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In der Differentialgeometrie sind die Christoffelsymbole, nach Elwin Bruno Christoffel (1829–1900), Hilfsgrößen zur Beschreibung der kovarianten Ableitung auf Mannigfaltigkeiten.
In der allgemeinen Relativitätstheorie ermöglichen die Christoffelsymbole die Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem Gravitationsfeld, auf die keine weiteren äußeren Kräfte einwirken.
In diesem Artikel wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet.
Christoffelsymbole einer Fläche
In der klassischen Differentialgeometrie wurden die Christoffelsymbole erstmals für gekrümmte Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert. Sei also eine orientierte reguläre Fläche und eine Parametrisierung von . Die Vektoren und bilden eine Basis der Tangentialebene , und mit wird der Normalenvektor zur Tangentialebene bezeichnet. So bilden die Vektoren eine Basis des . Die Christoffelsymbole , werden bezüglich der Parametrisierung dann durch das folgende Gleichungssystem definiert:
Schreibt man für , für und
für ,
für usw., so lassen sich die definierenden Gleichungen zusammenfassend als
schreiben.
Aufgrund des Satzes von Schwarz gilt , das heißt, , und daraus folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole, das heißt und . Die Koeffizienten , und sind die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform.
Ist eine Kurve bezüglich der gaußschen Parameterdarstellung , so ist der tangentiale Anteil ihrer zweiten Ableitung durch
gegeben. Durch Lösen des Differentialgleichungssystems findet man also die Geodäten auf der Fläche.
Allgemeine Definition
Die im vorigen Abschnitt definierten Christoffelsymbole kann man auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Sei also eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang . Bezüglich einer Karte erhält man mittels eine Basis des Tangentialraums und somit auch einen lokalen Rahmen (Basisfeld) des Tangentialbündels.
Für alle Indizes und sind dann die Christoffelsymbole durch
definiert. Die Symbole bilden also ein System von Funktionen, welche vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängen (dieses System bildet aber keinen Tensor, s.u.).
Genauso kann man die Christoffelsymbole auch für einen lokalen Rahmen welcher nicht durch eine Karte induziert ist, durch
definieren.
Eigenschaften
Kovariante Ableitung von Vektorfeldern
Im Folgenden bezeichnet, genauso wie im vorigen Abschnitt, einen lokalen Rahmen, welcher durch eine Karte induziert wird und einen beliebigen lokalen Rahmen.
Seien Vektorfelder mit den in lokalen Darstellungen und . Dann gilt für die kovariante Ableitung von in Richtung von :
Dabei bezeichnet die Anwendung der Derivation auf die Komponentenfunktion .
Wählt man einen lokalen Rahmen , der von einer Karte induziert wird, und wählt man für das Vektorfeld speziell das Basisvektorfeld , so erhält man
bzw. für die -te Komponente
Im Indexkalkül für Tensoren schreibt man dafür auch oder , während man die partielle Ableitung als bezeichnet. Es ist bei aber zu beachten, dass hier nicht nur die Komponente abgeleitet wird, sondern dass es sich um die -te Komponente der kovarianten Ableitung des gesamten Vektorfelds handelt. Obige Gleichung schreibt sich dann als
bzw.
Wählt man für und den Tangentialvektor einer Kurve und ist eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, so hat die gleiche lokale Darstellung bezüglich der Christoffelsymbole wie aus dem ersten Abschnitt.
Christoffelsymbole bei riemannschen und pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten
Sei eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit und der Levi-Civita-Zusammenhang. Der lokale Rahmen sei der durch eine Karte induzierte .
Hier kann man die Christoffelsymbole durch
aus dem metrischen Tensor gewinnen,[1][2] wobei, wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie üblich, griechische Buchstaben für die Raumzeit-Indizes benutzt wurden. In diesem Fall sind die Christoffelsymbole symmetrisch, das heißt, es gilt für alle und . Diese Christoffelsymbole nennt man auch Christoffelsymbole zweiter Art.
Als Christoffelsymbole erster Art werden die Ausdrücke
bezeichnet.
Ältere, besonders in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendete Notationen sind für die Christoffelsymbole erster Art
sowie für die Christoffelsymbole zweiter Art
Anwendung auf Tensorfelder
Die kovariante Ableitung kann von Vektorfeldern auf beliebige Tensorfelder verallgemeinert werden. Auch hier treten in der Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole auf.
In diesem Abschnitt wird durchgehend der oben beschriebene Indexkalkül verwendet. Wie in der Relativitätstheorie üblich, werden die Indizes mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet.
Die kovariante Ableitung eines Skalarfeldes ist
Die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes ist
und bei einem Kovektorfeld, also einem (0,1)-Tensorfeld erhält man
Die kovariante Ableitung eines (2,0)-Tensorfeldes ist
Bei einem (1,1)-Tensorfeld lautet sie
und für ein (0,2)-Tensorfeld erhält man
Erst die hier auftretenden Summen bzw. Differenzen, nicht aber die Christoffelsymbole selbst, besitzen die Tensoreigenschaften (z. B. das korrekte Transformationsverhalten).
Literatur
- Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
- Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
- John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.
Einzelnachweise