Duffing-Oszillator: Unterschied zwischen den Versionen

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== Duffing-Oszillator ohne Anregung ==
== Duffing-Oszillator ohne Anregung ==


Die [[Zustandsraumdarstellung]] des ungetriebenen Duffing-Oszillators <math>\ddot{x}+\delta\dot{x}+\alpha x+\beta x^3= 0</math> ist
Die [[Zustandsraumdarstellung]] des [[Gleichung#Homogene Gleichungen|homogenen]] Duffing-Oszillators <math>\ddot{x}+\delta\dot{x}+\alpha x+\beta x^3= 0</math> ist


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'''Fall 2:''' <math>\alpha < 0\;</math> und <math> \beta > 0\;</math>
'''Fall 2:''' <math>\alpha < 0\;</math> und <math> \beta > 0\;</math>


:<math>\lambda_0\;</math> hat einen positiven Realteil, d.h. dieser Punkt ist instabil.
:<math>\lambda_0\;</math> hat einen positiven Realteil, d.&nbsp;h. dieser Punkt ist instabil.


:<math>\lambda_1\;</math> hat negative Realteile, d.h. diese Punkte sind stabil.
:<math>\lambda_1\;</math> hat negative Realteile, d.&nbsp;h. diese Punkte sind stabil.


Die Differenzialgleichung  
Die Differenzialgleichung  
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== Weblinks ==
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{{Commonscat|Duffing oscillator|Duffing-Oszillator}}
* [http://www.scholarpedia.org/article/Duffing_oscillator Duffing-Oszillator bei Scholarpedia]
* [http://www.scholarpedia.org/article/Duffing_oscillator Duffing-Oszillator bei Scholarpedia]



Aktuelle Version vom 24. September 2018, 00:45 Uhr

Poincaré-Abbildung eines getriebenen Duffing-Oszillators

Der Duffing-Oszillator, benannt nach Georg Duffing, ist ein nichtlinearer Oszillator. Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators, dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden. Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben:

x¨+δx˙+αx+βx3=γcos(ω0t)

δ ist die Dämpfung, γ,ω0 sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, α,β sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren.

Duffing-Oszillator ohne Anregung

Die Zustandsraumdarstellung des homogenen Duffing-Oszillators x¨+δx˙+αx+βx3=0 ist

[x˙1x˙2]=[x2δx2αx1βx13]

Für den stationären Fall gilt

[00]=[x2δx2αx1βx13]

und damit

x2=0 und αx1+βx13=0.

Die Gleichung liefert für x1 drei stationäre Lösungen

x10=0,x11,2=±αβ

Diese sind nur dann reell, wenn αβ<0 ist. Zur Beurteilung, welche dieser stationären Lösungen stabil sind, wird das Differentialgleichungssystem um diese Punkte linearisiert. Die Jacobi-Matrix des Systems

J=[01α3βx12δ]

hat für x10 die Eigenwerte

λ0=δ±δ24α2

und für x11,2 die Eigenwerte

λ1=δ±δ2+8α2.

Die Bedingung αβ<0 liefert zwei Fälle.

Fall 1: α>0 und β<0

λ0 hat negative Realteile, d. h. dieser Punkt ist stabil.
λ1 hat einen positiven Realteil, d. h. diese Punkte sind instabil.

Fall 2: α<0 und β>0

λ0 hat einen positiven Realteil, d. h. dieser Punkt ist instabil.
λ1 hat negative Realteile, d. h. diese Punkte sind stabil.

Die Differenzialgleichung

x¨+δx˙ax+bx3=0

mit δ>0,a>0,b>0 beschreibt den stabilen Duffing-Oszillator.

Weblinks

Commons: Duffing-Oszillator – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien