Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion $$ L(x) $$ (nach dem Physiker Paul Langevin) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Definition

Die Langevin-Funktion^[1] ist definiert durch

L(x)=\coth(x)-{1 \over x}

,

wobei $\coth$ den Kotangens Hyperbolicus bezeichnet.

Eine Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter $\xi$ eingeführt:

\xi ={\frac {mB}{k_{B}T}}

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

m - Magnetisches Moment eines Teilchens
B - Betrag des angelegten äußeren Magnetfeldes
$k_{B}$ - Boltzmann-Konstante
T - Absolute Temperatur

Für die Magnetisierung M eines Paramagneten ergibt sich dann:

M=NmL(\xi )

N steht dabei für die Stoffmenge und m für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

Näherungen

Eine Näherung^[1] der Langevin-Funktion für $|x|\ll 1$ ist

L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}\approx {\frac {x}{3}}

.

Für $x\gg 1$ gilt die Näherung^[1]

L(x)\approx 1-{\frac {1}{x}}

.

Umkehrfunktion

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die im Intervall (−1, 1) gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:^[2]

L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}.

Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um |x| = 0,8. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben^[3].

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.
↑ A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640.
↑ R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249. Jahrgang, 2017, S. 8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.

[Brandt293-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.

[Cohen-2] A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640.

[Jedynak1-3] R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249. Jahrgang, 2017, S. 8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.

[1]

[2]

[3]