Unruh-Effekt

Der Unruh-Effekt ist eine Vorhersage der Quantenfeldtheorie: Ein im Vakuum gleichmäßig beschleunigter Beobachter oder Detektor sieht anstelle des Vakuums ein Gas von Teilchen (Photonen, Elektronen, Positronen, …) mit einer Temperatur $T$, die proportional zur Beschleunigung ist,

$T=\frac{\hslash a}{2\pi k_{\mathrm{B}}c}.$

Dabei bedeutet

• $\hslash$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• $a$ die Beschleunigung
• $\pi$ die Kreiszahl
• $k_{\mathrm{B}}$ die Boltzmann-Konstante
• $c$ die Lichtgeschwindigkeit.

Der Effekt wurde 1976 von William Unruh vorhergesagt. Es besteht ein enger Zusammenhang mit der Hawking-Strahlung Schwarzer Löcher, auf den Unruh bereits in seiner Originalarbeit hingewiesen hat (mit ein paar Kniffen kann man die Hawking-Strahlung aus dem Unruh-Effekt herleiten^[1]).

Die Unruh-Temperatur $T$ ist im Allgemeinen außerordentlich klein: Für eine Beschleunigung, die auf einer Strecke von einem Mikrometer relativistische Geschwindigkeit erreicht, liegt die Temperatur knapp unter dem Niveau des kosmischen Mikrowellenhintergrunds.

Der Unruh-Effekt beschreibt physikalische Vorgänge aus der Sicht eines beschleunigten Beobachters oder Objekts. Z. B. kann ein beschleunigter Detektor ein Teilchen (z. B. ein Photon) aus dem Unruh-Strahlungshintergrund absorbieren und demzufolge ein Signal liefern.

Dieselben Vorgänge (oder deren Äquivalente) kann man aber mit derselben Quantenfeldtheorie auch im ruhenden Bezugssystem beschreiben. Aus der Sicht eines ruhenden Beobachters enthält das Vakuum keine Teilchen, aber der beschleunigte Detektor sendet (aufgrund der Beschleunigung) selber Teilchen aus, die dann die Ursache des Detektor-Klicks werden.

Ein anderes Beispiel dieser Art betrifft die Stabilität eines beschleunigten Protons. Wird ein Proton beschleunigt, und das genügend rasch, so sieht es ein von Elektronen und Neutrinos bevölkertes Vakuum, die es unter Umwandlung in ein Neutron absorbieren kann. Das Ergebnis, dass beschleunigte Protonen nicht stabil sind, ergibt sich wiederum auch aus der entsprechenden Rechnung im Ruhsystem.

Möglichkeit einer experimentellen Verifikation

Eine experimentelle Verifikation mit direkter Messung der Temperatur ist wegen der erforderlichen großen Beschleunigung aussichtslos.

Der Unruh-Effekt ist aber verwendbar, um Rechnungen für Phänomene im ruhenden oder beschleunigten Koordinatensystem auszuführen. Ein Beispiel ist die Depolarisierung von Elektronen in Speicherringen. Bei diesem Analogon zum Unruh-Effekt stimmen Theorie und Experiment überein.

Hawking-Strahlung, ein anderes Analogon des Unruh-Effeks, wäre beobachtbar, wenn es schwarze Löcher gäbe, mit einer Masse kleiner etwa als die des Zwergplaneten Ceres.

Schematische Herleitung

Der Unruh-Effekt wird oft durch Entwickeln von Quantenfeldern in Eigenmoden in verschiedenen Koordinatensystemen hergeleitet. Gleichsetzen der Felder und Vergleich der Fourier-Moden führt dann über eine Bogoliubov-Transformation zum Ziel. Herleitungen dieser Art kaschieren eher die geometrische Natur des Effekts. Ausgangspunkt einer allgemeineren Herleitung sind die Matrixelemente des Vakuum-Dichteoperators ${\rho }_{\mathrm{\Omega }}$ einer Quantenfeldtheorie mit Feldern $\varphi$,

$⟨{\varphi }_1|{\rho }_{\mathrm{\Omega }}|{\varphi }_0⟩=⟨{\varphi }_1|\mathrm{\Omega }⟩⟨\mathrm{\Omega }|{\varphi }_0⟩=\mathcal{N}\underset{\beta \to \mathrm{\infty }}{lim}⟨\chi |e^{-\beta H}|{\varphi }_0⟩⟨{\varphi }_1|e^{-\beta H}|\chi ⟩.$

