| Physikalische Größe | |||||||
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| Name | Wirkung | ||||||
| Formelzeichen | $ S $ | ||||||
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Die Wirkung $ S $ ist eine physikalische Größe mit der Dimension Energie mal Zeit oder Länge mal Impuls. Sie hat also die gleiche Dimension wie der Drehimpuls. Die Wirkung bezeichnet in der theoretischen Physik nicht wie im allgemeinen Sprachgebrauch die Auswirkung einer Ursache, sondern ein Funktional, das die physikalisch durchlaufenen Bahnen in der Menge der denkbaren Bahnen auszeichnet. Die Bewegungsgleichungen der physikalisch durchlaufenen Bahnen besagen, dass bei festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt die Wirkung der physikalischen Bahn unabhängig von kleinen zwischenzeitlichen Bahnänderungen ist. Diese Bedingung heißt auch Hamiltonsches Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung.
In der klassischen Mechanik ordnet die Wirkung $ S $ jeder zweifach differenzierbaren Bahn $ \Gamma :t\mapsto x(t)\, $, die ein Punktteilchen mit der Zeit $ t $ von einem Anfangspunkt $ {\underline {x}}=x(t_{1}) $ zu einem Endpunkt $ {\overline {x}}=x(t_{2}) $ durchläuft, den Wert des Integrals
zu. Dabei ist in Newtons Mechanik die Lagrangefunktion $ L(t,x,v) $ eines Teilchens der Masse $ m $, das sich im Potential $ V(t,x) $ bewegt, die Differenz von kinetischer und potentieller Energie als Funktion der Zeit $ t $, des Ortes $ x $ und der Geschwindigkeit $ v $,
Im Integranden der Wirkung $ S[\Gamma ] $ wird für $ x $ der Ort $ x(t) $ der Bahn zur Zeit $ t $ und für $ v $ seine Zeitableitung $ {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t) $ eingesetzt. Das Integral dieser verketteten Funktion der Zeit ist die Wirkung der Bahn $ \Gamma :t\mapsto x(t) $.
Verglichen mit der Wirkung aller anderen zweifach differenzierbaren Bahnen, die anfänglich durch $ {\underline {x}} $ und schließlich durch $ {\overline {x}} $ laufen, ist die Wirkung der physikalischen Bahn stationär, denn ihre Bewegungsgleichung
ist die Euler-Lagrange-Gleichung der Wirkung $ S $.
Beispielsweise ist
die Lagrangefunktion eines harmonischen Oszillators mit Masse $ m $ und Federkonstanten $ \kappa =m\omega ^{2} $.
Die physikalischen Bahnen genügen der Euler-Lagrange-Gleichung, der zufolge zu allen Zeiten $ t $ die Euler-Ableitung
verschwindet, wenn man für $ x $ den Ort $ x(t) $ einsetzt, der zur Zeit $ t $ durchlaufen wird, und für $ v $ die Zeitableitung der Bahn $ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t) $.
Die zu $ L $ gehörigen physikalischen Bahnen $ t\mapsto x(t) $ erfüllen also
Jede Lösung dieser Gleichung ist von der Form
wobei $ A $ die Amplitude der Schwingung und $ \alpha $ ihre Phasenverschiebung ist.
Zur Zeit $ t_{1} $ durchläuft sie den Ort $ {\underline {x}}=A\cos(\omega t_{1}-\alpha ) $ und zur Zeit $ t_{2} $ den Ort $ {\overline {x}}=A\cos(\omega t_{2}-\alpha ) $.
Ihre Wirkung ist das Integral
Das Integral kann mit dem Additionstheorem
leicht ausgewertet werden, aber das ist für unsere Betrachtungen unerheblich,
Auf jeder anderen Bahn
die zwischenzeitlich um $ \delta (t) $ ein wenig von $ \Gamma _{A,\alpha } $ abweicht, $ \delta (t_{1})=\delta (t_{2})=0 $, unterscheidet sich die Wirkung in erster Ordnung in $ \delta $ um
Partielle Integration wälzt im ersten Term die Ableitung von $ {\dot {\delta }} $ ohne Randterme (weil dort $ \delta $ verschwindet) mit einem Minuszeichen auf $ \sin(\omega t-\alpha ) $ ab und ergibt für alle zwischenzeitlichen Änderungen $ \delta (t) $ das Negative des zweiten Terms
Es ist also die Wirkung jeder physikalischen Bahn stationär unter allen zwischenzeitlichen Änderungen.
Die Wirkung als Funktional von Bahnen oder Feldern ist auch grundlegend für