Mach-Zahl

Die Mach-Zahl (auch Machzahl, machsche Zahl oder Mach’sche Zahl, Formelzeichen: $ {\mathit {Ma}} $) ist eine Größe der Dimension Zahl der Strömungslehre für Geschwindigkeiten. Sie gibt das Verhältnis der Geschwindigkeit $ v $ (bspw. eines Körpers oder eines Fluids) zur Schallgeschwindigkeit $ c $ des umgebenden Fluids an. Ist beispielsweise ein Flugzeug genauso schnell wie der Schall, ist es mit Mach 1 unterwegs. Benannt ist die Mach-Zahl nach dem österreichischen Physiker und Philosophen Ernst Mach. Die Bezeichnung wurde 1929 von dem Schweizer Aerodynamiker Jakob Ackeret eingeführt.^[1]

Definition

Es gilt:

$ {\mathit {Ma}}={\frac {v}{c}} $.

Wobei man die Schallgeschwindigkeit $ c $ in Gasen allgemein einsetzen kann, was auf den folgenden Ausdruck führt:

$ {\mathit {Ma}}={\frac {v}{\sqrt {\kappa \,R_{\mathrm {S} }\,T}}} $.

Darin sind

• $ \kappa $ der Isentropenexponent des Fluids unter den gegebenen Randbedingungen,
• $ R_{\mathrm {S} }={\frac {R}{M}} $ die auf die Molmasse $ M $ bezogene spezifische Gaskonstante $ R $ und
• $ T $ die Temperatur des betrachteten Gases.

Im Allgemeinen variiert der Isentropenexponent $ \kappa $ auch für ein spezielles Fluid in Abhängigkeit vom Druck $ p $ und der Temperatur $ T $. Für hinreichend kleine Druck- und Temperaturveränderungen kann er als konstant angenähert werden.

Unter Machzahl=1, umgangssprachlich auch „Mach 1“, versteht man somit die Schallgeschwindigkeit (die für ein bestimmtes Medium in guter Näherung nur von der Temperatur abhängig ist). Entsprechend lassen sich „Mach 2“ (die doppelte Schallgeschwindigkeit), Mach 3 usw. ebenfalls nicht in „genaue“ Geschwindigkeiten umrechnen, ohne die Bezugsschallgeschwindigkeit zu kennen.

Mittels der Mach-Zahl lassen sich aber Strömungen in verschiedene Bereiche aufteilen, etwa:

• $ {\mathit {Ma}}<0{,}8 $ subsonische Strömung,
• $ 0{,}8<{\mathit {Ma}}<1{,}2 $ transsonische Strömung,
• $ {\mathit {Ma}}>1{,}2 $ supersonische Strömung.

Ab $ {\mathit {Ma}}>5 $ spricht man auch von hypersonischer Strömung.

Diese Bereiche erfordern verschiedene Lösungsansätze, da für die Bereiche jeweils andere physikalische Phänomene auftreten. Beispielsweise treten für $ {\mathit {Ma}}>0{,}3 $ kompressible Effekte in den Strömungen auf (kompressible Strömung), während solche Effekte im Regelfall für $ {\mathit {Ma}}<0{,}3 $ keine Rolle spielen (inkompressible Strömung).

Luftfahrt

Ein McDonnell Douglas F/A-18 Hornet im Überschallflug; die Stoßfront des Machschen Kegels ist als Wolkenscheibe sichtbar

In der Luftfahrt wird die Mach-Zahl zur dimensionslosen Angabe der Fluggeschwindigkeit schnell fliegender Flugzeuge verwendet. Sie stellt das Verhältnis der Fluggeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit in der Umgebungsluft dar. Da die Schallgeschwindigkeit vor allem von der Lufttemperatur, und diese wiederum von der Flughöhe abhängig ist, ist die Anzeige der Mach-Zahl die einzige in jeder Reise-Flughöhe und bei jeder Umgebungstemperatur vergleichbare Aussage. Dies ist insbesondere bei Verkehrsflugzeugen zur Einhaltung der vom Flugzeughersteller vorgegebenen Höchstgeschwindigkeit (M_MO, Mach Maximum Operating Number) betreffend der tatsächlichen Fluggeschwindigkeit (TAS, engl. true airspeed) relativ zur Umgebungsluft von großer Bedeutung. Ein Überschreiten der M_MO führt zum Erreichen der kritischen Mach-Zahl und damit zu Grenzschichtablösungen als Ursache von Strömungsabrissen und einem damit verbundenen Absturzrisiko sowie zu sprunghaft auftretenden extremen mechanischen Belastungen der Flugzeugstruktur. Die Mach-Zahl wird von einem speziellen Fluginstrument, dem Machmeter, angezeigt.

Bei einer Temperatur von −50 °C und einem Luftdruck von 26 kPa (nach Standardatmosphäre üblich in ca. 10.000 m Flughöhe) beträgt die Schallgeschwindigkeit rund 300 m/s = 1080 km/h. Ein Passagierflugzeug, das unter diesen Bedingungen mit einer Reisegeschwindigkeit von Mach 0,8 fliegt, hat eine Geschwindigkeit von 240 m/s = 864 km/h.

Siehe auch

• Laval-Zahl
• Cauchy-Zahl (zur Laval-Zahl analoge Kennzahl in Festkörpern)

Literatur

• Ernst Götsch: Luftfahrzeugtechnik. Einführung, Grundlagen, Luftfahrzeugkunde. Motorbuch-Verlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8. 
• N. Rott: Jakob Ackert and the History of the Mach Number. Annual Review of Fluid Mechanics 17 (1985), S. 1–9.
• N. Rott: J. Ackeret und die Geschichte der Machschen Zahl. Schweizer Ingenieur und Architekt 21 (1983), S. 591–594.

Weblinks

Commons: Mach-Zahl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Machzahlrechner – Java (engl.)
• Berechner für Schallgeschwindigkeit und Mach-Zahl
• Die Schallgeschwindigkeit und die wichtige Temperatur
• Mach Number NASA Glenn Research Center (englisch)

Einzelnachweise