Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik: Unterschied zwischen den Versionen

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Die '''Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker(FLRW)-[[Metrischer Raum|Metrik]]''' ist eine exakte Lösung der [[Einsteinsche Feldgleichungen|einsteinschen Feldgleichungen]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und beschreibt eine [[homogen]]e, [[isotrop]]e ([[Kosmologisches Prinzip]]) [[Expansion des Universums|Expansion]] bzw. ein ebensolches Zusammenziehen des [[Universum]]s. Sie ist unter unterschiedlichen Kombinationen der Namen der vier Wissenschaftler [[Alexander Alexandrowitsch Friedmann|Alexander Friedmann]], [[Georges Lemaître]], [[Howard P. Robertson]] und [[Arthur Geoffrey Walker]] bekannt, z. B. '''Friedmann-Robertson-Walker (FRW)''' oder '''Robertson-Walker (RW)'''.
Die '''Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-[[Metrischer Raum|Metrik]]''', kurz '''FLRW-Metrik''', ist eine exakte Lösung der [[Einsteinsche Feldgleichungen|einsteinschen Feldgleichungen]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und beschreibt eine [[Homogenität|homogene]], [[isotrop]]e ([[kosmologisches Prinzip]]) [[Expansion des Universums|Expansion]] bzw. ein ebensolches Zusammenziehen des [[Universum]]s. Sie ist unter unterschiedlichen Kombinationen der Namen der vier Wissenschaftler [[Alexander Alexandrowitsch Friedmann|Alexander Friedmann]], [[Georges Lemaître]], [[Howard P. Robertson]] und [[Arthur Geoffrey Walker]] bekannt, z. B. '''Friedmann-Robertson-Walker (FRW)''' oder '''Robertson-Walker (RW)'''.


Weil sie so einfach zu berechnen ist, wird die FLRW-Metrik als erste Näherung für das [[Kosmologie|kosmologische]] Standard-[[Urknall]]-Modell des [[Universum]]s verwendet. Da die FLRW Homogenität voraussetzt, wird oft fälschlicherweise behauptet, dass das Urknall-Modell nicht die Klumpigkeit des Universums erklären könne. Modelle, welche die Klumpigkeit des Universums errechnen werden, erweitern die FLRW. Im Jahr 2003 schienen die theoretischen Konsequenzen der verschieden Erweiterungen zur FLRW bereits gut verstanden. Das Ziel war es, diese mit den Beobachtungen der Projekte [[COBE]] und [[WMAP]] in Einklang zu bringen.
Weil sie so einfach zu berechnen ist, wird die FLRW-Metrik als erste Näherung für das [[Kosmologie|kosmologische]] Standard-[[Urknall]]-Modell des [[Universum]]s verwendet. Da die FLRW Homogenität voraussetzt, wird oft fälschlicherweise behauptet, dass das Urknall-Modell nicht die Klumpigkeit des Universums erklären könne. Modelle, welche die Klumpigkeit des Universums errechnen werden, erweitern die FLRW. Im Jahr 2003 schienen die theoretischen Konsequenzen der verschiedenen Erweiterungen zur FLRW bereits gut verstanden. Das Ziel war es, diese mit den Beobachtungen der Projekte [[COBE]] und [[Wilkinson Microwave Anisotropy Probe|WMAP]] in Einklang zu bringen.


== Formulierung ==
== Formulierung ==
Durch die Forderung nach Isotropie erhält man das Robertson-Walker-Linienelement
Durch die Forderung nach Isotropie erhält man das Robertson-Walker-[[Linienelement]]
 
:<math>\mathrm{d}s^2 = c^2 \mathrm{d}t^2 - a(t)^2 R_\mathrm C^2 \left(\frac{\mathrm{d}x^2}{1-k\ x^2} + x^2 \mathrm{d}\Omega^2\right)\ ,</math>
:<math>\mathrm{d}s^2 = c^2 \mathrm{d}t^2 - a(t)^2 R_\mathrm C^2 \left(\frac{\mathrm{d}x^2}{1-k\ x^2} + x^2 \mathrm{d}\Omega^2\right)\ ,</math>
wobei der Krümmungsparameter <math>k = +1, 0, -1</math> ist und <math>x = r / R_\mathrm C</math>.


