Trajektorie (Physik): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 4. November 2021, 11:07 Uhr

Die Bahnen der Planeten und Kometen um die Sonne sind annähernd ebene Ellipsen. Durch andere Planeten wird diese Bewegung mehr oder weniger stark gestört. Im Bild ist eine Umlaufbahn (rot) dargestellt, die gegenüber der Erdbahnebene (Ekliptik, grün) einen großen Neigungswinkel i hat.

Eine Trajektorie [tʁajɛkˈtoːʁiə], auch Bahnkurve, ein Pfad oder Weg (manchmal auch nach dem Englischen: Orbit), ist in der Physik der Verlauf der Raumkurve, entlang der sich ein Körper oder ein Punkt, beispielsweise der Schwerpunkt eines starren Körpers, bewegt. Bei einem makroskopischen Körper, etwa einem Geschoss oder einem Ball, spricht man auch von der Flugbahn. Im erweiterten Sinn ist die Trajektorie eine Kurve im n-dimensionalen Phasenraum.^[1]

Bei Körpern, die Zwangsbedingungen unterliegen, wird die Form der Trajektorie mathematisch durch die Kinematik beschrieben; z. B. beschreibt ein Pendel einen Kreisbogen. Bei Körpern, die nur äußeren Kräften ausgesetzt sind, ergeben sich die Trajektorien als Lösungen von Differentialgleichungssystemen. Die Untersuchung der Trajektorie als des zeitabhängigen Verlaufs des Ortes in einem Bezugssystem ist Gegenstand der Kinetik.

Beispiele

Unterschiedliche Flugbahnen bei einem schiefen Wurf ohne jegliche Reibung (Schwarz), mit Stokes-Reibung (Blau) oder mit Newton-Reibung (Grün)

Die Flugbahn einer vom Boden aus abgeschossenen Kanonenkugel oder einer ballistischen Rakete nennt man ballistische Kurve.
Die Trajektorie eines natürlichen oder künstlichen Himmelskörpers im Schwerefeld eines Zentralkörpers oder im freien Weltraum verläuft auf einer Keplerbahn. Bei geschlossenen Bahnen im Sonnensystem oder in der Galaxis spricht man eher von Umlaufbahn. In jedem Zentralfeld ist die Bahn eines Körpers nach dem Drehimpulserhaltungssatz eine ebene Kurve.
In einem homogenen magnetischen Feld beschreiben geladene Teilchen spiralförmige Bahnen (Schraubenlinien) um die Magnetfeldlinien.
Aufgrund des Trägheitsgesetzes verläuft die Trajektorie eines Körpers gerade, wenn auf ihn keine Kraft wirkt beziehungsweise ein Kräftegleichgewicht vorliegt.
Im Straßenbau wird der Übergang zwischen Gerade und Kreis in Form einer Klothoide ausgeführt.
Im Rennsport ist die Ideallinie die Trajektorie eines fahrzeugfesten Punkts, auf der ein Streckenabschnitt mit der größten Geschwindigkeit befahren werden kann.
Das bohrsche Atommodell beschreibt die Flugbahn der Elektronen um den Atomkern als geschlossene Kreisbahnen.
Die Meteorologie kennt die Trajektorie eines (hypothetischen) Luftpartikels. Es wird zwischen Rückwärts- und Vorwärtstrajektorien unterschieden. Erstere geben an, woher die Luft gekommen ist, letztere, wohin sie sich bewegt. Von der Trajektorie ist die Stromlinie zu unterscheiden; nur in einer stationären Strömung fallen Trajektorien und Stromlinien zusammen.
In der Objektverfolgung wird eine Trajektorie als der Bewegungspfad eines Objektes dargestellt durch die zeitliche Sequenz von Koordinaten während der Laufzeit.
In der technischen Chemie werden Trajektorien zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens einer chemischen Reaktion verwendet. Hierzu werden Darstellungen in der sogenannten Zustands- oder Phasenebene genutzt, bei denen die augenblickliche Konzentration $\!\ c(t)$ über der Temperatur $\!\ T(t)$ aufgetragen wird. Die Trajektorien zeigen dann die gleichzeitige Veränderung von Konzentration und Temperatur während eines Übergangsvorganges. Entlang der Trajektorie verläuft die Zeit.^[2] Dabei können die Graphen z. B. (abhängig von den Startbedingungen und natürlich weiteren Variablen) eine spiralförmige Form aufweisen.
Räuber-Beute Beziehungen: Lotka-Volterra-Gleichungen

Praktische Bestimmung

Bei sichtbaren Objekten kann die Trajektorie meist mit fotografischen Mitteln ermittelt werden, z. B. mit Photogrammetrie.

