Ortsvektor: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 7. Dezember 2021, 23:54 Uhr

Zwei Punkte und ihre Ortsvektoren

Ortsvektoren (hier durch

{\vec{r}}_{P}

und

{\vec{r}}_{Q}

bezeichnet) im kartesischen Koordinatensystem

Als Ortsvektor (auch Radiusvektor oder Positionsvektor) eines Punktes bezeichnet man in der Mathematik und in der Physik einen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu diesem Punkt (Ort) zeigt.^[1] In der elementaren und in der synthetischen Geometrie können diese Vektoren als Klassen von verschiebungsgleichen Pfeilen oder gleichwertig als Parallelverschiebungen definiert werden.

Ortsvektoren ermöglichen es, für die Beschreibung von Punkten, von Punktmengen und von Abbildungen die Vektorrechnung zu benutzen. Legt man ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde, dann wählt man in der Regel den Koordinatenursprung als Bezugspunkt für die Ortsvektoren der Punkte. In diesem Fall stimmen die Koordinaten eines Punktes bezüglich dieses Koordinatensystems mit den Koordinaten seines Ortsvektors überein.

In der analytischen Geometrie werden Ortsvektoren verwendet, um Abbildungen eines affinen oder euklidischen Raums zu beschreiben und um Punktmengen (wie zum Beispiel Geraden und Ebenen) durch Gleichungen und Parameterdarstellungen zu beschreiben.

In der Physik werden Ortsvektoren verwendet, um den Ort eines Körpers in einem euklidischen Raum zu beschreiben. Ortsvektoren zeigen bei Koordinatentransformationen ein anderes Transformationsverhalten als kovariante Vektoren.

Schreibweisen

In der Geometrie wird der Bezugspunkt (Ursprung) in der Regel mit $O$ (für lat. origo) bezeichnet. Die Schreibweise für den Ortsvektor eines Punktes $P$ ist dann:

\vec{O P}

Gelegentlich werden auch die Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil benutzt, die den Großbuchstaben entsprechen, mit denen die Punkte bezeichnet werden, zum Beispiel:

\vec{p} = \vec{O P}, \vec{q} = \vec{O Q}, \vec{a} = \vec{O A}, \vec{b} = \vec{O B}, \dots, \vec{x} = \vec{O X}

Auch die Schreibweise, dass der Großbuchstabe, der den Punkt bezeichnet, mit einem Vektorpfeil versehen wird, ist üblich:

\vec{P} = \vec{O P}, \vec{Q} = \vec{O Q}, \vec{A} = \vec{O A}, \vec{B} = \vec{O B}, \dots, \vec{X} = \vec{O X}

Vor allem in der Physik wird der Ortsvektor auch Radiusvektor genannt und mit Vektorpfeil als $\vec{r}$ oder (insbesondere in der theoretischen Physik) halbfett als $r$ geschrieben.

Beispiele und Anwendungen in der Geometrie

Verbindungsvektor

Für den Verbindungsvektor $\vec{P Q}$ zweier Punkte $P$ und $Q$ mit den Ortsvektoren $\vec{p} = \vec{O P}$ und $\vec{q} = \vec{O Q}$ gilt:

\vec{P Q} = \vec{O Q} - \vec{O P} = \vec{q} - \vec{p}

Kartesische Koordinaten

Für die Koordinaten des Ortsvektors $\vec{O P}$ des Punktes $P$ mit den Koordinaten $(p_{1}, p_{2}, p_{3})$ gilt:

\vec{O P} = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})

Verschiebung

Eine Verschiebung um den Vektor $\vec{v}$ bildet den Punkt $X$ auf den Punkt $X^{'}$ ab. Dann gilt für die Ortsvektoren:

\vec{O X^{'}} = \vec{O X} + \vec{v}

{\vec{x}}^{'} = \vec{x} + \vec{v}

Drehung um den Ursprung

Eine Drehung in der Ebene mit Drehzentrum $O$ um den Winkel $φ$ gegen den Uhrzeigersinn kann in kartesischen Koordinaten wie folgt mit Hilfe einer Drehmatrix beschrieben werden: Ist $\vec{x} = (\binom{x_{1}}{x_{2}}) = \vec{O X}$ der Ortsvektor eines Punktes $X$ und ${\vec{x}}^{'} = (\binom{x_{1}^{'}}{x_{2}^{'}}) = \vec{O X^{'}}$ der Ortsvektor des Bildpunkts $X^{'}$ , so gilt:

(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos φ & - \sin φ \\ \sin φ & \cos φ \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

