Kompressionsmodul

Der Kompressionsmodul (Formelzeichen: K) ist eine intensive und stoffeigene physikalische Größe aus der Elastizitätslehre. Er beschreibt, welche allseitige Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen (dabei darf kein Phasenübergang auftreten). Die Eigenschaft von Stoffen, dass sie einer Komprimierung Widerstand entgegensetzen, beruht in erster Linie auf Wechselwirkungen der in ihnen enthaltenen Elektronen.

Die Kompression, Verdichtung, Komprimierung ist ein (allseitiges) Zusammendrücken eines Körpers, welches dessen Volumen verringert und seine Dichte (Massendichte) erhöht. Körper werden nur als kompressibel bezeichnet, wenn die auftretenden Druckveränderungen ausreichen, um merkliche Dichteänderungen zu verursachen, was meist (nur) bei Gasen der Fall ist. In der Festigkeitslehre wird im Allgemeinen jeder Festkörper als verformbar (in Form (reiner Schub) als auch hydrostatische Volumsveränderungen (kompressibel)) angenommen. Nach dem Vorgang ist der Körper verdichtet (komprimiert). In der Regel erfolgt nur eine elastische Verformung und die Verdichtung kehrt sich beim Nachlassen des Drucks wieder um, der Körper dehnt sich wieder aus (Ausdehnung = Expansion). Bei Festkörpern kann abhängig von Material eine bleibende Änderung der Struktur eintreten (z. B. Zerbröseln des Betons, Kornumlagerungen im Grundbau). Der Kompressionsmodul beschreibt nur den spontan elastischen Anteil (des hydrostatischen Anteiles) der Volumensänderung, weder plastische noch bruchmechanische noch viskoelastische Anteile gehen ein. Der Kompressionsmodul wird ausschließlich über die spontan elastische Veränderung der Massendichte zufolge mechanischer Spannung definiert, also nach Abzug eventueller thermischer Verformungen.

Definition

Kompressionsmodul einiger Stoffe
Stoff	Kompressionsmodul in GPa
Luft (unter Normalbedingung)	001,01·10⁻⁴ (isotherm) 001,42·10⁻⁴ (adiabatisch)
Helium (fest)	000,05 (geschätzt)
Methanol	000,823
Ethanol	000,896
Aceton	000,92
Öl	001 ... 1,6 ^[1]
Caesium	001,6
Wasser	002,08 (0,1 MPa) 002,68 (100 MPa)
Rubidium	002,5
Glycerin	004,35
Natrium	006,3
Iod	007,7
Methanhydrat	009,1 (Mittelwert im Bereich 10...100 MPa)
Barium	009,6
Lithium	011
Quecksilber	028,5
Bismut	031
Glas	035 ... 55
Blei	046
Aluminium	076
Stahl	160
Gold	180
Borcarbid	271
Magnesiumoxid	277
Bor	320
Rhodium	380
Diamant	442
Osmium	462
Aggregierte Diamant- Nanostäbchen (ADNR)	491 (härtestes 2008 bekanntes Material^[2])

Der Kompressionsmodul ist definiert als:

K := - V \cdot \frac{d p}{d V} = - \frac{d p}{d V / V}

Das negative Vorzeichen wurde gewählt, da Druckzuwachs das Volumen verringert ( $d V / d p$ ist negativ), praktischerweise $K$ aber positiv sein sollte. Die SI-Einheit des Kompressionsmoduls ist Pascal bzw. Newton pro Quadratmeter. Der Kompressionsmodul ist eine Materialkonstante, die unter anderem von der Temperatur und vom Druck abhängig ist. Der Kompressionsmodul stellt eine Spannung (z. B. in $\frac{N}{m^{2}}$ ) dar, welche jenen fiktiven Druck darstellt, bei dem das Volumen zu Null werden würde, wenn lineare Elastizität, d. h. $d p / d V = const$ , und geometrische Linearität in den Ortskoordinaten (somit nicht in den Materialkoordinaten) gegeben wäre, also der Kompressionsmodul bei höheren Drücken nicht ansteigen würde.

