[1]

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-[[Datei:AnimLagrange.gif|mini|Der rote Punkt zeigt einen möglichen Standpunkt für die lagrangesche Betrachtungsweise einer sich in einem Raum (schwarzes Gitter) bewegenden Gummihaut (grau)]]
+[[Datei:AnimLagrange.gif|mini|Der rote Punkt zeigt einen möglichen Standpunkt für die Lagrangesche Betrachtungsweise einer sich in einem Raum (schwarzes Gitter) bewegenden Gummihaut (grau)]]
-Die '''lagrangesche Betrachtungsweise''' bezeichnet eine spezielle Perspektive bei der Beobachtung einer Bewegung eines [[Körper (Physik)|Körpers]], stellt also einen bestimmten Beobachterstandpunkt dar. Bei der lagrangeschen Betrachtungsweise oder im ''Lagrange-Bild'' wird die Bewegung des Körpers von einem seiner materiellen Punkte (Partikel) aus analysiert, weshalb diese Betrachtungsweise auch ''materiell'' genannt wird. Beispielsweise würde eine frei mit dem Wasser mit schwimmende Boje in einem Fluss die Strömung in der lagrangeschen Betrachtungsweise wahrnehmen. Ein Beispiel aus der [[Mechanik fester Körper|Festkörpermechanik]] zeigt die Abbildung rechts. Hier wird also danach gefragt, welche Bedingungen, z.&nbsp;B. welcher Druck oder welche Temperatur, in einem bestimmten Partikel vorliegen. Die lagrangesche Betrachtungsweise wird von der Festkörpermechanik bei kleinen bis nicht zu großen Verformungen benutzt.
+Die '''Lagrangesche Betrachtungsweise''' bezeichnet eine spezielle Perspektive bei der Beobachtung einer Bewegung eines [[Körper (Physik)|Körpers]], stellt also einen bestimmten Beobachterstandpunkt dar. Bei der lagrangeschen Betrachtungsweise oder im '''Lagrange-Bild''' wird die Bewegung des Körpers von einem seiner materiellen Punkte (Partikel) aus analysiert, weshalb diese Betrachtungsweise auch '''materielle Betrachtungsweise''' genannt wird.
-Die lagrangesche Betrachtungsweise wurde von [[Leonhard Euler]] 1762 eingeführt.<ref name="truesdell">{{Literatur|Autor=C. Truesdell |Titel=A First Course in Rational Continuum Mechanics |Verlag=Academic Press |Jahr=1977 |ISBN=0-12-701300-8}}</ref>
+Beispielsweise würde eine frei mit dem Wasser mitschwimmende Boje in einem Fluss die Strömung in der Lagrangeschen Betrachtungsweise wahrnehmen. Ein Beispiel aus der [[Mechanik fester Körper|Festkörpermechanik]] zeigt die Abbildung rechts. Hier wird danach gefragt, welche Bedingungen, z.&nbsp;B. welcher Druck oder welche Temperatur, in einem bestimmten Partikel vorliegen. Die Lagrangesche Betrachtungsweise wird von der Festkörpermechanik bei kleinen bis nicht zu großen Verformungen benutzt.
+Die Lagrangesche Betrachtungsweise wurde von [[Leonhard Euler]] 1762 eingeführt.<ref name="truesdell">{{Literatur|Autor=C. Truesdell |Titel=A First Course in Rational Continuum Mechanics |Verlag=Academic Press |Jahr=1977 |ISBN=0-12-701300-8}}</ref>
 == Beschreibung ==
-Im Lagrange-Bild steht der Beobachter einer Bewegung an einem festen materiellen Punkt oder Partikel. Indem alle Raumpunkte, die ein Partikel mit der Zeit passiert, markiert werden, entsteht eine [[Bahnlinie]], die also mit der lagrangeschen Betrachtungsweise assoziiert ist. In der lagrangeschen Betrachtungsweise werden alle physikalischen Größen bezüglich der [[Konfiguration (Mechanik)|Ausgangskonfiguration]], die den Körper zeitlich fixiert für Berechnungen abbildet, dargestellt. Wenn immer dieselbe Ausgangskonfiguration benutzt wird, wird von der ''totalen lagrangeschen'' Betrachtungsweise gesprochen, andernfalls von der ''updated lagrangeschen'' Betrachtungsweise (engl. total lagrange bzw. updated lagrange). Die mit der lagrangeschen Betrachtungsweise abgeleiteten Gleichungen liegen dann in der ''lagrangeschen Fassung'' oder '''lagrangeschen Darstellung''' vor. In der [[Kontinuumsmechanik]] werden in den Gleichungen die auf die Ausgangskonfiguration bezogenen Größen zumeist mit Großbuchstaben geschrieben oder mit dem Index (.)<sub>0</sub> versehen.
+Im Lagrange-Bild steht der Beobachter einer Bewegung an einem festen materiellen Punkt oder Partikel. Indem alle Raumpunkte, die ein Partikel mit der Zeit passiert, markiert werden, entsteht eine [[Bahnlinie]], die also mit der Lagrangeschen Betrachtungsweise assoziiert ist.
+In der Lagrangeschen Betrachtungsweise werden alle physikalischen Größen dargestellt bezüglich der [[Konfiguration_(Mechanik) #Ausgangskonfiguration|Ausgangskonfiguration]], die den Körper für Berechnungen zeitlich fixiert abbildet:
+* Wenn immer dieselbe Ausgangskonfiguration benutzt wird, wird von der ''totalen Lagrangeschen'' Betrachtungsweise gesprochen (engl. ''total lagrange''),
+* andernfalls von der ''aktualisierten Lagrangeschen'' Betrachtungsweise (engl. ''updated lagrange'').