Affine Abbildung

Eine allgemeine affine Abbildung, die den Punkt $X$ auf den Punkt $X^{'}$ abbildet, kann mit Ortsvektoren wie folgt dargestellt werden:

{\vec{x}}^{'} = L (\vec{x}) + \vec{v}

Hierbei ist $\vec{x}$ der Ortsvektor von $X$ , ${\vec{x}}^{'}$ der Ortsvektor von $X^{'}$ , $L$ eine lineare Abbildung und $\vec{v}$ ein Vektor, der eine Verschiebung beschreibt. In kartesischen Koordinaten kann die lineare Abbildung $L$ durch eine Matrix $A$ dargestellt werden und es gilt:

\vec{x} = A \cdot \vec{x} + \vec{v}

Im dreidimensionalen Raum ergibt dies:

(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

Entsprechende Darstellungen gibt es auch für andere Dimensionen.

Parameterdarstellung einer Geraden

Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q$ enthält genau die Punkte $X$ , deren Ortsvektor $\vec{x}$ die Darstellung

\vec{x} = \vec{O P} + t \vec{P Q}

mit

t \in R

besitzt. Man spricht hier auch von der Parameterform einer Geradengleichung.

Normalenform der Ebenengleichung

Die Ebene durch den Punkt $P$ (Stützpunkt) mit Normalenvektor $\vec{n}$ enthält genau die Punkte $X$ , deren Ortsvektor $\vec{x}$ die Normalengleichung

\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{p} \cdot \vec{n}

erfüllt. Dabei ist $\vec{p}$ der Ortsvektor (Stützvektor) des Stützpunkts $P$ und der Malpunkt bezeichnet das Skalarprodukt.

Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen

Kartesisches Koordinatensystem

Der durch einen Ortsvektor beschriebene Punkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems ausgedrückt werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den Koordinatenursprung gelegt wird.

Kartesische Koordinaten

Üblicherweise wird der Ortsvektor in kartesischen Koordinaten in der Form

\vec{r} = \vec{r} (x, y, z) = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

definiert. Daher sind die kartesischen Koordinaten gleichzeitig die Komponenten des Ortsvektors.

Zylinderkoordinaten

Der Ortsvektor als Funktion von Zylinderkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Zylinderkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu

\vec{r} = \vec{r} (ρ, φ, z) = (\begin{matrix} ρ \cos φ \\ ρ \sin φ \\ z \end{matrix}) .

Hier bezeichnet $ρ$ den Abstand des Punktes von der $z$ -Achse, der Winkel $ϕ$ wird von der $x$ -Achse in Richtung der $y$ -Achse gezählt. $ρ$ und $φ$ sind also die Polarkoordinaten des orthogonal auf die $x$ - $y$ -Ebene projizierten Punktes.

Mathematisch gesehen wird hier die Abbildung (Funktion) betrachtet, die den Zylinderkoordinaten $(ρ, φ, z)$ die kartesischen Koordinaten $(x, y, z)$ des Ortsvektors zuordnet.

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinatensystem

Der Ortsvektor als Funktion von Kugelkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Kugelkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu

\vec{r} = \vec{r} (r, θ, φ) = (\begin{matrix} r \sin θ \cos φ \\ r \sin θ \sin φ \\ r \cos θ \end{matrix}) .

Hierbei bezeichnet $r$ den Abstand des Punktes vom Ursprung (also die Länge des Ortsvektors), der Winkel $φ$ wird in der $x$ - $y$ -Ebene von der $x$ -Achse aus in Richtung der $y$ -Achse gemessen, der Winkel $θ$ ist der Winkel zwischen der $z$ -Achse und dem Ortsvektor.

Physik

Himmelsmechanik

Um die Position eines Himmelskörpers, der sich auf einer Umlaufbahn um ein Schwerezentrum bewegt, anzugeben, wird in der Himmelsmechanik als Ursprung des Orts- oder Radiusvektors dieses Schwerezentrum gewählt. Der Radiusvektor liegt dann stets in Richtung der Gravitationskraft. Die Strecke des Ortsvektors wird Fahrstrahl genannt. Der Fahrstrahl spielt eine zentrale Rolle beim zweiten Keplerschen Gesetz (Flächensatz).

Siehe auch

Einheitsvektor
Frenetsche Formeln
Hodograph

Einzelnachweise

↑ Istvan Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, 1999, ISBN 3-540-44248-0, S. 12.

Literatur

Klaus Desch: Mathematische Ergaenzungen zur Physik II, Kapitel 11: Vektoranalysis. (PDF, 210 kB). Institut für Experimentalphysik, Hamburg.

