Brillouin-Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 29. Juni 2019, 21:54 Uhr

Brillouin-Funktion
für verschiedene Werte von J

Die Brillouin-Funktion $$ B(x) $$ (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin (1889–1969)) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:

{\begin{alignedat}{2}B_{J}(x)&={\frac {2J+1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {2J+1}{2J}}\,x\right)&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\\&=\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)\cdot \coth \left[\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)x\right]&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\end{alignedat}}

Die Formelzeichen stehen für folgende Größen:

$$ J $$ in der physikalischen Anwendung für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl
$\coth$ für den Kotangens hyperbolicus.

Verwendung

Mit der Brillouin-Funktion kann die Magnetisierung $$ M $$ eines Paramagneten der Stoffmenge $$ N $$ in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:

{\begin{aligned}M&=NmB_{J}(\xi )\\\Leftrightarrow B_{J}(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}

mit

dem magnetischen Moment $$ m $$ eines Teilchens
dem Parameter $ \xi ={\frac {mB}{k_{\mathrm {B} }\,T}}={\frac {g\mu _{\mathrm {B} }\,JB}{k_{\mathrm {B} }\,T}} $
- dem Betrag $$ B $$ der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
- der Boltzmann-Konstante $k_{\mathrm {B} }$
- der absoluten Temperatur $$ T $$
- dem Landé-Faktor $$ g $$
- dem Bohrschen Magneton $\mu _{\mathrm {B} }$ .

Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion $$ L $$ , die sich im Limes $J\to \infty$ und zugleich $g\mu _{\mathrm {B} }\to 0$ aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):

{\begin{aligned}M&=NmL(\xi )\\\Leftrightarrow L(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}

Literatur

Torsten Fließbach: Statistische Physik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV. Elsevier-Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006.

Weblinks

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-[[Bild:Brillouin_Function.svg|thumb|Brillouin-Funktion</br>für verschiedene Werte von&nbsp;''J'']]
+[[Datei:Brillouin Function.svg|mini|Brillouin-Funktion<br />für verschiedene Werte von&nbsp;''J'']]
-Die '''Brillouin-Funktion''' <math>B(x)</math> (nach dem französisch-amerikanischen Physiker [[Léon Brillouin]]) ist eine [[spezielle Funktion]], die aus der [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Beschreibung eines [[Paramagnet]]en hervorgeht:
+Die '''Brillouin-Funktion''' <math>B(x)</math> (nach dem französisch-amerikanischen Physiker [[Léon Brillouin]] (1889–1969)) ist eine [[spezielle Funktion]], die aus der [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Beschreibung eines [[Paramagnet]]en hervorgeht:
-:<math>\begin{align}
+:<math>\begin{alignat}{2}
-B_J(x) & = \frac{2J + 1}{2J} \cdot \coth \left( \frac{2J + 1}{2J} \, x \right) - \frac{1}{2J} \cdot \coth \left( \frac{1}{2J} \, x \right)\\
+B_J(x) & = \frac{2J + 1}{2J} \cdot \coth \left( \frac{2J + 1}{2J} \, x \right)                          &&- \frac 1{2J} \cdot \coth \left( \frac{1}{2J} \, x \right)\\
-        & = \left( 1 + \frac{1}{2J} \right) \cdot \coth \left[ \left( 1 + \frac{1}{2J} \right) x \right] - \frac{1}{2J} \cdot \coth \left( \frac{1}{2J} \, x \right)
+        & = \left( 1 + \frac{1}{2J} \right) \cdot \coth \left[ \left( 1 + \frac{1}{2J} \right) x \right] &&- \frac 1{2J} \cdot \coth \left( \frac{1}{2J} \, x \right)
-\end{align}</math>
+\end{alignat}</math>
-Dabei bezeichnet&nbsp;''J'' in der physikalischen Anwendung die [[Quantenzahl #Gesamtdrehimpulsquantenzahl|Gesamtdrehimpulsquantenzahl]].
+Die [[Formelzeichen]] stehen für folgende [[Physikalische Größe|Größen]]:
+* <math>J</math> in der physikalischen Anwendung für die [[Quantenzahl #Gesamtdrehimpulsquantenzahl|Gesamtdrehimpulsquantenzahl]]
+* <math>\coth</math> für den [[Kotangens hyperbolicus]].
-Bei der Beschreibung eines Paramagneten ist es sinnvoll, den Parameter <math>\xi</math> einzuführen:
+== Verwendung ==
+Mit der Brillouin-Funktion kann die [[Magnetisierung]] <math>M</math> eines Paramagneten der [[Stoffmenge]] <math>N</math> in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:
-::<math>\xi = \frac{m B}{k_B \, T} = \frac{g \mu_B \, J B}{k_B \, T}</math>
+:<math>\begin{align}
+M &= N m B_J(\xi)\\
+\Leftrightarrow B_J(\xi) &= \frac{M}{N m}.
+\end{align}</math>
-Die einzelnen [[Formelzeichen]] stehen für folgende [[Physikalische Größe|Größen]]:
+mit
-*''m'' – [[Magnetisches Moment]] eines Teilchens
+* dem [[Magnetisches Moment|magnetischen Moment]] <math>m</math> eines Teilchens
-*''B'' – Betrag des angelegten äußeren [[magnetische Flussdichte|Magnetfeldes]]
+* dem Parameter <math>\xi = \frac{m B}{k_\mathrm B \, T} = \frac{g \mu_\mathrm B \, J B}{k_\mathrm B \, T}</math>
-*''<math>k_B</math>'' – [[Boltzmann-Konstante]]
+** dem Betrag <math>B</math> der [[magnetische Flussdichte|magnetischen Flussdichte]] des angelegten äußeren [[Magnetische Flussdichte|Magnetfeldes]]
-*''T'' – [[Absolute Temperatur]]
+** der [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_\mathrm B</math>
-*''g'' – [[Landé-Faktor]]
+** der [[Absolute Temperatur|absoluten Temperatur]] <math>T</math>
-*''<math>\mu_B</math>'' – [[Bohrsches Magneton]]
+** dem [[Landé-Faktor]] <math>g</math>
-* <math>\coth</math> - [[Kotangens Hyperbolicus]].
+** dem [[Bohrsches Magneton|Bohrschen Magneton]] <math>\mu_\mathrm B</math>.
-Mit dem Parameter <math>\xi</math> kann die [[Magnetisierung]]&nbsp;''M'' eines Paramagneten mit der [[Stoffmenge]]&nbsp;''N'' in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:
+Eine weitere, [[Semiklassische Näherung|halb-klassische Beschreibung]] eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der [[Langevin-Funktion]] <math>L</math>, die sich im [[Grenzwert (Funktion)|Limes]] <math>J \to \infty</math> und zugleich <math>g \mu_\mathrm B \to 0</math> aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):
-:<math>\, M = N m B_J(\xi) \Leftrightarrow B_J(\xi) = \frac{M}{N m}.</math>
+:<math>\begin{align}
+                     M &= N m L(\xi)\\
-Eine weitere, [[Semiklassische Näherung|halb-klassische Beschreibung]] eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der [[Langevin-Funktion]] <math>L</math>, die sich im [[Grenzwert (Funktion)|Limes]] <math>J \to \infty</math> und zugleich <math>g \mu_B \to 0</math> aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):
+\Leftrightarrow L(\xi) &= \frac{M}{N m}.
+\end{align}</math>
-:<math>\, M = N m L(\xi) \Leftrightarrow L(\xi) = \frac{M}{N m}.</math>
 == Literatur ==