Die Trajektorie eines atomaren oder subatomaren Teilchens gibt es nur als anschauliche Hilfsvorstellung, da diese Teilchen durch die Quantenmechanik beschrieben werden müssen. Näherungsweise lassen sich solche Teilchenbahnen in Blasen- oder Nebelkammern sichtbar machen oder indirekt mit Hodoskopen oder Drahtkammern ermitteln.

Einzelnachweise

↑ Gerthsen: Physik. 18. Auflage. Springer, 1995, ISBN 978-3-662-07467-1, S. 968 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Manfred Baerns, Arno Behr, Axel Brehm, Jürgen Gmehling, Hanns Hofmann, Ulfert Onken: Technische Chemie. Wiley-VCH, 2006, ISBN 3-527-31000-2, S. 158.

[1] Gerthsen: Physik. 18. Auflage. Springer, 1995, ISBN 978-3-662-07467-1, S. 968 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[2] Manfred Baerns, Arno Behr, Axel Brehm, Jürgen Gmehling, Hanns Hofmann, Ulfert Onken: Technische Chemie. Wiley-VCH, 2006, ISBN 3-527-31000-2, S. 158.

[1]

[2]

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-{{Weiterleitungshinweis|Flugbahn|Für die Zugbahn von Vögeln siehe [[Vogelzug]].}}
+[[Datei:Bahnelemente.svg|mini|Die Bahnen der Planeten und Kometen um die Sonne sind annähernd ebene Ellipsen. Durch andere Planeten wird diese Bewegung mehr oder weniger stark gestört. Im Bild ist eine Umlaufbahn (rot) dargestellt, die gegenüber der Erdbahnebene (Ekliptik, grün) einen großen Neigungswinkel ''i'' hat.]]
-{{Redundanztext
+Eine '''Trajektorie''' [tʁajɛkˈtoːʁiə], auch '''Bahnkurve''', ein '''Pfad''' oder '''[[Weg (Physik)|Weg]]''' (manchmal auch nach dem Englischen: Orbit), ist in der [[Physik]] der Verlauf der [[Raumkurve]], entlang der sich ein Körper oder ein Punkt, beispielsweise der [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] eines [[Starrer Körper|starren Körpers]], bewegt. Bei einem makroskopischen Körper, etwa einem Geschoss oder einem Ball, spricht man auch von der '''Flugbahn'''. Im erweiterten Sinn ist die Trajektorie eine Kurve im n-dimensionalen [[Phasenraum]].<ref>{{Literatur|Autor=Gerthsen|Titel=Physik|Verlag=Springer|Auflage=18|Datum=1995|Seiten=968|ISBN=978-3-662-07467-1|Online={{Google Buch|BuchID=zJ-0BgAAQBAJ|Seite=968}} }}</ref>
-|3=Weg (Physik)
-|4=Trajektorie (Physik)
-|5=Ort (Physik)|6=Länge (Mathematik)|7=Wegstrecke|12=f|2=April 2017|1=[[Benutzer:Alturand|Alturand]] ([[Benutzer Diskussion:Alturand|Diskussion]]) 18:06, 25. Apr. 2017 (CEST)}}
-[[Datei:Bahnelemente.svg|mini|Die Bahnen der Planeten und Kometen um die Sonne sind annähernd ebene Ellipsen. Durch andere Planeten wird diese Bewegung mehr oder weniger stark gestört. Im Bild ist eine Umlaufbahn (rot) dargestellt, die gegenüber der Erdbahnebe (Ekliptik, grün) einen großen Neigungswinkel ''i'' hat.]]
-Eine '''Trajektorie''', auch '''Bahnkurve''', ein '''Pfad''' oder '''Weg''' (manchmal auch nach dem Englischen: Orbit), ist in der [[Physik]] der Verlauf der [[Raumkurve]], entlang der sich ein Körper oder ein Punkt, beispielsweise der [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] eines [[Starrer Körper|starren Körpers]], bewegt. Bei einem makroskopischen Körper, etwa einem Geschoss oder einem Ball, spricht man auch von der '''Flugbahn'''.
