Hermann-Mauguin-Symbolik: Unterschied zwischen den Versionen

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Hermann-Mauguin-Symbolik: Unterschied zwischen den Versionen

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Die '''Hermann-Mauguin-Symbolik''' wird zur Beschreibung von [[Symmetrieelement]]en und [[Symmetriegruppe]]n verwendet.
Die '''Hermann-Mauguin-Symbolik''' (nach den [[Kristallograph]]en [[Carl Hermann (Physiker)|Carl Hermann]] und [[Charles-Victor Mauguin]]) wird zur Beschreibung von [[Symmetrieelement]]en und [[Symmetriegruppe]]n verwendet. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Beschreibung der 32 [[Kristallographie|kristallographischen]] [[Punktgruppe]]n und der 230 kristallographischen [[Raumgruppe]]n. Weiter wird sie zur Beschreibung zweidimensionaler [[Ebene kristallographische Gruppe|ebener Gruppen]], zwei- und dreidimensionaler subperiodischer Gruppen ([[Bandornamentgruppe|Bandornament-]], [[Stabgruppe|Stab-]] und [[Schichtgruppe]]n) und nicht kristallographischer Gruppen verwendet. Normiert ist sie in den [[International Tables for Crystallography]].
Benannt ist sie nach den Kristallographen [[Carl Hermann (Physiker)|Carl Hermann]] und [[Charles-Victor Mauguin]]. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Beschreibung der 32 [[Kristallographie|kristallographischen]] [[Punktgruppe]]n und der 230 kristallographischen [[Raumgruppe]]n. Weiter wird sie zur Beschreibung zweidimensionaler [[Ebene kristallographische Gruppe|ebener Gruppen]], zwei- und dreidimensionaler subperiodischer Gruppen ([[Bandornamentgruppe|Bandornament-]], [[Stabgruppe|Stab-]] und [[Schichtgruppe]]n) und nicht kristallographischer Gruppen verwendet. Normiert ist sie in den [[International Tables for Crystallography]]. Neben der Symbolik nach Hermann-Mauguin existiert eine Schreibweise nach [[Arthur Moritz Schoenflies]], die [[Schoenflies-Symbolik]]. Sie wird jedoch kaum noch für die Beschreibung eines kristallinen Zustands, sondern zur Beschreibung der Symmetrie von [[Molekül]]en genutzt. Während es zu jedem Schoenflies-Symbol eine entsprechende Hermann-Mauguin-Darstellung gibt, trifft dies umgekehrt nicht zu.
 
Neben der [[Symbolik]] nach Hermann-Mauguin existiert eine Schreibweise nach [[Arthur Moritz Schoenflies]], die [[Schoenflies-Symbolik]]. Sie wird jedoch kaum noch für die Beschreibung eines kristallinen Zustands genutzt, sondern zur Beschreibung der [[Molekülsymmetrie|Symmetrie von Molekül]]en.


== Symbole der Symmetrieelemente ==
== Symbole der Symmetrieelemente ==
=== Drehachsen ===
Eine Drehung um <math>\frac{360^\circ}{n}</math> wird dargestellt durch <math>n</math> (gesprochen „n-fache Drehung“).
Spezialfälle sind:
* <math>1</math>, eine Drehung um&nbsp;360°, entsprechend der [[Identische Abbildung|Identität]]
* <math>\infty{}</math>, eine Drehung um einen beliebig kleinen Winkel.
In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehungen vorkommen:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! n (= Anzahl<br />symmetrieäquivalente Teilchen)
! Beschreibung
! Drehwinkel
! Bemerkung
|-
| <math>1</math>
| Identität
| 0° = 360°
| Element jeder Gruppe
|-
| <math>2</math>
| zweizählige<br />Drehachse
| 180°
|
|-
| <math>3</math>
| dreizählige<br />Drehachse
| 120°
|
|-
| <math>4</math>
| vierzählige<br />Drehachse
|  90°
|
|-
| <math>6</math>
| sechszählige<br />Drehachse
|  60°
|
|}


=== Inversionszentrum ===
=== Inversionszentrum ===
*<math>\bar{1}</math>: Inversionszentrum. Vervielfältigung eines Teilchens durch [[Spiegelung (Geometrie)#Punktspiegelung|Punktspiegelung]]. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.
* <math>\bar{1}</math>: Inversionszentrum. Vervielfältigung eines Teilchens durch [[Spiegelung (Geometrie)#Punktspiegelung|Punktspiegelung]]. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.


