Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $ψ$ durch ihren Betrag $ρ$ und ihre Phase $S$ gemäß $ψ = \sqrt{ρ} e^{\frac{i}{ℏ} S}$ , so erhält man die Madelunggleichungen:

$\partial_{t} ρ + \frac{1}{m} \nabla (ρ \nabla S) = 0$

$\partial_{t} S + \frac{1}{2 m} (\nabla S)^{2} + V (x) - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}} = 0.$

Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

$S$ wird als Wirkung interpretiert, $\nabla S$ als Impuls.

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.