-Die Form der Trajektorie wird mathematisch in der [[Kinematik]] beschrieben; Trajektorien ergeben sich dabei meist als Lösungen von [[Differentialgleichung]]ssystemen. Die Untersuchung der Trajektorie als zeitabhängigen Verlaufs des [[Ort (Physik)|Ortes]] in einem [[Bezugssystem]] ist Gegenstand der [[Dynamik (Physik)|Dynamik]]. Die möglichen Ursachen von Änderungen des Bewegungszustandes werden in der [[Mechanik]] behandelt.
+Bei Körpern, die Zwangsbedingungen unterliegen, wird die Form der Trajektorie mathematisch durch die [[Kinematik]] beschrieben; z.&nbsp;B. beschreibt ein Pendel einen Kreisbogen. Bei Körpern, die nur äußeren Kräften ausgesetzt sind, ergeben sich die Trajektorien als Lösungen von [[Differentialgleichung]]ssystemen. Die Untersuchung der Trajektorie als des zeitabhängigen Verlaufs des [[Ort (Physik)|Ortes]] in einem [[Bezugssystem]] ist Gegenstand der [[Kinetik (Technische Mechanik)|Kinetik]].
-== Mathematische Beschreibung ==
-Eine Trajektorie im ''3''-dimensionalen Raum <math>\R^3</math> lässt sich in einer [[Parameterdarstellung]] durch den [[Ortsvektor]] <math>\vec r(\phi)</math> als [[Weg_(Mathematik)| stückweise stetige Funktion]] eines geeigneten Parameters <math>\phi</math> darstellen.
-Die vektorielle Größe
-:<math>\vec{\Delta s} = \int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\mathrm d \vec r(\phi) = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}\phi}{\rm d \phi}=\vec r(\phi_2) - \vec r(\phi_1)</math>
-mit <math>\vec{r_i}=\vec{r}(\phi_i)</math>,
-entspricht der Differenz der Ortsvektoren des Merkmals zwischen dem Ende und dem Anfang der [[Bewegung (Physik)|Bewegung]]. Zweckmäßigerweise wird dabei oft die Zeit als Parameter verwendet, <math>\phi_i \equiv t_i</math>.
-Die [[Wegstrecke]] <math>s</math> (zu [[Latein|lat.]] ''spatium'' „Weg“,  „Zwischenraum“) bis zu einem Punkt auf der Trajektorie bei <math>\phi_2</math> berechnet sich bezogen auf einen Startpunkt (<math>\phi_1</math>) mit Hilfe des stets positiven [[Linienelement]]s <math>{\rm d}s</math> bzw. der [[2-Norm]] <math>\|...\|_2</math> gemäß:
-:<math>s_{\phi_1} (\phi_2) = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} {\rm d}s = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \left\| \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}\phi} \right\|_2 {\rm d}\phi</math>
-Für viele Fälle der kinematischen Beschreibung stellt die Wegstrecke einen geeigneten [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] dar, da mit ihrer Hilfe die Trajektorie kinematisch  als <math>\vec r(s)</math> auf eine Art beschrieben beschrieben werden kann, die weder die Kenntnis anderer physikalischer Größen wie z.&nbsp;B. der Geschwindigkeit, noch die Einführung eins willkürlich wählbaren Parameters erfordert.
-Für die dynamische Beschreibung der Trajektorie (Bewegungsgleichungen) wird oft die Zeit <math>t</math> als Parameter gewählt. Mit Hilfe der vektoriellen [[Geschwindigkeit]] <math>\vec v = \frac{{\rm d}\vec{\Delta s}}{{\rm d} t} = \lim_{s_2 \rightarrow s_1} \frac{\vec{\Delta s}(s_1,s_2)}{t(s_2)-t(s_1)}</math> bzw. ihrem Betrag, der Bahngeschwindigkeit <math>v = \frac{{\rm d}s}{{\rm d}t} = \left |\vec v\right|</math>, lassen sich die beiden Beschreibungen ineinander überführen.