[1] Istvan Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, 1999, ISBN 3-540-44248-0, S. 12.

[1]

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-[[Datei:Ortsvektoren.PNG|mini|hochkant=1.3|Zwei Punkte P und Q und ihre Ortsvektoren (hier durch <math>\vec r_P</math> und <math>\vec r_Q</math> bezeichnet)]]
+[[Datei:Position vectors.svg|mini|Zwei Punkte und ihre Ortsvektoren]]
+[[Datei:Ortsvektoren.PNG|mini|hochkant=1.3|Ortsvektoren (hier durch <math>\vec r_P</math> und <math>\vec r_Q</math> bezeichnet) im kartesischen Koordinatensystem]]
 Als '''Ortsvektor''' (auch '''Radiusvektor''' oder '''Positionsvektor''') eines Punktes bezeichnet man in der [[Mathematik]] und in der [[Physik]] einen [[Vektor]], der von einem festen [[Bezugssystem|Bezugspunkt]] zu diesem Punkt (Ort) zeigt.<ref>[[István Szabó (Ingenieur)|Istvan Szabó]]: ''Einführung in die Technische Mechanik.'' Springer, 1999, ISBN 3-540-44248-0, S.&nbsp;12.</ref> In der elementaren und in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] können diese Vektoren als Klassen von verschiebungsgleichen Pfeilen oder gleichwertig als [[Parallelverschiebung]]en definiert werden.
-Ortsvektoren ermöglichen es, für die Beschreibung von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]], von [[Punktmenge]]n und von [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]]en die Vektorrechnung zu benutzen. Legt man ein [[kartesisches Koordinatensystem]] zugrunde, dann wählt man in der Regel den [[Koordinatenursprung]] als Bezugspunkt für die Ortsvektoren der Punkte. In diesem Fall stimmen die Koordinaten eines Punktes bezüglich dieses Koordinatensystems mit den Koordinaten seines Ortsvektors überein.
+Ortsvektoren ermöglichen es, für die Beschreibung von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]], von [[Punktmenge]]n und von [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]] die Vektorrechnung zu benutzen. Legt man ein [[kartesisches Koordinatensystem]] zugrunde, dann wählt man in der Regel den [[Koordinatenursprung]] als Bezugspunkt für die Ortsvektoren der Punkte. In diesem Fall stimmen die Koordinaten eines Punktes bezüglich dieses Koordinatensystems mit den Koordinaten seines Ortsvektors überein.
-In der [[analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] werden Ortsvektoren verwendet, um [[affine Abbildung|Abbildungen]] eines [[Affiner Raum|affinen]] oder [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] zu beschreiben und um Punktmengen (wie zum Beispiel [[Gerade]]n und [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]]) durch Gleichungen und [[Parameterdarstellung]]en zu beschreiben.
+In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] werden Ortsvektoren verwendet, um [[Affine Abbildung|Abbildungen]] eines [[Affiner Raum|affinen]] oder [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] zu beschreiben und um Punktmengen (wie zum Beispiel [[Gerade]]n und [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]]) durch Gleichungen und [[Parameterdarstellung]]en zu beschreiben.
-In der [[Physik]] werden Ortsvektoren verwendet, um die [[Bewegung (Physik)|Bewegung]] eines [[Körper (Physik)|Körpers]] in einem euklidischen Raum zu beschreiben. Ortsvektoren zeigen bei [[Koordinatentransformation]]en ein ''anderes'' Transformationsverhalten als [[Kovarianz (Physik)|kovariante Vektoren]].
+In der [[Physik]] werden Ortsvektoren verwendet, um den [[Ort (Physik)|Ort]] eines [[Körper (Physik)|Körpers]] in einem euklidischen Raum zu beschreiben. Ortsvektoren zeigen bei [[Koordinatentransformation]]en ein ''anderes'' Transformationsverhalten als [[Kovarianz (Physik)|kovariante Vektoren]].
 == Schreibweisen ==
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 Gelegentlich werden auch die Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil benutzt, die den Großbuchstaben entsprechen, mit denen die Punkte bezeichnet werden, zum Beispiel:
 :<math>\vec p = \overrightarrow{OP},\ \vec q = \overrightarrow{OQ},\ \vec{a} = \overrightarrow{OA},\ \vec{b} = \overrightarrow{OB},\ \dots,\ \vec x = \overrightarrow{OX}</math>