Hierbei ist $|\mathrm{\Omega }⟩$ der quantenmechanische Grundzustand mit Energie $0$, die Symbole $|{\varphi }_0⟩$, $|{\varphi }_1⟩$ bzw. $|\chi ⟩$ bezeichnen quantenmechanische Zustände mit vorgegebener Konfiguration der Felder. In $\varphi$-Darstellung ist (schematisch) z. B. $⟨\varphi |{\varphi }_0⟩={\psi }_0\left(\varphi \right)={\mathrm{\Pi }}_{\mathbf{x}}\delta (\varphi \left(\mathbf{x}\right)-{\varphi }_0\left(\mathbf{x}\right))$. Der Zustand $|\chi ⟩$ ist beliebig, die einzige Forderung ist $⟨\mathrm{\Omega }|\chi ⟩\ne 0.$ Das Symbol $H$ steht für den Hamiltonoperator des Systems, so dass $e^{-\beta H}$ bei großem $\beta$ auf den Grundzustand $|\mathrm{\Omega }⟩$ projiziert. Das Symbol $\mathcal{N}$ ist ein Normierungsfaktor.

Auf der rechten Seite der Gleichung für ${\rho }_{\mathrm{\Omega }}$ erkennt man die Entwicklung eines generischen Zustands $|\chi ⟩$ in imaginärer Zeit $\tau$ von $\tau =-\mathrm{\infty }$ zu einem Zustand $|{\varphi }_1⟩$ bei $\tau =0$. Bei $\tau =0$ ändert sich die Wellenfunktion unstetig zu $|{\varphi }_0⟩$, und entwickelt sich dann weiter zu $|\chi ⟩$ bei $\tau =\mathrm{\infty }$.

Randbedingungen für die $\varphi$-Felder in der $x_1$-$\tau$-Ebene für eine Berechnung der Vakuum-Dichtematrix. Die Wirkung der Transfer-Matrizen $H$ und $H_{\theta }$ ist mit gestrichelten Linien angedeutet.

Es werde jetzt zwischen den Feldern $\varphi ={\varphi }^R$ bei $x_1>0$ und den Feldern $\varphi ={\varphi }^L$ bei $x_1<0$ unterschieden (es reicht, sich auf ein System mit nur einer Raumdimension zu beschränken). Der Vakuum-Dichteoperator ist dann

$⟨{\varphi }_1^R{\varphi }_1^L|{\rho }_{\mathrm{\Omega }}|{\varphi }_0^R{\varphi }_0^L⟩=\mathcal{N}\underset{\beta \to \mathrm{\infty }}{lim}⟨\chi |e^{-\beta H}|{\varphi }_0^R{\varphi }_0^L⟩⟨{\varphi }_1^R{\varphi }_1^L|e^{-\beta H}|\chi ⟩.$

Es werde angenommen, dass nur die Felder ${\varphi }^R$ bei $x_1>0$ von Interesse sind. Technisch läuft dies auf die Spur des Dichteoperators hinaus. D.h. bei $x_1<0$ ist ${\varphi }_0^L={\varphi }_1^L$ zu setzen und über die ${\varphi }_0^L$ ist zu integrieren. Das Ergebnis ist die reduzierte Dichtematrix für den Bereich $x_1>0$,

$⟨{\varphi }_1^R|{\rho }_{\mathrm{\Omega }}^R|{\varphi }_0^R⟩=\mathcal{N}\underset{\beta \to \mathrm{\infty }}{lim}⟨\chi |e^{-\beta H}|{\varphi }_0^R⟩⟨{\varphi }_1^R|e^{-\beta H}|\chi ⟩.$

Der Rest der Herleitung ist reine Geometrie und Interpretation. Der Ausdruck rechts ist interpretierbar als die Entwicklung eines generischen Zustands $|\chi ⟩$ in imaginärer Zeit von $\tau =-\mathrm{\infty }$ bis $\tau =0.$ Bei $\tau =0^{-}$ und $x_1>0$ ist die Feldkonfiguration $|{\varphi }_1^R⟩$ vorgegeben, bei $\tau =0^{+}$ und $x_1>0$ ist die Feldkonfiguration $|{\varphi }_0^R⟩$ vorgegeben. Bei $\tau =0$ und $x_1<0$ gibt es keine Unstetigkeit mehr. Ab $\tau >0$ entwickelt sich die Wellenfunktion zu $|\chi ⟩$. Man kann jetzt folgendermaßen argumentieren.