Die Metrik kann je nach Wert des Krümmungsparameters vereinfacht dargestellt werden:
mit
* der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math>
* dem [[Skalenfaktor]] <math>a(t)</math> des Universums zur Zeit <math>t</math>
* dem Absolutwert <math>R_\mathrm C</math> des heutigen [[Krümmungsradius]]
* <math>x = r / R_\mathrm C</math>
** dem [[Entfernungsmaß #Mitbewegte_Entfernung|Abstand <math>r</math> vom mitbewegten Beobachter]]
* dem Krümmungsparameter <math>k = +1, 0, -1</math>
* <math>\mathrm{d}\Omega^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot \mathrm{d}\phi^2</math>.<!-- was sind: theta, phi? -->
 
Die Metrik kann vereinfacht dargestellt werden als:
 
:<math>\mathrm{d}s^2 = c^2 \mathrm{d}t^2 - a(t)^2 \cdot (\mathrm{d}r^2 + \bar{r}^2 \mathrm{d}\Omega^2)</math>
:<math>\mathrm{d}s^2 = c^2 \mathrm{d}t^2 - a(t)^2 \cdot (\mathrm{d}r^2 + \bar{r}^2 \mathrm{d}\Omega^2)</math>
wobei
 
* <math>c</math> die [[Vakuumlichtgeschwindigkeit]],
mit dem [[Kovarianz (Physik)|kovarianten]] Abstand <math>\bar{r}</math>:
* <math>a(t)</math> der [[Skalenfaktor]] des Universums zur Zeit <math>t</math>,
* <math>r</math> der Abstand vom mitbewegten Beobachter,
* <math>\bar{r}</math> der [[Kovarianz (Physik)|kovariante]] Abstand:
::<math>\bar{r} = \begin{cases}
::<math>\bar{r} = \begin{cases}
    R_\mathrm C \sin(r/R_\mathrm C)  &\text{für positive Krümmung}
R_\mathrm C \sin(x)  &\text{für} \, k > 0 \, \text{bzw.} \, k = +1 \\
\\ r               &\text{für Krümmung } 0
r                               &\text{für} \, k = 0 \\
\\ R_\mathrm C \sinh(r/R_\mathrm C) &\text{für negative Krümmung}
R_\mathrm C \sinh(x) &\text{für} \, k < 0 \, \text{bzw.} \, k = -1
\end{cases} </math>
\end{cases} </math>.
* <math>R_\mathrm C</math> der Absolutwert des [[Krümmungsradius]],
* und <math>\mathrm{d}\Omega^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot \mathrm{d}\phi^2</math> sind.


Wenn man die FLRW-Metrik sowie einen passenden [[Energie-Impuls-Tensor]] voraussetzt, reduzieren sich die einsteinschen Feldgleichungen auf die [[Friedmann-Gleichungen]]. Die Lösung der Friedmann-Gleichungen ist der zeitliche Verlauf des Skalenfaktors der FLRW-Metrik.
Wenn man die FLRW-Metrik sowie einen passenden [[Energie-Impuls-Tensor]] voraussetzt, reduzieren sich die einsteinschen Feldgleichungen auf die [[Friedmann-Gleichungen]]. Ihre Lösung ist der zeitliche Verlauf <math>a(t)</math> des Skalenfaktors der FLRW-Metrik.


== Fast-FLRW-Modelle ==
== Fast-FLRW-Modelle ==
Alle Beobachtungen im Universum auf hinreichend großen Längenskalen (nämlich größer als die größten identifizierbaren Objekte im Universum, die [[Galaxienhaufen]]) lassen sich durch ein ''fast-FLRW''-Modell gut erklären. Ein ''fast-FLRW''-Modell folgt der FLRW-Metrik, wobei die Entwicklung der Materieverteilung aus [[Primordiale Fluktuationen|primordialen Fluktuationen]] als kleine [[Störungstheorie (Allgemeine Relativitätstheorie)|Störung]] berechnet werden kann. In einem exakten FLRW-Modell gibt es keine Galaxienhaufen, Sterne oder Menschen, da diese Objekte eine höhere Dichte aufweisen als der Durchschnitt des Universums. Trotzdem wird ein ''fast-FLRW''-Model, der Kürze wegen, als ''FLRW''-Modell (oder FRW-Modell) bezeichnet.
Alle Beobachtungen im Universum auf hinreichend großen Längenskalen (nämlich größer als die größten identifizierbaren Objekte im Universum, die [[Galaxienhaufen]]) lassen sich durch ein ''fast-FLRW''-Modell gut erklären. Ein ''fast-FLRW''-Modell folgt der FLRW-Metrik, wobei die Entwicklung der Materieverteilung aus [[Primordiale Fluktuationen|primordialen Fluktuationen]] als kleine [[Störungstheorie (Allgemeine Relativitätstheorie)|Störung]] berechnet werden kann. In einem exakten FLRW-Modell gibt es keine Galaxienhaufen, Sterne oder Menschen, da diese Objekte eine höhere Dichte aufweisen als der Durchschnitt des Universums. Trotzdem wird ein ''fast-FLRW''-Model, der Kürze wegen, als ''FLRW''-Modell (oder FRW-Modell) bezeichnet.


