Bethe-Ansatz: Unterschied zwischen den Versionen

Der Bethe-Ansatz ist eine analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen. 1931 präsentierte Hans Bethe^[1] diese Methode zur Berechnung der exakten Eigenwerte (Eigenenergien) und Eigenvektoren des eindimensionalen Heisenbergmodells. Der eigentliche Bethe-Ansatz beschreibt dabei die Parameterisierung der Eigenvektoren als Ansatz für die Lösung des Eigenwertproblems (Schrödingergleichung).

Varianten des Bethe-Ansatzes führen zur exakten Lösung des Kondo-Modells, welche unabhängig 1980 von Paul Wiegmann^[2] und Natan Andrei^[3] gefunden wurde, und des Anderson model (P.B. Wiegmann^[4] und N. Kawakami, A. Okiji^[5], 1981).

Bethe-Ansatz für das 1D-Heisenberg Modell

Der Bethe-Ansatz wurde ursprünglich für das eindimensionale Heisenberg-Modell mit nächster Nachbarwechselwirkung und periodischen Randbedingungen entwickelt:

$H=-J\sum _{n=1}^N{\overrightarrow{S}}_n\cdot {\overrightarrow{S}}_{n+1}=-J\sum _{n=1}^N[\frac{1}{2}(S_n^{+}{S}_{n+1}^{-}+S_n^{-}{S}_{n+1}^{+})+S_n^z{S}_{n+1}^z]$

Abhängig vom Vorzeichen der Kopplungskonstante $J$ ist der Grundzustand ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch:

$J\{\begin{array}{ll}>0& \text{Ferromagnet}\\ <0& \text{Anti-Ferromagnet}\end{array}$

Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt für den Bethe-Ansatz. Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle Spins in eine Richtung ausgerichtet. Diese wird o.B.d.A in $z$-Richtung angenommen. Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als:

$|F⟩=|\uparrow \uparrow \uparrow ...\uparrow ⟩$

Im Bethe-Ansatz werden die Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplätzen $n_1$ und $n_2$ angegeben als:

$|n_1{n}_2⟩=|\uparrow \uparrow \underset{n_1}{\underbrace{\downarrow }}\uparrow ..\uparrow \underset{n_2}{\underbrace{\downarrow }}\uparrow ...\uparrow ⟩$

Die Eigenzustände des Hamilton-Operators des Heisenberg-Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustände. Dabei sind nur Linearkombinationen von Zuständen mit der gleichen Anzahl r von umgeklappten Spins zulässig. Dieses ist begründet in der Tatsache, dass der $S_z$-Operator mit dem Hamilton-Operator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher $S_z$-Quantenzahl bestehen müssen. Zur Berechnung dieser Zustände ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunächst Zustände mit lediglich einem umgeklappten Spin. Dieser wird dann auf Superpositionen von Zuständen mit $r$ umgeklappten Spins ausgeweitet.

r=1

Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz $n$:

$|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _{n=1}^{N}a(n)|n⟩$

Die Eigenvektoren sind Lösungen der stationären Schrödingergleichung $H|\mathrm{\Psi }⟩=E|\mathrm{\Psi }⟩$. Mittels Koeffizientenvergleich findet man $N$ linear unabhängige Gleichungen für die Koeffizienten $a(n)$:

$2[E-E_0]a(n)=J[2a(n)-a(n-1)-a(n+1)]$

Lösungen dieser Gleichungen, die auch die Bedingung für periodische Randbedingungen $a(n+N)=a(n)$ erfüllen, sind ebene Wellen:

$a(n)=e^{ikn},k=\frac{2\pi }{N}m\text{mit}m=0,1,...N-1$

Damit sind die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin angegeben. Die Energie dieser Zustände folgt aus der Schrödingergleichung:

$E-E_0=J(1-cos(k))$

Der nächste Schritt besteht darin, sich Superpositionen aus Zuständen mit zwei umgeklappten Spins anzuschauen.

r=2

Der Ansatz für die Eigenvektoren lautet:

$|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _{n1<n2}^{N}a(n_1,n_2)|n_1,n_2⟩$

Bethes Ansatz für die Koeffizienten $a(n_1,n_2)$ sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden $A_1$ und $A_2$:

$a(n_1,n_2)=A_1{e}^{i(k_1{n}_1+k_2{n}_2)}+A_2{e}^{i(k_1{n}_2+k_2{n}_1)}$

Die Parameter $A_1$ und $A_2$ werden durch das Einsetzen in die Schrödingergleichung ermittelt. Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhältnis:

$\frac{A_1}{A_2}=e^{i\theta }=-\frac{e^{i(k_1+k_2)}+1-2e^{i{k}_1}}{e^{i(k_1+k_2)}+1-2e^{i{k}_2}}$

welches man in den Ansatz für die Koeffizienten hinzufügt:

$a(n_1,n_2)=e^{i(k_1{n}_1+k_2{n}_2+\frac{1}{2}{\theta }_{12})}+e^{i(k_1{n}_2+k_2{n}_1+\frac{1}{2}{\theta }_{21})}$

Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt, dass die Wellenzahlen $k_1,k_2$ und der Winkel $\theta ={\theta }_{12}=-{\theta }_{2,1}$ folgende Gleichungen erfüllen müssen:

$2\cot \frac{\theta }{2}=\cot \frac{k_1}{2}-\cot \frac{k_2}{2}N{k}_1=2\pi {\lambda }_1+\theta N{k}_2=2\pi {\lambda }_2-\theta$

wobei die ganzen Zahlen ${\lambda }_i=0,1...N$ Bethe-Quantenzahlen genannt werden. Damit sind alle Eigenvektoren für $r=2$ bestimmt durch alle möglichen Paare, die die Gleichungen erfüllen. Die Energie ist dann geben mittels:

$E-E_0=J\sum _{j=1,2}(1-\cos (k_j))$

Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit $r$ umgeklappten Spins bestehen.

r beliebig

Für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit $r$ umgeklappten Spins bestehen, lautet der Ansatz:

$|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _{n1<n2<..<n_r}^{N}a(n_1,n_2,..,n_r)|n_1,n_2,..,n_r⟩$

mit den Koeffizienten:

$a(n_1,..n_r)=\sum _{P\in S_r}\exp (i\sum _{j=1}^r{k}_{P_j}{n}_j+i\sum _{i<j}{\theta }_{P_i{P}_j})$

Die Summe läuft dabei über alle möglichen $r!$ Permutationen der Zahlen $1,..,r$. Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als Bethe-Ansatz bezeichnet. Einsetzen in die Schrödingergleichung und die periodischen Randbedingungen führen zu den Bethe-Ansatz-Gleichungen:

$\begin{array}{rlrl}2\cot \frac{{\theta }_{ij}}{2}& =\cot \frac{k_i}{2}-\cot \frac{k_j}{2}& \text{mit}& i,j=1..r\\ N{k}_i& =2\pi {\lambda }_i+\sum _{j\ne i}{\theta }_{ij}& & {\lambda }_i=1,..,N-1\end{array}$

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen $({\lambda }_1,..{\lambda }_r)$, die die Bethe-Ansatz-Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die Energie des zugehörigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels

$(E-E_0)=J\sum _{j=1}^r(1-\cos k_j)$

angegeben werden.

Weblinks

• Einführung zum Bethe-Ansatz (englisch)

Quellen