Version vom 15. Dezember 2015, 16:39 Uhr von imported>Horst Gräbner
Das Oszillatormodell ist ein Modell zur Beschreibung der Streuung von Licht an Atomen.
Dazu geht man von einem externen harmonischen elektrischen Feld aus:
- $ {\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}\cdot e^{-i\omega t} $
Auf ein Elektron im Atom wirkt dann die Kraft
- $ {\begin{aligned}{\vec {F}}&=q\cdot {\vec {E}}(t)\\&=-e\cdot {\vec {E}}(t)\end{aligned}} $
mit der Elementarladung $ e $.
Als Bewegungsgleichung setzt man die eines gedämpften harmonischen Oszillators an:
- $ m_{e}\cdot {\ddot {\vec {r}}}+m_{e}\cdot \Gamma \cdot {\dot {\vec {r}}}+m_{e}\cdot \omega _{0}^{2}\cdot {\vec {r}}=-e\cdot {\vec {E}}(t) $
mit
- der Masse $ m_{e} $ des Elektrons
- der Dämpfung $ \Gamma $ (Atomstöße, Strahlungsverluste etc.)
- der Eigenfrequenz $ \omega _{0} $.
Nach einiger Zeit sind die Einschwingprozesse abgeklungen und die Elektronen schwingen mit der Kreisfrequenz $ \omega $ des erregenden externen Feldes. Für diese inhomogene Lösung machen wir den Ansatz:
- $ {\vec {r}}_{\mathrm {inhom} }(t)={\vec {a}}\cdot e^{-i\omega t} $
mit der (konstanten) komplexen Amplitude $ {\vec {a}} $.
Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, so erhält man für das atomare Dipolmoment:
- $ {\begin{aligned}{\vec {p}}(t)&=\alpha _{e}(\omega )\cdot {\vec {E}}(t)\\&={\frac {e^{2}/m_{e}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\,\Gamma \,\omega }}\cdot {\vec {E}}(t)\end{aligned}} $
mit der elektrischen Polarisierbarkeit $ \alpha _{e} $.
Wirkungsquerschnitte
Aus diesen Überlegungen erhält man den differentiellen Wirkungsquerschnitt für die Streuung von Licht:
- $ {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {e^{2}}{m_{e}\,c^{2}}}\right)^{2}\cdot {\frac {\omega ^{4}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}}\cdot \sin ^{2}\theta $
Hierbei ist $ \theta $ der Winkel zwischen Dipolmoment und Beobachtungspunkt. Dies hat die Form einer Resonanzkurve.
Daraus ergibt sich der totale Wirkungsquerschnitt zu:
- $ \sigma (\omega )={\frac {8\pi }{3}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{m_{e}\,c^{2}}}\right)^{2}\cdot {\frac {\omega ^{4}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\Gamma ^{2}\omega ^{2}}} $
Daraus ergeben sich folgende Grenzfälle:
Siehe auch