== Weblinks ==
== Literatur ==
* [[George F. R. Ellis]], Henk van Elst: ''Cosmological Models (Cargèse lectures 1998).'' (englisch: [http://arxiv.org/abs/gr-qc/9812046 arxiv.org])
* H. P. Robertson: ''Kinematics and world structure'', Astrophysical Journal, Band 82, 1935, S. 284–301, Band 83, 1936, S. 187–201, S. 257–271
* A. G. Walker: ''On Milne’s theory of world-structure'', Proc. Lond. Math. Soc. (2), Band 42, 1937, S. 90–127
* [[George F. R. Ellis]], Henk van Elst: ''Cosmological Models (Cargèse lectures 1998).'' (englisch: [https://arxiv.org/abs/gr-qc/9812046 arxiv.org])


== Literaturhinweise ==
* {{Literatur
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   |Autor=Ray d'Inverno
   |Autor=Ray d'Inverno

Aktuelle Version vom 12. Juli 2021, 19:18 Uhr

Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik, kurz FLRW-Metrik, ist eine exakte Lösung der einsteinschen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie und beschreibt eine homogene, isotrope (kosmologisches Prinzip) Expansion bzw. ein ebensolches Zusammenziehen des Universums. Sie ist unter unterschiedlichen Kombinationen der Namen der vier Wissenschaftler Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard P. Robertson und Arthur Geoffrey Walker bekannt, z. B. Friedmann-Robertson-Walker (FRW) oder Robertson-Walker (RW).

Weil sie so einfach zu berechnen ist, wird die FLRW-Metrik als erste Näherung für das kosmologische Standard-Urknall-Modell des Universums verwendet. Da die FLRW Homogenität voraussetzt, wird oft fälschlicherweise behauptet, dass das Urknall-Modell nicht die Klumpigkeit des Universums erklären könne. Modelle, welche die Klumpigkeit des Universums errechnen werden, erweitern die FLRW. Im Jahr 2003 schienen die theoretischen Konsequenzen der verschiedenen Erweiterungen zur FLRW bereits gut verstanden. Das Ziel war es, diese mit den Beobachtungen der Projekte COBE und WMAP in Einklang zu bringen.

Formulierung

Durch die Forderung nach Isotropie erhält man das Robertson-Walker-Linienelement

$ \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a(t)^{2}R_{\mathrm {C} }^{2}\left({\frac {\mathrm {d} x^{2}}{1-k\ x^{2}}}+x^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)\ , $

mit

Die Metrik kann vereinfacht dargestellt werden als:

$ \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a(t)^{2}\cdot (\mathrm {d} r^{2}+{\bar {r}}^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}) $

mit dem kovarianten Abstand $ {\bar {r}} $:

$ {\bar {r}}={\begin{cases}R_{\mathrm {C} }\sin(x)&{\text{für}}\,k>0\,{\text{bzw.}}\,k=+1\\r&{\text{für}}\,k=0\\R_{\mathrm {C} }\sinh(x)&{\text{für}}\,k<0\,{\text{bzw.}}\,k=-1\end{cases}} $.

Wenn man die FLRW-Metrik sowie einen passenden Energie-Impuls-Tensor voraussetzt, reduzieren sich die einsteinschen Feldgleichungen auf die Friedmann-Gleichungen. Ihre Lösung ist der zeitliche Verlauf $ a(t) $ des Skalenfaktors der FLRW-Metrik.

Fast-FLRW-Modelle

Alle Beobachtungen im Universum auf hinreichend großen Längenskalen (nämlich größer als die größten identifizierbaren Objekte im Universum, die Galaxienhaufen) lassen sich durch ein fast-FLRW-Modell gut erklären. Ein fast-FLRW-Modell folgt der FLRW-Metrik, wobei die Entwicklung der Materieverteilung aus primordialen Fluktuationen als kleine Störung berechnet werden kann. In einem exakten FLRW-Modell gibt es keine Galaxienhaufen, Sterne oder Menschen, da diese Objekte eine höhere Dichte aufweisen als der Durchschnitt des Universums. Trotzdem wird ein fast-FLRW-Model, der Kürze wegen, als FLRW-Modell (oder FRW-Modell) bezeichnet.

Literatur

  • H. P. Robertson: Kinematics and world structure, Astrophysical Journal, Band 82, 1935, S. 284–301, Band 83, 1936, S. 187–201, S. 257–271
  • A. G. Walker: On Milne’s theory of world-structure, Proc. Lond. Math. Soc. (2), Band 42, 1937, S. 90–127
  • George F. R. Ellis, Henk van Elst: Cosmological Models (Cargèse lectures 1998). (englisch: arxiv.org)
  • Ray d'Inverno: Introducing Einstein's Relativity. Oxford University Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-859686-3 (Kapitel 23 bietet eine kurze Einführung in die FLRW-Modelle).