-In der Physik wird der Ortsvektor auch ''Radiusvektor'' genannt und mit Vektorpfeil als <math>\vec r</math> oder (insbesondere in der theoretischen Physik) halbfett als <math>\mathbf r</math> geschrieben.
+Auch die Schreibweise, dass der Großbuchstabe, der den Punkt bezeichnet, mit einem Vektorpfeil versehen wird, ist üblich:
+:<math>\vec P = \overrightarrow{OP},\ \vec Q = \overrightarrow{OQ},\ \vec{A} = \overrightarrow{OA},\ \vec{B} = \overrightarrow{OB},\ \dots,\ \vec X = \overrightarrow{OX}</math>
+Vor allem in der Physik wird der Ortsvektor auch ''Radiusvektor'' genannt und mit Vektorpfeil als <math>\vec r</math> oder (insbesondere in der theoretischen Physik) halbfett als <math>\mathbf r</math> geschrieben.
 == Beispiele und Anwendungen in der Geometrie ==
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 == Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen ==
-[[Datei:Cartesian_xyz.png|thumb|300px|Kartesisches Koordinatensystem]]
+[[Datei:Cartesian xyz.png|mini|300px|Kartesisches Koordinatensystem]]
 Der durch einen Ortsvektor beschriebene Punkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems ausgedrückt werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den [[Koordinatenursprung]] gelegt wird.
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 === Kugelkoordinaten ===
-[[File:Spherical_polar_coordinates.png|miniatur]]
+[[Datei:Spherical polar coordinates.png|miniatur|Kugelkoordinatensystem]]
 Der Ortsvektor als Funktion von [[Kugelkoordinaten]] ergibt sich durch Umrechnen der Kugelkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu
 :<math>\vec r = \vec r\,(r,\theta,\varphi) =  $(\begin{matrix} r \sin θ \cos φ \\ r \sin θ \sin φ \\ r \cos θ \end{matrix})$ .</math>
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 == Physik ==
-=== Trajektorie ===
-In der Physik wird der Ort eines Punktes (zum Beispiel eines [[Massenpunkt]]s oder des [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkts]] eines Körpers) häufig durch seinen Ortsvektor angegeben. Die Bewegung eines Punktes wird dann durch eine Funktion beschrieben, die jedem Zeitpunkt <math>t</math> den Ortsvektor <math>\vec r(t)</math> des Massenpunkts zum Zeitpunkt <math>t</math> zuordnet. Die so beschriebene [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] heißt auch [[Trajektorie (Physik)|Trajektorie]] oder ''Bahnkurve.''
-Die [[Differentialrechnung|Ableitung]] dieser vektorwertigen Funktion <math>\vec r(t)</math> nach der Zeit ''t'' ergibt den [[Geschwindigkeitsvektor]]
-:<math>\vec v(t) = \dot {\vec r}(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \vec r(t).</math>
-Durch nochmalige Ableitung ergibt sich der [[Beschleunigungsvektor]]
-:<math>\vec a(t) = \dot {\vec v}(t) = \ddot {\vec r}(t) = \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} \vec r(t).</math>
-Für die [[Länge (Mathematik)|Länge]] des zwischen den Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> zurückgelegten Weges gilt:
-:<math>s_{1,2} = \int_{t_1}^{t_2} \left|\dot{\vec r}(t)\right|\,\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} \left|\vec v(t)\right|\,\mathrm{d}t</math>
 === Himmelsmechanik ===
-Um die Position eines [[Himmelskörper]]s, der sich auf einer [[Umlaufbahn]] um ein [[Schwerezentrum]] bewegt, anzugeben, wird in der [[Himmelsmechanik]] als Ursprung des Orts- oder Radiusvektors dieses Schwerezentrum gewählt. Der Radiusvektor liegt dann stets in Richtung der [[Gravitationslinie]]. Die [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] des Ortsvektors wird ''Fahrstrahl'' genannt. Der Fahrstrahl spielt eine zentrale Rolle beim [[Keplersche Gesetze#2. Keplersches Gesetz (Flächensatz)|zweiten Keplerschen Gesetz (Flächensatz)]].