=== Drehachsen ===
=== Gekoppelte Symmetrieoperationen (Drehinversionsachsen) ===
Eine Drehung um <math>\frac{360^\circ}{n}</math> wird durch <math>n\ </math> (gesprochen „n-fache Drehung“) dargestellt. Spezialfälle sind <math>1\ </math>, eine Drehung um 360°, entsprechend der [[Identische Abbildung|Identität]] und <math>\infty{}</math>, eine Drehung um einen beliebig kleinen Winkel.
{{Hauptartikel|Drehspiegelgruppe #Beispiele}}
Eine Drehung um <math>\frac{360^\circ}{n}</math> und anschließende Punktspiegelung an einem Punkt auf der Drehachse wird dargestellt durch <math>\overline n</math>.
 
In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehinversionen vorkommen:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! <math>\overline n</math>
! Beschreibung
! Drehwinkel
! Anzahl<br />symmetrieäquivalente Teilchen
|-
| <math>\overline 1</math>
| Inversion / Punktspiegelung
| 0° = 360°
| 2
|-
| <math>\mathrm{m}</math><br /><math>(= \overline 2)</math>*
| zweizählige<br />Drehinversionsachse
| 180°
| 2
|-
| <math>\overline 3</math>
| dreizählige<br />Drehinversionsachse
| 120°
| 6
|-
| <math>\overline 4</math>
| vierzählige<br />Drehinversionsachse
|  90°
| 4
|-
| <math>\overline 6</math>
| sechszählige<br />Drehinversionsachse
|  60°
| 6
|}


In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehungen vorkommen.
<math></math>*) Da diese Operation zum selben Ergebnis führt wie die Spiegelung an einer Ebene, wird das Symbol <math>\overline 2</math> nicht verwendet, sondern immer als Spiegelebene <math>m\ </math> angegeben.
*<math>1\ </math>: Die [[Identische Abbildung|Identität]] ist Element jeder Gruppe.
*<math>2\ </math>: zweizählige Drehachse, das heißt Drehung um 180°. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.
*<math>3\ </math>: dreizählige Drehachse, das heißt Drehung um 120°. Es entstehen insgesamt drei symmetrieäquivalente Teilchen.
*<math>4\ </math>: vierzählige Drehachse, das heißt Drehung um 90°. Es entstehen insgesamt vier symmetrieäquivalente Teilchen.
*<math>6\ </math>: sechszählige Drehachse, das heißt Drehung um 60°. Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen.


=== Spiegelebene ===
=== Spiegelebene ===
*<math>m\ </math>: Spiegelebene. Vervielfältigung eines Teilchens durch [[Spiegelung (Geometrie)#Ebenenspiegelung|Spiegelung an einer Ebene]]. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.
* <math>m\ </math>: Spiegelebene. Vervielfältigung eines Teilchens durch [[Spiegelung (Geometrie)#Ebenenspiegelung|Spiegelung an einer Ebene]]. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.
 
=== Gekoppelte Symmetrieoperationen (Drehinversionsachsen) ===
*<math>\bar2 </math>: zweizählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 180° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen. Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die Spiegelung an einer Ebene führt, wird dieses Symbol nicht verwendet, sondern immer als Spiegelebene <math>m\ </math> angegeben.
*<math>\bar3 </math>: dreizählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 120° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen.
*<math>\bar4 </math>: vierzählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 90° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt vier symmetrieäquivalente Teilchen.
*<math>\bar6 </math>: sechszählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 60° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen.


=== Kombinierte Symmetrieoperationen (Drehachsen senkrecht zu Spiegelebenen) ===
=== Kombinierte Symmetrieoperationen (Drehachsen senkrecht zu Spiegelebenen) ===
Beide angegebenen Schreibweisen sind äquivalent. Die erstere ist in der älteren Literatur üblich.
Eine Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene <math>m</math> wird dargestellt durch <math>\frac{n}{m}</math> oder <math>n/m\ </math> (jeweils gesprochen „n über&nbsp;m“; beide Schreibweisen sind äquivalent, die erste ist in der älteren Literatur üblich).


