Effektives Potential

Effektives Potential im Gravitationsfeld

Das effektive Potential $ V_{\text{eff}} $ ist ein Begriff aus der Mechanik, der bei der Behandlung von Zentralkräften, wie der Gravitationskraft bei der Planetenbewegung, nützlich ist. Im effektiven Potential sind die potentielle Energie und die azimutale Bewegungsenergie des umlaufenden Objekts vereinigt. Das effektive Potential ist, trotz seines Namens, genau genommen kein Potential, sondern es hat die Dimension einer Energie.

Nichtrelativistische Mechanik

Ein Körper der Masse $ m $, der sich in einem Zentralkraftfeld im Abstand $ r $ vom Kraftzentrum bewegt, hat eine Gesamtenergie, die sich aus der potentiellen Energie $ V $ und der kinetischen Energie $ E_{\mathrm {kin} } $ zusammensetzt. In Polarkoordinaten $ (r,\varphi ) $ ergibt sich:

$ {\begin{aligned}E&=V(r)+E_{\mathrm {kin} }\\&=V(r)+{\frac {1}{2}}m(r{\dot {\varphi }})^{2}+{\frac {1}{2}}m\cdot {\dot {r}}^{2}\end{aligned}} $

Den azimutalen Anteil $ {\frac {1}{2}}m(r{\dot {\varphi }})^{2} $ der kinetischen Energie kann man durch den Betrag des Drehimpulses $ L=m\cdot r^{2}\cdot {\dot {\varphi }} $, der bei einer Zentralkraft eine Erhaltungsgröße ist, ausdrücken und mit der potentiellen Energie zum effektiven Potential $ V_{\text{eff}} $ zusammenfassen:

$ {\begin{alignedat}{2}\Rightarrow E&=V(r)+{\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{m\cdot r^{2}}}&&+{\frac {1}{2}}m\cdot {\dot {r}}^{2}\\&=V_{\text{eff}}(r)&&+{\frac {1}{2}}m\cdot {\dot {r}}^{2}\,\,(*)\end{alignedat}} $

wodurch das effektive Potential definiert ist als:

$ V_{\text{eff}}(r)=V(r)+{\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{m\cdot r^{2}}} $

Den zweiten Term auf der rechten Seite dieser Gleichung bezeichnet man auch als Zentrifugalpotential oder Drehimpulsbarriere.

Man hat es in Gleichung $ (*) $ nun nur noch mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung in der radialen Koordinate $ r $ zu tun. Die Lösung einer solchen geschieht durch Anwendung der Methode der Trennung der Veränderlichen (dt und dr) mit den Bewegungskonstanten $ E $ und $ L $ als Parametern. Ihre Lösung ist durch das elliptische Integral

$ t-t_{0}=\int _{r_{0}}^{r}\mathrm {d} r'{\frac {1}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left(E(r')-V_{\text{eff}}(r')\right)}}} $

gegeben. Für eine andere, anschaulichere Lösung, bei der der Radius in Abhängigkeit des Winkels dargestellt wird, siehe unter Zweikörperproblem.

Anschaulich aus der Kurve des effektiven Potentials ergibt sich ohne weitere mathematische Überlegungen für $ E<0 $ zunächst zwei Schnittpunkte $ r_{\mathrm {min} } $ und $ r_{\mathrm {max} } $ mit der effektiven Potentialkurve, zwischen denen sich der Körper auf seiner Bahn bewegt. Für das Minimum des effektiven Potentials fallen beide Distanzen zusammen und man erhält eine Kreisbahn. Für $ E\geq 0 $ beschreibt der Körper eine ungebundene Bewegung mit nur einem minimalen Abstand.

Allgemeine Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie erhält das effektive Potential Korrekturterme höherer Ordnung. Die Konstanten der Bewegung in der Schwarzschild-Metrik sind nicht mehr $ E $ und $ L $, sondern $ p_{0}c=E\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right) $ und $ L $. Es gilt:

$ (p_{0}c)^{2}=m^{2}{\dot {r}}^{2}c^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)\left(1+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}c^{2}}}\right)m^{2}c^{4} $,

sodass das effektive Potential in der allgemeinen Relativitätstheorie als

$ V_{\text{eff}}(r)=mc^{2}{\sqrt {\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)\left(1+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}c^{2}}}\right)}} $

dargestellt werden kann. Dieses Potential enthält den konstanten Term der Ruheenergie, gegen den das Potential für $ r\to \infty $ auch strebt, und ist für $ r<{\frac {2GM}{c^{2}}} $, den Schwarzschild-Radius, imaginär. Objekte mit einem Radius kleiner ihrem Schwarzschildradius nennt man schwarze Löcher.

Literatur