-== Beispiele von Trajektorien ==
+== Beispiele ==
 [[Datei:Inclinedthrow.gif|mini|400px|hochkant=2|Unterschiedliche Flugbahnen bei einem [[Schiefer Wurf|schiefen Wurf]] ohne jegliche Reibung (Schwarz), mit [[Fall mit Luftwiderstand#Fall mit Stokes-Reibung|Stokes-Reibung]] (Blau) oder mit [[Fall mit Luftwiderstand#Fall mit Luftwiderstand: Newton-Reibung|Newton-Reibung]] (Grün)]]
 * Die ''Flugbahn'' einer vom Boden aus [[Ballistik|abgeschossenen]] Kanonenkugel oder einer [[Ballistische Rakete|ballistischen Rakete]] nennt man ''[[Wurfparabel#Wurfparabel mit Luftwiderstand|ballistische Kurve]]''.
-* Die ''Trajektorie'' eines natürlichen oder künstlichen [[Himmelskörper]]s im [[Schwerefeld]] eines Zentralkörpers oder im freien Weltraum verläuft auf einer [[Keplerbahn]]. Bei geschlossenen Bahnen im Sonnensystem oder in der [[Galaxis]] spricht man eher von [[Umlaufbahn]]. In jedem [[Zentralfeld]] ist die Bahn eines Körpers nach dem [[Drehimpuls]]erhaltungssatz eine ebene Kurve.
+* Die ''Trajektorie'' eines natürlichen oder künstlichen [[Himmelskörper]]s im [[Schwerefeld]] eines Zentralkörpers oder im freien Weltraum verläuft auf einer [[Keplerbahn]]. Bei geschlossenen Bahnen im Sonnensystem oder in der [[Milchstraße|Galaxis]] spricht man eher von [[Umlaufbahn]]. In jedem [[Zentralfeld]] ist die Bahn eines Körpers nach dem [[Drehimpuls]]erhaltungssatz eine ebene Kurve.
 * In einem homogenen [[Magnetismus|magnetischen Feld]] beschreiben geladene Teilchen spiralförmige Bahnen (Schraubenlinien) um die Magnetfeldlinien.
 * Aufgrund des [[Trägheitsgesetz]]es verläuft die ''Trajektorie'' eines Körpers gerade, wenn auf ihn keine [[Kraft]] wirkt beziehungsweise ein [[Gleichgewicht (Mechanik)|Kräftegleichgewicht]] vorliegt.
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 * Das [[bohrsche Atommodell]] beschreibt die ''Flugbahn'' der [[Elektron]]en um den [[Atomkern]] als geschlossene [[Rotation (Physik)|Kreisbahnen]].
 * Die [[Meteorologie]] kennt die ''Trajektorie'' eines (hypothetischen) Luftpartikels. Es wird zwischen Rückwärts- und Vorwärtstrajektorien unterschieden. Erstere geben an, woher die Luft gekommen ist, letztere, wohin sie sich bewegt. Von der ''Trajektorie'' ist die [[Stromlinie]] zu unterscheiden; nur in einer stationären Strömung fallen ''Trajektorien'' und Stromlinien zusammen.
-* In der [[Objektverfolgung]] wird eine ''Trajektorie'' dargestellt als eine Zeitsequenz von Koordinaten, welche den Bewegungspfad eines Objektes während der Laufzeit darstellt.
+* In der [[Objektverfolgung]] wird eine ''Trajektorie'' als der Bewegungspfad eines Objektes dargestellt durch die zeitliche Sequenz von Koordinaten während der Laufzeit.