*<math>\frac{2}{m}</math> oder <math>2/m\ </math>: zweizählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „zwei über m“). Es entstehen insgesamt vier symmetrieäquivalente Teilchen.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
*<math>\frac{3}{m}</math> oder <math>3/m\ </math>: dreizählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „drei über m“). Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen. Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die sechszählige Drehinversionsachse führt, wird dieses Symbol nicht verwendet, sondern immer als sechszählige Drehinversionsachse <math>\bar6 </math> angegeben.
! <math>\frac{n}{m} = n/m\ </math>
*<math>\frac{4}{m}</math> oder <math>4/m\ </math>: vierzählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „vier über m“). Es entstehen insgesamt acht symmetrieäquivalente Teilchen.
! Beschreibung
*<math>\frac{6}{m}</math> oder <math>6/m\ </math>: sechszählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „sechs über m“). Es entstehen insgesamt zwölf symmetrieäquivalente Teilchen.
! Anzahl<br />symmetrieäquivalente Teilchen
|-
| <math>\frac{2}{m} = 2/m</math>
| zweizählige Drehachse<br />senkrecht zu einer Spiegelebene
| 4
|-
| <math>\overline 6</math><br/><math>(= \frac{3}{m} = 3/m)</math>*
| dreizählige Drehachse<br />senkrecht zu einer Spiegelebene
| 6
|-
| <math>\frac{4}{m} = 4/m</math>
| vierzählige Drehachse<br />senkrecht zu einer Spiegelebene
| 8
|-
| <math>\frac{6}{m} = 6/m</math>
| sechszählige Drehachse<br />senkrecht zu einer Spiegelebene
| 12
|}
<math></math>*) Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die sechszählige Drehinversionsachse führt, wird dss Symbol <math>\frac{3}{m}</math> bzw. <math>3/m</math> nicht verwendet, sondern immer als sechszählige Drehinversionsachse <math>\bar6 </math> angegeben.


== Symbole der Punktgruppen ==
== Symbole der Punktgruppen ==
Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 [[Punktgruppen]] (Kristallklassen) beschreiben, da die Symmetrieoperationen der Kristallklassen keine Translation (siehe Abschnitt zu Raumgruppen) beinhalten.
Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32&nbsp;[[Punktgruppen]] (Kristallklassen) beschreiben, da deren Symmetrieoperationen anders als die Raumgruppen&nbsp;(s.&nbsp;u.) ''keine'' [[Parallelverschiebung|Translation]] beinhalten.
 
Im [[Triklines Kristallsystem|triklinen]] [[Kristallsystem]] gibt es die Punktgruppen <math>1\ </math> (Abwesenheit von Inversionszentren) und <math>\bar{1}</math> (Anwesenheit von Inversionszentren). Für andere Kristallsysteme werden die Symmetrieoperationen bezüglich drei vorgegebener kristallographischer Richtungen angegeben.


Für jedes [[Kristallsystem]] werden die Symmetrieoperationen bezüglich dreier vorgegebener kristallographischer Richtungen angegeben:
* die Dreh- und Drehinversionsachsen ''parallel'' zu folgenden Richtungen
* die Spiegelebenen ''senkrecht'' zu folgenden Richtungen:
{| class="wikitable" style="text-align:center"  
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|- class="hintergrundfarbe5"
|- class="hintergrundfarbe5"
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| [[Tetragonales Kristallsystem|tetragonal]] || <math>[001]\;</math> || <math>\langle 100 \rangle</math> || <math>\langle 110 \rangle</math>
| [[Tetragonales Kristallsystem|tetragonal]] || <math>[001]\;</math> || <math>\langle 100 \rangle</math> || <math>\langle 110 \rangle</math>
|-
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| [[Trigonales Kristallsystem|trigonal]] || <math>[00.1]\;</math> || <math>\langle 10.0 \rangle</math> ||class="hintergrundfarbe6"| <math>\langle 12.0 \rangle</math>
| [[Trigonales Kristallsystem|trigonal]],<br />hexagonale Aufstellung || <math>[00.1]\;</math> || <math>\langle 10.0 \rangle</math> ||class="hintergrundfarbe6"| <math>\langle 12.0 \rangle</math>
|-
|-
| [[Hexagonales Kristallsystem|hexagonal]] || <math>[00.1]\;</math> || <math>\langle 10.0 \rangle</math> || <math>\langle 12.0 \rangle</math>
| [[Hexagonales Kristallsystem|hexagonal]] || <math>[00.1]\;</math> || <math>\langle 10.0 \rangle</math> || <math>\langle 12.0 \rangle</math>
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Im [[Triklines Kristallsystem|triklinen Kristallsystem]] gibt es die Punktgruppen
* <math>1</math> (Abwesenheit von Inversionszentren)
* <math>\bar{1}</math> (Anwesenheit von Inversionszentren).


(Die farbig hinterlegten Richtungen werden in den Punktgruppensymbolen grundsätzlich nicht angegeben, da dort nie Symmetrieelemente außer <math>1\ </math> oder <math>\bar{1}</math> liegen. Sie werden aber für die Raumgruppensymbole gelegentlich benötigt.)
(Die farbig hinterlegten Richtungen werden in den ''Punkt''gruppensymbolen grundsätzlich ''nicht'' angegeben, da dort nie Symmetrieelemente außer <math>1</math> oder <math>\bar{1}</math> liegen. Für die ''Raum''gruppensymbole werden sie aber gelegentlich benötigt.)


Es werden die Dreh- und Drehinversionsachsen ''parallel'' und die
Bei der gekürzten Schreibweise der Hermann-Mauguin-Symbole werden [[Redundanz (Informationstheorie)|redundant]]e Informationen weggelassen: so wird z.&nbsp;B. <math>4/m\ m\ m</math> statt <math>4/m\ 2/m\ 2/m</math> geschrieben.
Spiegelebenen ''senkrecht'' zu diesen Richtungen angegeben. Bei trigonalen Punktgruppen ist zu beachten, dass die Richtungen in der ersten Zeile bezüglich der hexagonalen Aufstellung des Koordinatensystems angegeben sind. Bei der gekürzten Schreibweise der Hermann-Mauguin-Symbole werden redundante Informationen weggelassen. Statt <math>4/m\ 2/m\ 2/m</math> wird zum Beispiel <math>4/m\ m\ m</math> geschrieben.


== Symbole der Raumgruppen ==
== Symbole der Raumgruppen ==
Die Bezeichnung für die Raumgruppen funktioniert im Prinzip wie die der Punktgruppen.


Die Bezeichnung für die Raumgruppen funktioniert im Prinzip wie die der Punktgruppen. Zusätzlich wird das [[Bravais-Gitter]] vorangestellt:
Zusätzlich wird das [[Bravais-Gitter]] vorangestellt:
* P: Primitiv
* P: primitiv
* A, B oder C: Flächenzentriert
* A, B oder C: flächenzentriert
* F: Allseitig Flächenzentriert
* F: allseitig flächenzentriert
* I: Innenzentriert
* I: innen- oder auch raumzentriert
* R: Hexagonales Gitter mit rhomboedrischer Zentrierung
* R: [[hexagonales Gitter]] mit [[rhomboedrisch]]er Zentrierung
Es treten außerdem zusätzliche Symbole auf:
Außerdem treten zusätzliche Symbole auf:
* <math>n_m\ </math>: <math>n\ </math>-zählige [[Schraubenachse]] mit Translation um <math>\frac{m}{n}</math> Teile eines Gittervektors.
* <math>n_m</math>: <math>n</math>-zählige [[Schraubenachse]] mit Translation um <math>\frac{m}{n}</math> Teile eines [[Gittervektor]]s
* <math>a\ </math>, <math>b\ </math> oder <math>c\ </math>: [[Gleitspiegelung|Gleitspiegelebene]] mit Translation entlang eines halben Gittervektors.
* <math>a</math>, <math>b</math> oder <math>c</math>: [[Gleitspiegelung|Gleitspiegelebene]] mit Translation entlang eines halben Gittervektors
* <math>n\ </math>: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale.
* <math>n</math>: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale
* <math>d\ </math>: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale.
* <math>d</math>: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale
* <math>e\ </math>: Zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren.
* <math>e</math>: zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren<!-- ist mit den zwei (verschiedenen) halben Gittervektoren z.B. a/2 und b/2 gemeint oder was sonst?-->