• Quantenfeldtheorien mit imaginärer Zeitvariable sind Feldtheorien der klassischen statistischen Physik. Die imaginäre Zeitvariable $\tau$ ist dabei nur eine weitere Raumdimension (die Äquivalenz ist in der Pfadintegraldarstellung der Quantenfeldtheorie explizit realisiert).
• Der Hamilton-Operator $H$ der Quantenfeldtheorie entspricht der Transfer-Matrix der klassischen Feldtheorie ($H$ ist ein Generator, die Transfer-Matrix ist eine kleine Transformation $e^{-ϵH}$).
• Der Erwartungswert $⟨{\varphi }_1^R|{\rho }_{\mathrm{\Omega }}^R|{\varphi }_0^R⟩$ mit einer Unstetigkeit bei $\tau =0,$ $x_1>0$ lässt sich anstatt von $\tau =-\mathrm{\infty }$ bis $\tau =\mathrm{\infty }$ auch in Polarkoordinaten $x_1=\rho \cos \theta$, $\tau =\rho \sin \theta$ auswerten. Die Unstetigkeit tritt dann bei $\theta =2\pi$ auf.
• Die klassische Feldtheorie zu einer relativistisch invarianten Quantenfeldtheorie ist räumlich isotrop, es gibt daher überall eine Transfer-Matrix in beliebige Richtung, insbesondere auch in $\theta$-Richtung. Die Vakuum-Dichtematrix des Halbraums $x_1>0$ lässt sich daher schreiben $⟨{\varphi }_1^R|{\rho }_{\mathrm{\Omega }}^R|{\varphi }_0^R⟩=\mathcal{N}⟨{\varphi }_1^R|e^{-2\pi H_{\theta }}|{\varphi }_0^R⟩.$

Ausgedrückt durch eine lokale Transfer-Matrix schreibt sich die Exponentialfunktion $e^{-2\pi \rho h_{\theta }}$, wobei $h_{\theta }$ um eine $\rho$-unabhängige Länge transferiert. Dies entspricht lokal einer thermischen Zustandsdichte mit reziproker Temperatur $2\pi \rho =\beta =1/k_{\mathrm{B}}T$ und Energie $h_{\theta }$.

Das zu dieser thermischen Zustandsdichte gehörende physikalische Bezugssystem ergibt sich, wenn man die (formal) imaginäre Zeit $\theta$ reell macht, d. h. $\theta =i\eta$. Die Polarkoordinaten werden dann zu Rindler-Koordinaten für den Keil $x_1>0$, $\left|\tau \right|<\left|x_1\right|$. Ein Beobachter bei konstanter Rindler-Koordinate $\rho$ ist einer konstanten Beschleunigung $a=1/\rho$ ausgesetzt, und die Vakuum-Dichtematrix wird zu einer thermischen Dichtematrix mit der Unruh-Temperatur.

Die Elimination der Freiheitsgrade bei $x_1<0$ ist ein essentieller Schritt der Herleitung, und man kann zeigen, dass dabei die Verschränkung der Feldfreiheitsgrade bei $x_1<0$ und $x_1>0$ eine Rolle spielt.

Literatur

• Viatcheslav F. Mukhanov, et al.: Introduction to quantum effects in gravity. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2009, ISBN 0-521-86834-3; Kap.8, Unruh effect, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
• Luis C. B Crispino, et al.: The Unruh effect and its applications. Reviews of Modern Physics, 80, 2008, S. 787–838, doi:10.1103/RevModPhys.80.787 (arxiv:0710.5373).
• John Earman: The Unruh effect for philosophers. Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 42, 2011, S. 81–97, doi:10.1016/j.shpsb.2011.04.001.
• Stephen A. Fulling und George E.A. Matsas: Unruh effect. Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31789.
• Daniel Harlow: Jerusalem Lectures on Black Holes and Quantum Information. arxiv:1409.1231v4.

Weblinks

• Der Unruh-Effekt wird messbar, auf: orf.at vom 10. Dezember 2020: Vorschlag einer Quantensimulation mit Hilfe eines Bose-Einstein-Kondensats (BEC).
• Unruh-Effekt • Hawkingstrahlung • Bremsstrahlung • Rindler-Raumzeit Vortrag von Josef M. Gaßner in der Reihe "Von Aristoteles zur Stringtheorie" Folge 63

Anmerkungen