-* In der [[Technische Chemie|technischen Chemie]] werden Trajektorien zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens einer chemischen Reaktion verwendet. Dazu werden in der so genannten Zustands- oder Phasenebene, bei der die augenblickliche Konzentration <math>\!\ c (t)</math> über der Temperatur <math>\!\ T (t)</math> aufgetragen werden, genutzt. Die Trajektorien zeigen dann die gleichzeitige Veränderung von Konzentration und Temperatur während eines Übergangsvorganges. Entlang der Trajektorie verläuft die Zeit.<ref>{{Literatur|Autor=[[Manfred Baerns]], [[Arno Behr (Chemiker, 1952)|Arno Behr]], Axel Brehm, [[Jürgen Gmehling]], [[Hanns Hofmann (Chemiker)|Hanns Hofmann]], Ulfert Onken|Titel=Technische Chemie|Verlag=Wiley-VCH|ISBN=3-527-31000-2|Jahr=2006|Seiten=158}}</ref> Dabei können die Graphen z.&nbsp;B. (abhängig von den Startbedingungen und natürlich weiteren Variablen) eine spiralförmige Form aufweisen.
+* In der [[Technische Chemie|technischen Chemie]] werden Trajektorien zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens einer chemischen Reaktion verwendet. Hierzu werden Darstellungen in der sogenannten Zustands- oder Phasenebene genutzt, bei denen die augenblickliche Konzentration <math>\!\ c (t)</math> über der Temperatur <math>\!\ T (t)</math> aufgetragen wird. Die Trajektorien zeigen dann die gleichzeitige Veränderung von Konzentration und Temperatur während eines Übergangsvorganges. Entlang der Trajektorie verläuft die Zeit.<ref>{{Literatur|Autor=[[Manfred Baerns]], [[Arno Behr (Chemiker, 1952)|Arno Behr]], Axel Brehm, [[Jürgen Gmehling]], [[Hanns Hofmann (Chemiker)|Hanns Hofmann]], Ulfert Onken|Titel=Technische Chemie|Verlag=Wiley-VCH|ISBN=3-527-31000-2|Jahr=2006|Seiten=158}}</ref> Dabei können die Graphen z.&nbsp;B. (abhängig von den Startbedingungen und natürlich weiteren Variablen) eine spiralförmige Form aufweisen.
+* Räuber-Beute Beziehungen: [[Lotka-Volterra-Gleichungen]]
-== Praktische Bestimmung von Trajektorien ==
-Bei sichtbaren Objekten kann die Trajektorie meist mit fotografischen Mitteln ermittelt werden, wie zum Beispiel mit [[Photogrammetrie]].
-Die Trajektorie eines [[Atomphysik|atomaren]] oder subatomaren Teilchens gibt es nur als anschauliche Hilfsvorstellung, da diese Teilchen durch die [[Quantenmechanik]] beschrieben werden müssen. Näherungsweise lassen sich solche Teilchenbahnen in [[Hodoskop]]en, [[Blasenkammer|Blasen-]], [[Nebelkammer|Nebel-]] oder [[Drahtkammer]]n sichtbar machen.
-== Siehe auch ==
+== Praktische Bestimmung ==
+Bei sichtbaren Objekten kann die Trajektorie meist mit fotografischen Mitteln ermittelt werden, z.&nbsp;B. mit [[Photogrammetrie]].
-* [[Wurfparabel]]
+Die Trajektorie eines [[Atomphysik|atomaren]] oder [[subatomares Teilchen|subatomaren Teilchens]] gibt es nur als anschauliche Hilfsvorstellung, da diese Teilchen durch die [[Quantenmechanik]] beschrieben werden müssen. Näherungsweise lassen sich solche Teilchenbahnen in [[Blasenkammer|Blasen-]] oder [[Nebelkammer]]n sichtbar machen oder indirekt mit [[Hodoskop]]en oder [[Drahtkammer]]n ermitteln.
-* [[Bürgi-Dunitz-Trajektorie]]
-* [[Weltlinie]]
-* [[Elementarteilchen]]
-* [[Ortsvektor#Trajektorie|Ortsvektor (Abschnitt Trajektorie)]]
 == Einzelnachweise ==