Ein Beispiel für eine tetragonale Raumgruppe in gekürzter Schreibweise ist <math>I\ 4_1/a\ m\ d</math>.
Ein Beispiel für eine tetragonale Raumgruppe in gekürzter Schreibweise ist <math>I\ 4_1/a\ m\ d</math>.

Aktuelle Version vom 15. Februar 2022, 15:26 Uhr

Die Hermann-Mauguin-Symbolik (nach den Kristallographen Carl Hermann und Charles-Victor Mauguin) wird zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Beschreibung der 32 kristallographischen Punktgruppen und der 230 kristallographischen Raumgruppen. Weiter wird sie zur Beschreibung zweidimensionaler ebener Gruppen, zwei- und dreidimensionaler subperiodischer Gruppen (Bandornament-, Stab- und Schichtgruppen) und nicht kristallographischer Gruppen verwendet. Normiert ist sie in den International Tables for Crystallography.

Neben der Symbolik nach Hermann-Mauguin existiert eine Schreibweise nach Arthur Moritz Schoenflies, die Schoenflies-Symbolik. Sie wird jedoch kaum noch für die Beschreibung eines kristallinen Zustands genutzt, sondern zur Beschreibung der Symmetrie von Molekülen.

Symbole der Symmetrieelemente

Drehachsen

Eine Drehung um $ {\frac {360^{\circ }}{n}} $ wird dargestellt durch $ n $ (gesprochen „n-fache Drehung“).

Spezialfälle sind:

  • $ 1 $, eine Drehung um 360°, entsprechend der Identität
  • $ \infty {} $, eine Drehung um einen beliebig kleinen Winkel.

In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehungen vorkommen:

n (= Anzahl
symmetrieäquivalente Teilchen) 		Beschreibung Drehwinkel Bemerkung
$ 1 $ Identität 0° = 360° Element jeder Gruppe
$ 2 $ zweizählige
Drehachse 		180°
$ 3 $ dreizählige
Drehachse 		120°
$ 4 $ vierzählige
Drehachse 		90°
$ 6 $ sechszählige
Drehachse 		60°

Inversionszentrum

  • $ {\bar {1}} $: Inversionszentrum. Vervielfältigung eines Teilchens durch Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.

Gekoppelte Symmetrieoperationen (Drehinversionsachsen)

Eine Drehung um $ {\frac {360^{\circ }}{n}} $ und anschließende Punktspiegelung an einem Punkt auf der Drehachse wird dargestellt durch $ {\overline {n}} $.

In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehinversionen vorkommen:

$ {\overline {n}} $ Beschreibung Drehwinkel Anzahl
symmetrieäquivalente Teilchen
$ {\overline {1}} $ Inversion / Punktspiegelung 0° = 360° 2
$ \mathrm {m} $
$ (={\overline {2}}) $* 		zweizählige
Drehinversionsachse 		180° 2
$ {\overline {3}} $ dreizählige
Drehinversionsachse 		120° 6
$ {\overline {4}} $ vierzählige
Drehinversionsachse 		90° 4
$ {\overline {6}} $ sechszählige
Drehinversionsachse 		60° 6
  • ) Da diese Operation zum selben Ergebnis führt wie die Spiegelung an einer Ebene, wird das Symbol $ {\overline {2}} $ nicht verwendet, sondern immer als Spiegelebene $ m\ $ angegeben.

Spiegelebene

  • $ m\ $: Spiegelebene. Vervielfältigung eines Teilchens durch Spiegelung an einer Ebene. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.

Kombinierte Symmetrieoperationen (Drehachsen senkrecht zu Spiegelebenen)

Eine Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene $ m $ wird dargestellt durch $ {\frac {n}{m}} $ oder $ n/m\ $ (jeweils gesprochen „n über m“; beide Schreibweisen sind äquivalent, die erste ist in der älteren Literatur üblich).