+Die mit der Lagrangeschen Betrachtungsweise abgeleiteten Gleichungen liegen dann in der ''Lagrangeschen Fassung'' oder ''Lagrangeschen Darstellung'' vor.
+In den Gleichungen der [[Kontinuumsmechanik]] werden die auf die Ausgangskonfiguration bezogenen Größen zumeist mit Großbuchstaben geschrieben oder mit dem Index&nbsp;...<sub>0</sub> versehen.
 == Vorteile ==
-Weil bei der lagrangeschen Betrachtungsweise die physikalischen Größen am Partikel vorliegen, besitzt deren Zeitableitung keinen konvektiven Anteil und ist leicht zu berechnen. Ein Massentransport über die Grenze des Körpers kann nicht stattfinden, so dass die Massenbilanz ebenso wie die anderen Bilanzgleichungen einfach zu formulieren sind. Viele der auf die Ausgangskonfiguration bezogenen [[Spannungstensor|Spannungs-]] und [[Verzerrungstensor]]en sind genauso wie ihre Zeitableitungen [[Euklidische Transformation|objektiv]]. Die Angabe von Nebenbedingungen an freien Flächen bereitet keine Schwierigkeiten. Bei kleinen Deformationen und linearem Materialverhalten, was in vielen Fällen, vor allem im technischen Bereich, vorliegt, vereinfachen sich die Gleichungen derart, dass für viele wichtige Probleme analytische Lösungen vorliegen oder herleitbar sind.
+Weil bei der Lagrangeschen Betrachtungsweise die physikalischen Größen am Partikel vorliegen, besitzt deren Zeitableitung keinen konvektiven Anteil und ist leicht zu berechnen. Ein Massentransport über die Grenze des Körpers kann nicht stattfinden, so dass die Massenbilanz ebenso wie die anderen [[Bilanzgleichung]]en einfach zu formulieren sind.
+Viele der auf die Ausgangskonfiguration bezogenen [[Spannungstensor|Spannungs-]] und [[Verzerrungstensor]]en sind wie ihre Zeitableitungen [[Euklidische Transformation|objektiv]].
+Die Angabe von [[Nebenbedingung]]en an freien Flächen bereitet keine Schwierigkeiten. Bei kleinen [[Verformung|Deformation]]en und linearem Materialverhalten, was in vielen, vor allem technischen, Fällen vorliegt, vereinfachen sich die Gleichungen derart, dass für viele wichtige Probleme [[analytische Lösung]]en vorliegen oder herleitbar sind.
 == Nachteile ==
-Wegen des Bezuges zur Ausgangskonfiguration bereiten große Deformationen, wie z.&nbsp;B. bei Umformprozessen, erhebliche numerische Schwierigkeiten. Die mit großen Deformationen einhergehende Änderung der Eigenschaften eines Körpers, z.&nbsp;B. bei einer Einschnürung, bewirken [[Geometrische Linearisierung|geometrisch nichtlineare]] Effekte, die den Rechenaufwand um ein Vielfaches gegenüber einer geometrisch linearen erhöhen. Die Inkompressibilität eines Materials führt zu zusätzlichen Schwierigkeiten.
+Wegen des Bezuges zur Ausgangskonfiguration bereiten große Deformationen, z.&nbsp;B. bei [[Umformung|Umformprozess]]en, erhebliche [[Numerische Mathematik|numerisch]]e Schwierigkeiten. Die mit großen Deformationen einhergehende Änderung der Eigenschaften eines Körpers, z.&nbsp;B. bei einer [[Einschnürung]], bewirken [[Geometrische Linearisierung|geometrisch nichtlineare]] Effekte, die den Rechenaufwand um ein Vielfaches gegenüber einer geometrisch linearen erhöhen.
+Die [[Inkompressibilität]] eines Materials führt zu zusätzlichen Schwierigkeiten.
 == Zusammenfassung ==
-Die Eigenschaften der lagrangeschen Betrachtungsweise sind nochmal in der Tabelle zusammengestellt.
+Die Eigenschaften der Lagrangeschen Betrachtungsweise sind nochmal in der Tabelle zusammengestellt.
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 | Visualisierung || [[Bahnlinie]]
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-|  Ursache der kinematischen Nichtlinearität
+| Ursache der kinematischen Nichtlinearität
 | Formänderungen des Körpers ([[Geometrische Linearisierung|geometrische Nichtlinearität]])
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-| Zeitableitung || [[Partielle Ableitung]], enthält keinen konvektiven Anteil
+| [[Zeitableitung]] || [[Partielle Ableitung]], enthält keinen konvektiven Anteil
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-| Aufwand für Bilanzen von Feldgrößen || gering
+| Aufwand für Bilanzen von [[Feldgröße]]n || gering
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 | Zugeordnete [[Konfiguration (Mechanik)|Konfiguration]]
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 | Bezeichnung der Variablen in der Kontinuumsmechanik || Großbuchstaben oder Index null
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-| Kinematische Unbekannte || Verschiebungen
+| [[Kinematik|Kinematisch]]e Unbekannte || Verschiebungen
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 | Tauglichkeit für Inkompressibilität || eingeschränkt