Torsionspendel

Drehschwinger mit Spiralfeder

Drehschwinger (13 Sekunden, 650 KB)

Ein Torsionspendel – auch Drehpendel genannt, besteht aus zwei Massen an den beiden Enden eines Stabes bzw. einer entsprechenden Vorrichtung. Das System lässt sich näherungsweise als harmonischer Oszillator beschreiben.

Technisch verwendet wird das Torsionspendel unter anderem für Drehpendeluhren, in Gravitationswaagen und in Spiegelgalvanometern.

Aufbau

Der Stab ist im Abstand des gemeinsamen Schwerpunktes, z.B. in seiner Mitte, so fixiert, dass den beiden Massen eine Kreisbewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt möglich ist. Dort ist der Stab an einer Achse befestigt, die sich sinngemäß der Kreisbewegung der beiden Massen und des Stabes drehen kann.

Diese Achse ist so an einem Federelement befestigt, dass dies durch die Drehung in Spannung versetzt wird und so Energie aufnimmt. Ist so die gesamte Bewegungsenergie der Massen im Federelement gespeichert, kommt die Konstruktion zum Stillstand.

Die Pendelbewegung kommt zustande, in dem das Federelement seine Energie in Form von entgegengesetzter Bewegung wieder an die Massen zurückgibt. Die Massen werden so lange beschleunigt in entgegengesetzte Drehrichtung versetzt, bis das Federelement sich entspannt hat und die gesamte Energie in der Bewegung der Massen gespeichert ist, das heißt die Massen ihre höchste Geschwindigkeit haben. Durch die Trägheit der Massen bewegen diese sich jedoch weiter, und das Federelement wird wiederum gespannt, die Massen werden dadurch abgebremst und geben ihre Bewegungsenergie wieder an die Feder ab. Der Zyklus beginnt, mit veränderter Bewegungsrichtung, von neuem.

Bei Drehschwingern mit Spiralfeder entsteht die Rückstellkraft dagegen nicht durch Torsion, sondern durch Biegung in der Spiralfeder; siehe zum Beispiel Unruh (Uhr).

Physikalische Beschreibung

Das rückstellende Drehmoment M ist beim Drehpendel proportional zur Auslenkung und wirkt dieser entgegen:

$M=-D\cdot \varphi$

$$ D $$ ist das Direktionsmoment, $\varphi$ der Auslenkungswinkel im Bogenmaß.

Eine weitere physikalische Beziehung besteht zwischen dem Direktionsmoment $$ D $$ und der Länge des Torsionsdrahtes $$ l $$ :

$l\sim {\frac {1}{D}}$

Die mathematische Beschreibung des Torsionspendels unterscheidet sich kaum von den anderen Pendelarten:

Die Lösung der Differentialgleichung ist dieselbe, allerdings gilt sie auch für große Auslenkungen, was bei anderen Pendeln nicht der Fall ist. Somit lassen sich Schwingungsmessungen mit einem Torsionspendel sehr viel genauer durchführen.

Anders als z.B. beim hin- und herschwingenden (Schwerkraft-)Pendel gilt, dass die Linearität des Drehmoments über große Winkelbereiche gültig ist. Im Idealfall ist die Linearität bis zum Erreichen der Elastizitätsgrenze des Torsionsdrahtes gegeben. Das hat zur Folge, dass die Differentialgleichung ohne die bei Schwerkraft-Pendeln erforderliche Kleinwinkelnäherung exakt gelöst werden kann und die Schwingfrequenz weitestgehend unabhängig von der Amplitude ist. Bei geeigneter Gestaltung des Pendelkörpers ist die Luftreibung und somit die Dämpfung gering. Diese Eigenschaften machen Drehpendel auch als Zeitnormal für Uhren geeignet – jedoch stellen die Temperaturabhängigkeit und die Langzeitstabilität der Elastizitätseigenschaften des Drahtes ein Problem dar.

Für die Drehfrequenz eines idealen Torsionspendels gilt: $f={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\sqrt {\frac {D}{J}}}$

Dabei ist $$ f $$ die Frequenz in Hertz, $$ D $$ das Direktionsmoment und $$ J $$ das Trägheitsmoment des Pendelkörpers. Dieses Ergebnis würde man auch aus dem Lösen der Differentialgleichung erhalten.

Bewegungsgesetze in Abhängigkeit von der Zeit

Zeit-Weg-Gesetz: $\varphi (t)={\hat {\varphi }}\cdot \sin(2\pi {f}\cdot {t})$

Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz: $\omega (t)={\dot {\varphi }}(t)={\hat {\varphi }}\cdot (2\pi {f})\cdot \cos(2\pi {f}\cdot {t})$

Zeit-Beschleunigungs-Gesetz: $\alpha (t)={\ddot {\varphi }}(t)=-{\hat {\varphi }}\cdot (2\pi {f})^{2}\cdot \sin(2\pi {f}\cdot {t})$

Verwendung in der Lehre

Da die Dämpfung bauartbedingt gering ist, lassen sich mit Drehpendeln und Drehschwingern einige Experimente durchführen: es ist zum Beispiel möglich, am Schwinger eine gut kontrollierbare Dämpfung durch eine Wirbelstrombremse zu installieren, die nahezu die einzigen Verluste verursacht. Dies ermöglicht eine Untersuchung von gedämpften linearen Schwingungen unter gut kontrollierbaren Bedingungen. Hier einige Zusammenhänge, die sich damit belegen lassen:

Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz $\omega _{0}$ ist unabhängig von der Dämpfung
Die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ist $\omega _{d}=\omega _{0}\cdot {\sqrt {1-d^{2}}}$ mit $$ d $$ als Lehrsches Dämpfungsmaß
Die Resonanzfrequenz ist $\omega _{r}=\omega _{0}\cdot {\sqrt {1-2d^{2}}}$ und die Resonanzüberhöhung beträgt ${\frac {1}{2d{\sqrt {1-d^{2}}}}}$

Verwendung

Das Torsionspendel wird bei Drehpendeluhren (mechanische Uhren mit einem Drehpendel als Zeitnormal) angewendet. Aufgrund der geringen Dämpfung können solche Uhren sehr lange (z. B. 1 Jahr) ohne Aufziehen laufen.

Cavendish-Pendel (Gravitationswaage)

Beim Cavendish-Experiment (Gravitationswaage) wird zur Bestimmung der Gravitationskonstanten ein Drehpendel verwendet.

Folgende technische Anwendungen haben einen mit einem Torsionspendel vergleichbaren Aufbau, die Pendel-Parameter sind jedoch sekundär und nur zur Berechnung und Dimensionierung der Dämpfung erforderlich:

Drehspulinstrumente und Galvanometer-Antriebe (Spiegelgalvanometer, Galvo-Antrieb von Laserscannern) besitzen oft eine Spannbandlagerung der Spule. Die Rückstellkraft wird durch die Torsion des Bändchens aufgebracht. Das Trägheitsmoment der Spule /des Zeigers / des Spiegels bildet mit dem Band ein schwingungsfähiges System ähnlich einem Drehpendel, das in diesem Fall möglichst gut gedämpft werden muss.

Weblinks

Commons: Torsionspendel – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Siehe auch