$ {\frac {n}{m}}=n/m\ $ Beschreibung Anzahl
symmetrieäquivalente Teilchen
$ {\frac {2}{m}}=2/m $ zweizählige Drehachse
senkrecht zu einer Spiegelebene 		4
$ {\overline {6}} $
$ (={\frac {3}{m}}=3/m) $* 		dreizählige Drehachse
senkrecht zu einer Spiegelebene 		6
$ {\frac {4}{m}}=4/m $ vierzählige Drehachse
senkrecht zu einer Spiegelebene 		8
$ {\frac {6}{m}}=6/m $ sechszählige Drehachse
senkrecht zu einer Spiegelebene 		12
  • ) Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die sechszählige Drehinversionsachse führt, wird dss Symbol $ {\frac {3}{m}} $ bzw. $ 3/m $ nicht verwendet, sondern immer als sechszählige Drehinversionsachse $ {\bar {6}} $ angegeben.

Symbole der Punktgruppen

Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 Punktgruppen (Kristallklassen) beschreiben, da deren Symmetrieoperationen anders als die Raumgruppen (s. u.) keine Translation beinhalten.

Für jedes Kristallsystem werden die Symmetrieoperationen bezüglich dreier vorgegebener kristallographischer Richtungen angegeben:

  • die Dreh- und Drehinversionsachsen parallel zu folgenden Richtungen
  • die Spiegelebenen senkrecht zu folgenden Richtungen:
Kristallsystem 1. Stelle 2. Stelle 3. Stelle
monoklin $ [100]\; $ $ [010]\; $ $ [001]\; $
orthorhombisch $ [100]\; $ $ [010]\; $ $ [001]\; $
tetragonal $ [001]\; $ $ \langle 100\rangle $ $ \langle 110\rangle $
trigonal,
hexagonale Aufstellung		 $ [00.1]\; $ $ \langle 10.0\rangle $ $ \langle 12.0\rangle $
hexagonal $ [00.1]\; $ $ \langle 10.0\rangle $ $ \langle 12.0\rangle $
trigonal,
rhomboedrische Aufstellung		 $ [111]\; $ $ \langle 1{\bar {1}}0\rangle $
kubisch $ \langle 100\rangle $ $ \langle 111\rangle $ $ \langle 110\rangle $

Im triklinen Kristallsystem gibt es die Punktgruppen

  • $ 1 $ (Abwesenheit von Inversionszentren)
  • $ {\bar {1}} $ (Anwesenheit von Inversionszentren).

(Die farbig hinterlegten Richtungen werden in den Punktgruppensymbolen grundsätzlich nicht angegeben, da dort nie Symmetrieelemente außer $ 1 $ oder $ {\bar {1}} $ liegen. Für die Raumgruppensymbole werden sie aber gelegentlich benötigt.)

Bei der gekürzten Schreibweise der Hermann-Mauguin-Symbole werden redundante Informationen weggelassen: so wird z. B. $ 4/m\ m\ m $ statt $ 4/m\ 2/m\ 2/m $ geschrieben.

Symbole der Raumgruppen

Die Bezeichnung für die Raumgruppen funktioniert im Prinzip wie die der Punktgruppen.

Zusätzlich wird das Bravais-Gitter vorangestellt:

  • P: primitiv
  • A, B oder C: flächenzentriert
  • F: allseitig flächenzentriert
  • I: innen- oder auch raumzentriert
  • R: hexagonales Gitter mit rhomboedrischer Zentrierung

Außerdem treten zusätzliche Symbole auf:

  • $ n_{m} $: $ n $-zählige Schraubenachse mit Translation um $ {\frac {m}{n}} $ Teile eines Gittervektors
  • $ a $, $ b $ oder $ c $: Gleitspiegelebene mit Translation entlang eines halben Gittervektors
  • $ n $: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale
  • $ d $: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale
  • $ e $: zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren

Ein Beispiel für eine tetragonale Raumgruppe in gekürzter Schreibweise ist $ I\ 4_{1}/a\ m\ d $.

Literatur

Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/physik_137/index.php?title=Hermann-Mauguin-Symbolik&oldid=15982“