+Um die Position eines [[Himmelskörper]]s, der sich auf einer [[Umlaufbahn]] um ein [[Schwerezentrum]] bewegt, anzugeben, wird in der [[Himmelsmechanik]] als Ursprung des Orts- oder Radiusvektors dieses Schwerezentrum gewählt. Der Radiusvektor liegt dann stets in Richtung der [[Zweikörperproblem#Übergang zum äquivalenten Einkörperproblem|Gravitationskraft]]. Die [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] des Ortsvektors wird ''Fahrstrahl'' genannt. Der Fahrstrahl spielt eine zentrale Rolle beim [[Keplersche Gesetze#Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz)|zweiten Keplerschen Gesetz (Flächensatz)]].
-== Wegelement ==
-Ein '''Wegelement''' oder Linienelement <math>\mathrm{d} \vec s</math> kann als [[totales Differential]] <math>\mathrm{d} \vec r</math> des Ortsvektors dargestellt werden. Allgemein ergibt sich für das vektorielle Wegelement bei Verwendung der Koordinaten <math>k_i</math>:
-:<math>\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \sum_i \frac{\partial \vec r}{\partial k_i} \,\mathrm{d}k_i</math>
-Mit der obenstehenden Gleichung für die Basisvektoren kann man auch
-:<math>\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \sum_i \vec e_{k_i} \left| \frac{\partial \vec r}{\partial k_i} \right| \,\mathrm{d}k_i</math>
-schreiben. Die Beträge der Ableitungen des Ortsvektors <math>\vec r</math> nach den Koordinaten <math>k_i</math> heißen ''metrische Koeffizienten''
-:<math>g_{k_i} = \left| \frac{\partial \vec r}{\partial k_i} \right|.</math>
-Damit kann man das vektorielle Wegelement in der Form
-:<math>\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \sum_i \vec e_{k_i}\,g_{k_i}\,\mathrm{d}k_i</math>
-darstellen. Für die bisher betrachteten Koordinatensysteme ergeben sich daraus die folgenden Darstellungsformen:
-* Kartesische Koordinaten:
-:<math>\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \vec e_x\,\mathrm{d}x + \vec e_y\,\mathrm{d}y + \vec e_z\,\mathrm{d}z</math>
-* Zylinderkoordinaten:
-:<math>\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \vec e_\rho\,\mathrm{d}\rho + \vec e_\varphi\,\rho\,\mathrm{d}\varphi + \vec e_z\,\mathrm{d}z</math>
-* Kugelkoordinaten:
-:<math>\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \vec e_r\,\mathrm{d}r + \vec e_\theta\,r\,\mathrm{d}\theta + \vec e_\varphi\,r\,\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi</math>
-=== Relativistische Koordinaten ===
-In der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] (SRT) werden Raum und Zeit als eine [[Flache Mannigfaltigkeit|flache]], zusammenhängende, vierdimensionale pseudo[[riemannsche Mannigfaltigkeit]], die sogenannte [[Raumzeit]], beschrieben. Ein Punkt auf dieser Mannigfaltigkeit, der durch drei Raumkoordinaten und eine Zeitkoordinate festgelegt wird, wird als Ereignis bezeichnet. Für jeweils zwei Ereignisse kann durch die [[Minkowski-Metrik]] ein [[Linienelement]] <math>\mathrm ds</math> definiert werden, das zur [[Eigenzeit]] proportional ist:
-:<math>\mathrm ds^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu = c^2 \mathrm dt^2 - \mathrm dx^2 - \mathrm dy^2 - \mathrm dz^2</math>
-Hierbei bezeichnet <math>\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)</math> die [[Minkowski-Metrik]] und <math>dx^\mu</math> das [[Vierervektor]]differential.
-In der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] (ART) wird die Raumzeit durch eine [[Raumkrümmung|gekrümmte]] Mannigfaltigkeit beschrieben, die sich im Allgemeinen nicht in den euklidischen Raum [[Einbettung (Mathematik)|einbetten]] lässt. Den Koordinaten von Ereignissen lassen sich daher keine Vektoren zuordnen. Die ''lokal'' kürzeste Verbindung zweier Ereignisse ist eine [[Geodäte]]. Der [[Paralleltransport]] von Vektoren zwischen zwei Ereignissen ist abhängig vom gewählten Weg.
 == Siehe auch ==
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 == Literatur ==
-* Klaus Desch: [http://www.desy.de/~desch/mathe2/blobelskript/kap11.pdf ''Mathematische Ergaenzungen zur Physik II, Kapitel 11: Vektoranalysis.''] (PDF, 210&nbsp;kB). Institut für Experimentalphysik, Hamburg.
+* Klaus Desch: [https://www.desy.de/~desch/mathe2/blobelskript/kap11.pdf ''Mathematische Ergaenzungen zur Physik II, Kapitel 11: Vektoranalysis.''] (PDF, 210&nbsp;kB). Institut für Experimentalphysik, Hamburg.
 [[Kategorie:Analytische Geometrie]]
 [[Kategorie:Kinematik]]