Slater-Determinante

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Die Slater-Determinante (nach John C. Slater) ist eine Methode zur Konstruktion eines antisymmetrischen Mehrteilchen-Zustandes aus mehreren Einteilchen-Zuständen. Dies wird für die Beschreibung eines Systems aus mehreren gleichartigen Fermionen benötigt. Die Beschreibung als Determinante stellt die Antisymmetrie des fermionischen Zustands unter der Vertauschung zweier Teilchen sicher, was aufgrund des Pauli-Prinzips notwendig ist: Wenn in einer Matrix zwei Spalten oder zwei Zeilen vertauscht werden, dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante dieser Matrix.

Die einfachste Näherung der Wellenfunktion eines Vielteilchensystems ist ein antisymmetrisiertes Produkt bestehend aus N orthonormalen Einelektronenfunktionen, die man durch den Hartree-Fock-Ansatz erhält.

Motivation

Für ein System aus N unterscheidbar angenommenen Elektronen ist ein vollständiges Orthonormalsystem von Zuständen gegeben, ausdrückbar durch die Produktwellenfunktionen aller möglichen Permutationen der Einteilchenzustände. Aus quantenphysikalischer Sicht sind die Teilchen eines Vielteilchensystems gerade nicht unterscheidbar. Dies führt dazu, dass bestimmte Symmetriebedingungen an die dazugehörige Wellenfunktion zu stellen sind: Im Fall von Fermionen muss sie antisymmetrisch zu beliebiger Vertauschung zweier Teilchen sein. Um dies zu gewährleisten, wird – wie im Folgenden gezeigt – die Slater-Determinante aus Einteilchenzuständen geschrieben.

Herleitungsskizze

Die Wellenfunktion (Eigenfunktion des Vielteilchen-Hamiltonian) ist ein Produkt aus normierten Eigenfunktionen $ \phi $ des (offensichtlich wechselwirkungsfreien) Einteilchen-Hamiltonians:

$ \psi \left(1,2,\dotsc ,N\right)=A_{N}\phi _{1}(1)\phi _{2}(2)\dots \phi _{N}(N) $

Das Funktionsargument entspricht der Ordnungszahl des jeweiligen Elektrons, z. B. $ \phi (i)\equiv \phi ({\vec {r}}_{i}) $. Zur Erfüllung des Pauli-Prinzips wird der Antisymmetrisierungsoperator $ A_{N} $ angefügt, d. h.:

$ \psi (1,2,\dotsc ,j,\dotsc ,k,\dotsc ,N)=-\psi (1,2,\dotsc ,k,\dotsc ,j,\dotsc ,N) $

Ergebnis

Die Slater-Determinante kann wie folgt geschrieben werden:

$ A_{N}[\phi _{1}(1)\phi _{2}(2)\dots \phi _{N}(N)]={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\phi _{1}(1)&\phi _{2}(1)&\dots &\phi _{N}(1)\\\phi _{1}(2)&\phi _{2}(2)&\dots &\phi _{N}(2)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{1}(N)&\phi _{2}(N)&\dots &\phi _{N}(N)\end{vmatrix}}=|\phi _{1}\phi _{2}\dots \phi _{N}| $

Darin sind nun alle Kombinationen enthalten. Die Normierung der Wellenfunktion wird durch die Fakultät im Nenner gewährleistet. Die Antisymmetrie unter Teilchenvertauschung wird, wie oben schon angesprochen, durch die Realisierung als Determinante automatisch erfüllt.

Für wechselwirkungsfreie Vielteilchensysteme ist dies ein Eigenzustand des Hamiltonian. Dies kann für wechselwirkende Systeme nicht mehr angenommen werden.

Siehe auch

• Slater Type Orbitals

Literatur

• A. Szabo, N. S. Ostlund: Modern quantum chemistry: Introduction to advanced electronic structure theory. 1. Auflage. McGraw-Hill, New York 1989, ISBN 0-07-062739-8. 
• H. Friedrich: Theoretische Atomphysik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin–Heidelberg 1994, ISBN 978-3-540-58267-0. 
• T. Fließbach: Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-2020-6.