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

V

– Volumen

d p

– infinitesimale Druckänderung

d V

– infinitesimale Volumenänderung

d V / V

– relative Volumenänderung

Kompressibilität

Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf den Kompressionsmodul eines speziellen Basisglases.^[3]

Der Kehrwert des Kompressionsmoduls ist die Kompressibilität (Formelzeichen: κ oder χ), auch Kompressibilitätskoeffizient. Dieser wird oft bei Gasen und Flüssigkeiten anstatt des Kompressionsmoduls verwendet.

κ = \frac{1}{K} = - \frac{d V / V}{d p} = - \frac{1}{V} \frac{d V}{d p}

.

Man unterscheidet zwischen isothermer Kompressibilität $κ_{T}$ (konstante Temperatur $T$ und konstante Teilchenzahl $N$ ), wobei $F (T, V, N)$ die Freie Energie ist

κ_{T} = - \frac{1}{V} {(\frac{\partial V}{\partial p})}_{T, N} = \frac{1}{V} {(\frac{\partial^{2} F}{\partial V^{2}})}_{T, N}^{- 1}

und adiabatischer Kompressibilität $κ_{S}$ (konstante Entropie $S$ und konstante Teilchenzahl $N$ ), wobei $U (S, V, N)$ die Innere Energie ist

κ_{S} = - \frac{1}{V} {(\frac{\partial V}{\partial p})}_{S, N} = \frac{1}{V} {(\frac{\partial^{2} U}{\partial V^{2}})}_{S, N}^{- 1} .

In der Näherung eines idealen Gases berechnet sich die isotherme Kompressibilität nach dem Boyle-Mariotte-Gesetz und die adiabatische Kompressibilität nach der Adiabatengleichung für ein ideales Gas zu:

κ_{T} = 1 / p

κ_{S} = 1 / (γ p),

wobei $γ$ (oft auch als $κ$ bezeichnet) der Isentropenexponent ist.

Die Kompressibilität von Flüssigkeiten wurde lange bezweifelt, bis sie John Canton 1761, Jacob Perkins 1820 und Hans Christian Oersted 1822 durch Messungen nachweisen konnten.

Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten

Unter Voraussetzung linear-elastischen Verhaltens und isotropen Materials kann man den Kompressionsmodul $K$ aus anderen Elastizitätskonstanten berechnen:

K = \frac{E}{3 - 6 ν} = \frac{G E}{9 G - 3 E} = \frac{2 G (1 + ν)}{3 (1 - 2 ν)}

mit

E

– Elastizitätsmodul

G

– Schubmodul

ν

– Poissonzahl

Wasser

Der Kompressionsmodul von Wasser beträgt bei einer Temperatur von 10 °C unter Normaldruck 2,08·10⁹ Pa bei 0,1 MPa und 2,68·10⁹ Pa bei 100 MPa.

Bezieht man die Kompressibilität des Wassers in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich mit der Kompressibilität

κ = - \frac{d V}{V \cdot d p} = 0, 5 \frac{1}{GPa}

das rechte Diagramm.

Bei einer Dichte von 1000 kg/m³ an der Oberfläche erhöht sich durch die Kompressibilität des Wassers die Dichte in 12 km Tiefe auf dort 1051 kg/m³. Der zusätzliche Druck durch die höhere Dichte von Wasser in der Tiefe beläuft sich auf etwa 2,6 Prozent gegenüber dem Wert bei Vernachlässigung der Kompressibilität. Hierbei bleiben jedoch die im Meer weiterhin vorherrschenden Einflüsse von Temperatur, Gas- und Salzgehalten unberücksichtigt.

Neutronensterne

Bei Neutronensternen sind unter dem Druck der Gravitation alle Atomhüllen zusammengebrochen und aus Elektronen der Hüllen und Protonen der Atomkerne sind Neutronen entstanden. Neutronen sind die inkompressibelste Form der Materie, die bekannt ist. Ihr Kompressionsmodul liegt 20 Größenordnungen über dem von Diamant unter Normalbedingung.

Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten

	…ergibt sich aus:^[4]
Der Modul…	$(K, E)$	$(K, λ)$	$(K, G)$	$(K, ν)$	$(E, λ)$	$(E, G)$	$(E, ν)$	$(λ, G)$	$(λ, ν)$	$(G, ν)$	$(G, M)$
Kompressionsmodul $K$	$K$	$K$	$K$	$K$	$(E + 3 λ) + \frac{\sqrt{(E + 3 λ)^{2} - 4 λ E}}{6}$	$\frac{E G}{3 (3 G - E)}$	$\frac{E}{3 (1 - 2 ν)}$	$λ + \frac{2 G}{3}$	$\frac{λ (1 + ν)}{3 ν}$	$\frac{2 G (1 + ν)}{3 (1 - 2 ν)}$	$M - \frac{4 G}{3}$
Elastizitätsmodul $E$	$E$	$\frac{9 K (K - λ)}{3 K - λ}$	$\frac{9 K G}{3 K + G}$	$3 K (1 - 2 ν)$	$E$	$E$	$E$	$\frac{G (3 λ + 2 G)}{λ + G}$	$\frac{λ (1 + ν) (1 - 2 ν)}{ν}$	$2 G (1 + ν)$	$\frac{G (3 M - 4 G)}{M - G}$
1. Lamé-Konstante $λ$	$\frac{3 K (3 K - E)}{9 K - E}$	$λ$	$K - \frac{2 G}{3}$	$\frac{3 K ν}{1 + ν}$	$λ$	$\frac{G (E - 2 G)}{3 G - E}$	$\frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}$	$λ$	$λ$	$\frac{2 G ν}{1 - 2 ν}$	$M - 2 G$
Schubmodul $G$ bzw. $μ$ (2. Lamé-Konstante)	$\frac{3 K E}{9 K - E}$	$\frac{3 (K - λ)}{2}$	$G$	$\frac{3 K (1 - 2 ν)}{2 (1 + ν)}$	$(E - 3 λ) + \frac{\sqrt{(E - 3 λ)^{2} + 8 λ E}}{4}$	$G$	$\frac{E}{2 (1 + ν)}$	$G$	$\frac{λ (1 - 2 ν)}{2 ν}$	$G$	$G$
Poissonzahl $ν$	$\frac{3 K - E}{6 K}$	$\frac{λ}{3 K - λ}$	$\frac{3 K - 2 G}{2 (3 K + G)}$	$ν$	$- (E + λ) + \frac{\sqrt{(E + λ)^{2} + 8 λ^{2}}}{4 λ}$	$\frac{E}{2 G} - 1$	$ν$	$\frac{λ}{2 (λ + G)}$	$ν$	$ν$	$\frac{M - 2 G}{2 M - 2 G}$
Longitudinalmodul $M$	$\frac{3 K (3 K + E)}{9 K - E}$	$3 K - 2 λ$	$K + \frac{4 G}{3}$	$\frac{3 K (1 - ν)}{1 + ν}$		$\frac{G (4 G - E)}{3 G - E}$	$\frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}$	$λ + 2 G$		$\frac{2 G (1 - ν)}{1 - 2 ν}$	$M$

Siehe auch

Kompression (Begriffsklärung)
Inkompressibilität und Inkompressibles Fluid
thermische Zustandsgleichung
Boyle-Mariotte-Gesetz, Ideales Gas
Schubmodul
Poissonzahl
Elastizitätsmodul (Zugmodul, Youngscher Modul)
Kontinuumsmechanik
Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Einzelnachweise

↑ Dieter Will, Norbert Gebhardt: Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen.. Springer DE, 1 June 2011, ISBN 978-3-642-17242-7, S. 21–.
↑ Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter. Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon. Applied Physics Letters, 22. August 2005.
↑ Glassproperties.com Calculation of the Bulk Modulus for Glasses
↑ G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).

[WillGebhardt2011-1] Dieter Will, Norbert Gebhardt: Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen.. Springer DE, 1 June 2011, ISBN 978-3-642-17242-7, S. 21–.

[Dubrovinskaia_et_al._2005-2] Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter. Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon. Applied Physics Letters, 22. August 2005.

[3] Glassproperties.com Calculation of the Bulk Modulus for Glasses

[4] G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).

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[4]