Zentralkraft

Die Gravitationskraft stellt im Planetensystem eine Zentralkraft dar

Eine Zentralkraft ist eine Kraft, die immer auf einen festen Punkt (das Kraftzentrum $ Z $) bezogen ist, also auf $ Z $ zu bzw. von $ Z $ weg zeigt.^[1]

Viele Zentralkräfte sind (konservative) Gradientenfelder zu einem kugelsymmetrischen Zentralpotential (auch Zentralfeld, siehe unten). In diesem Artikel werden jedoch auch nichtkonservative Zentralkräfte behandelt, die insbesondere keine Radialsymmetrie aufweisen müssen.

Die Gravitation und die Coulomb-Kraft sind Beispiele für konservative Zentralkräfte. Genau genommen hängt es vom Bezugssystem ab, ob die genannte Definition zutrifft; so ist etwa die Gravitation nur im Schwerpunktsystem (und allen relativ zu diesen ruhenden Systemen) eine Zentralkraft.

Drehimpulserhaltung

Unter dem Einfluss einer allgemeinen Zentralkraft bleibt der Drehimpuls $ {\vec {L}} $ eines Massenpunktes im Bezugssystem mit dem Ursprung $ Z $ erhalten. Für den Drehimpuls

$ {\vec {L}}:=m\;{\dot {\vec {r}}}\times {\vec {r}} $

gilt nämlich

$ {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=m\left({\dot {\vec {r}}}\times {\dot {\vec {r}}}+{\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}\right)={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {0}} $,

wobei im letzten Schritt eben verwendet wird, dass die Kraft

$ {\vec {F}}({\vec {r}})=F(r){\frac {\vec {r}}{r}}=F(r){\vec {e_{r}}} $

parallel zum Ortsvektor liegt.

Das ist gerade der Inhalt des zweiten Keplerschen Gesetzes, für das als Voraussetzung nur erforderlich ist, dass die Kraft in Radialrichtung zeigt.

Aus der Drehimpulserhaltung folgt, dass die Bewegung in der Ebene bleibt, in der die Anfangswerte von $ {\vec {r}} $ und $ {\dot {\vec {r}}} $ liegen.

Zentralpotential

Unter einem Zentralpotential versteht man ein Potential, das nur vom Abstand $ r $ zum Kraftzentrum abhängt. Es gilt also $ V({\vec {r}})=V(|{\vec {r}}|)=V(r) $. Von einem Zentralpotential lassen sich nur Zentralkraftfelder ableiten, die keine Winkelabhängigkeit besitzen, die also kugelsymmetrisch sind.

Das wird klar, wenn man sich den $ \nabla $-Operator in Kugelkoordinaten ansieht

$ {\vec {\nabla }}={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\vec {e}}_{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }} $.

Damit ein Kraftfeld $ F=-q\nabla \Phi $ nur in Radialrichtung zeigt, müssen $ {\frac {\partial }{\partial \theta }}\Phi =0 $ und $ {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\Phi =0 $ sein. Wenn $ \Phi $ aber nicht von den Winkeln abhängt, dann wird es auch $ F $ nicht.

Allgemeine Zentralkräfte

Eine Konsequenz daraus ist, dass winkelabhängige Zentralkraftfelder nicht konservativ sind; es gibt kein Zentralpotential, aus dem sie abgeleitet werden können. In ihnen hängt die verrichtete Arbeit vom Weg ab. Es gilt dann zwar der Flächensatz (Drehimpulserhaltung), nicht aber die Energieerhaltung.

Abgrenzung von der Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft wird aus der Geschwindigkeit und der Bahnkrümmung der Bewegung eines Körpers an seinem aktuellen Ort ermittelt und weist zum Mittelpunkt des Krümmmungskreises, der nicht mit dem physikalischen Kraftzentrum übereinstimmen muss. Das Kraftzentrum liegt für Ellipsen-, Parabel- und Hyperbelbahnen in einem der Brennpunkte der Bahn. Beide Punkte stimmen nur für Kreisbahnen miteinander überein, für die dann die Zentralkraft mit der Zentripetalkraft der Bahn übereinstimmt. Für die genannten allgemeinen Bahnen ist die zum Brennpunkt gerichtete Zentralkraft in eine Normalkomponente zum Zentrum des (lokalen) Krümmungskreises und eine Tangentialkomponente in Bahnrichtung aufzuteilen. Letztere Komponente sorgt z. B. dafür, dass ein Planet sich auf dem Weg vom Perihel zum Aphel verlangsamt.

Zentralbewegung

Die Bahn eines Massenpunktes in einem Zentralfeld liegt bei Gültigkeit der klassischen Mechanik in einer Ebene. Wichtige Systeme, die mit einer Zentralbewegung modelliert werden, sind:

• das Atom mit seinen Elektronen: Das Verhalten der Elektronen wird durch die Lösung eines quantenmechanischen Zentralproblems erklärt.
• Doppelsterne: Ein Doppelsternsystem ist ein Beispiel für ein Zweikörperproblem. Dieses wird als die Bewegung zweier Körper um ihren gemeinsamen Schwerpunkt aufgefasst. Je nach erforderlicher Genauigkeit kommt zum Beispiel die klassische Mechanik oder die allgemeine Relativitätstheorie zum Einsatz.
• näherungsweise das Sonnensystem: Näherungsweise kann die Bewegung der Planeten im Sonnensystem als Bewegung im Gravitationsfeld der Sonne betrachtet werden. Die Körper im Sonnensystem haben jedoch selbst Gravitationsfelder und stören damit die Bewegung der anderen Körper, so dass eine Planetenbahn nicht genau durch die Bewegung im Schwerefeld der Sonne erklärt werden kann.

Siehe auch

Effektives Potential

Einzelnachweise